1、第五章相似矩陣1特征值與特征向量特征值是方陣的一個重要特征量，矩陣理論的很多結果都與特征值有關，在工程技術及其理論研究方面都有很重要的應用。定義1：設人為階方陣，如果存在數人和維非0列向量X,滿足：AX=AX則稱人是方陣A的特征值(也稱為特征根)，X是方陣A的屬于特征值4的特征向量。例如矩陣A=(000AX2=()X2,所以1,0是A的特征值，天,乂2是分別屬于特征值1和0的特征向量。(1)式又可以寫成(4E4)X=0。即特征向量是齊次線性方程組(2)的非零解，從而有|2E-A|=0(3)。(3)稱為方陣A的特征方程，求解方程(3)即得矩陣A的特征值。|人-4|稱為方陣A的特征多項式。對求出的

2、特征值扁，代入方程組(2)求解即得屬于的特征向量。例1：己知方陣A滿足A2=E,證明：A的特征值只能為1或-1。證明：設人是A的任一特征值，則有非零向量X,使得AX=AXo兩邊左乘以A,有A2X=A(AA)=A(AX)=A2Xo又A2=E,所以(/2_i)x=()。由于X/0,從而22=1,即人=1。-110、例2：求矩陣A=-430的特征值與特征向量。解：因|4EA|=4+14-1-12-3000A-2=(人_2)(2_1)2。所以矩陣A的特征值4=2或人=1。證明：=1時，命題成立。設-1時命題成立。即對(-1)階實對稱矩陣A有(-1)正交矩陣0,使得laJ下面證明在時命題也成立。由性質1

3、,實對稱矩陣人一定存在實的特征值取g是屬于九的單位特征向量，將X|擴充成/?的標準正交基XX2,記Q=(X|,.,X)，則E=Q，Q=GT(X|,.,X“)=(QX|,.,QX),從而必人9=必(心.,心)=0。豚,.,世心)=:x。0)由A對稱，可得對稱。從而Q；AQ=o4仍為(-1)階對稱矩4、陣。由歸納假設存在正交矩陣0,使得0A0=。令,10)F、Q=Q，貝Q正交，且QfAQ=0&J實際計算中，對每個不同的特征值，求出它們線性無關的特征向量，再進行施密特正交化得到正交向量組。合并這些單位化了的正交向量組可構成的標準正交基，把標準正交基按列的形式構成的正交矩陣記為Q,則有F、QfAQ=o

4、IaJ400、例6：設A=031,求一正交矩陣P,使得PAP為對角形。、013)解：AE-A=解：AE-A=A-40002-3-10-12-3=(人一4)2(42),特征值為4=2,久=4（二重根）當2=2時,r-200、100、，0、0-1-1011，功=-1次T-U、（）00；o單位化得艮=當2=4時,&3=(1,0,0)。000、1-1、0、T01-1000，%=I，%=0J)TJ)00)。它為正交向量組,單位化得人=0味，冗，取戶=（*,”2，四），則P正交，且有PAP=例7：己知三階實對稱矩陣A有兩特征值W=1，冬=2（二重根），屬于&=1的特征向量為X|=（l,l,0）,求A。解：

5、由于實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，設屬于久=2的特征向量為X?=（用,工2，工3），則正交，即工+易=0。該齊次線性方程組對應的基礎解系為：1)1，2=01-10、取陣110,則PlAP=200k2,A=P2Px=-0222】)0022.習題五3.設人是A的特征值，證明:1)是人2的特征值，萬(j為正整數)是4的特征值;1.求下列矩陣的特征值和特征向量:Q23、001、310、1-r;2)213；3)010;4)-4-1024/036；J。)4-8-2；1)并說明哪些矩陣可以相似于對角形矩陣。巳知方陣人滿足-3A+2E=0,求人的所有可能的特征值。2)3)如果A可逆,則尸是AT的特征

6、值。設/(2)是2多項式，則f以)是/(A)的特征值;(A(B相似。q42、7.計算A。其中A=0-3443,設A與8相似，C與。相似。證明6.4.設X,和X?是A的屬于兩個不同特征值的特征向量，證明X+X2不是A的特征向量。5.如果方陣A可逆，證明矩陣42和曲相似。2)A=-111333222_2i1-1k33I32)11.設A,B為正交矩陣，證明:1) 4一|與4為正交矩陣；為正交矩陣。I時12.在配中，求一單位向量a與向量(1,1,-1,1),(1,-1,-1,1),(2,1,1,3)正交。13.求正交矩陣Q,使得Q一項。為對角形：p11).22-2、1)A=111；2)A=25-4o1

7、11-2-45/14.設3階方陣A的特征值為1,2,3；對應的特征向量為|=(0,1,0),億=(1,1,0)，彷=(0,0,1)。求矩陣A。15.設3階實對稱矩陣人的特征值為6和3(二重根)。屬于6的特征向量為3=(1,1,1)，求A及|人33我|。提高題ra-1c、1.設矩陣A=583,舛=一1，人有特征值扁，屬于的一個特(1c0a,征向量為。=(一1,-1,1)。求ci,b,c和阿的值。2. 己知3階矩陣A與3維列向量X,且向量組X,AX,4x線性無關，且滿足AX=3AX-2A2Xo1) 記P=(X,人X,A?x),求3階矩陣B,使得A=PBP，2) 計算行列式|A+|o設A是階方陣，記

8、/(A)=|2-=V+,不兒是/(人)的個根(重根按重數計算)。證明：1) %。煩=4=一S稱為方陣A的跡，記為(A)；2) %=(-1)|人|=(-1)*,。3. 設A=(q,為非零實數，B=AfA,求可逆矩陣P,使得PBP為對角陣。4. 證明上三角正交矩陣必為對角陣。5. 是正交矩陣，且舛+|B|=0。證明A+B不可逆。當2=2時,3-10、qoo0、4-10010，外=0廠100J故屬于2=2的特征向量為饑。0)。當2=1時，-10、qo1、-1)4-20012，=-20。，故屬于人=1的特征向量為婦?2(知#0)。2相似矩陣定義2：若階方陣A和存在一個可逆矩陣P,使得PlAP=Bo則稱

9、矩陣A與B相似，記為人B。對于相似矩陣，有下列性質：1) 任一方陣A,它與自身相似；2) 若A與8相似，則8與A相似；3) 若A與8相似，B與C相似，則A與C相似；4) A與8相似,則AE-A=AE-B.證明：只證4),因A與8相似，存在可逆矩陣P,使得P-AP=B從而IAE-BHP-以EP-PAP|=|P(2E-A)P=|pTIIIE-AHPH如果方陣A相似與對角形矩陣，則稱A可以對角化。并非每個方陣均可以對角化，例如矩陣人=,對任何2階可逆矩陣P,PAP均不能為對角形looj矩陣。下面給出一般方陣A相似對角形的條件。若A相似對角形，則有可逆矩陣P,使得PlAP=.(4)o記P=(X,X)，

10、由(4)式可得A(X|,.,X“)=(X|,.,X)IaJ即從而AX,=4.Xj(i=1,2,)。由定義知4為A的特征值，由F可逆知X,為非零向量，且X|,X2，.,X線性無關。所以它是屬于人的特征向量。以上過程可逆，故存在下面定理。定理1：階方陣A可以對角化的充分必要條件是A有個線性無關的特征向量。該定理給出r矩陣相似對角形的充分必要條件，但如何找出個線性無關的特征向量，則需要下列一些結果。定理2：方陣A的屬于不同特征值的特征向量線性無關。證明：設X、,X,是分別屬于不同特征值，人的特征向量，當s=l時,命題成立。設當s=k時命題成立，則當s=k+l時，設有/占+.+皿+/心=0.(5)(5

11、) 式乘以2,+1,有+.+如/人+At+L+iX奸=。(6)再對(5)式兩邊左乘以A,有4片+.+人/8+九妃占山=()(6) -(7)得4(如一&)Xi+,+4(S一，)x*=oo由歸納假設，X|,X，線性無關。從而43心4)=0(1=1,2,，幻。由于壬4,所以4=0(1=1,2,/),代入(5)式，得心=0。即X|,.,Xz線性無關，故s=k+l命題成立。從而定理得證。推論1：階方陣A有個不同的特征值，則A一定可以對角化。實際計算中，先求出階方陣A的全部特征值，再找出屬于每個特征值的特征向量的極大線性無關組。可以證明所有這些線性無關向量組所構成的“大”向量組仍然線性無關。若這個“大”向

12、量組中向量個數等于，則A可以對角化，解：1)AE-A=解：1)AE-A=-1A-2-1-10A-3=a+i)(z-2)2o特征值為W=T，=2（二重根）。P-1-1)。0-1、T0-30T010，71=0、4-1-4J000；=一1時,當當Z=2時,1-1CI0-1一1、4444000000，2=1，“3=0、4-1-1；000011J/所以A相似于對角形。取P=S，%，3），則有7時=(2)AE-AA-10002-10=（人一V，若向量個數小于，則A不能對角化。例3：判別下列矩陣是否可以對角化“-21r。00、1)A=020；2)A=011L13,()(特征值為人=1（三重根）。當2=1時,

13、000、ro01、00-1000，7|=0，2=1000,故A不能對角化。r2-12、例4：已知X=1是矩陣4=5a31b的一個特征向量。1）求。力和X對應的特征值人。2）問A能否相似對角形。解：1）因X是A的屬于特征值人的特征向量，則有-12、(1T5a31=A.1b4=1,=3,/?=0o(2/I)12=05+(。-人)-3=0解得1+/?+(2+人)0104+2=(4+1)3,所以特征值人=-1（三重根）。又-31-2、q0r-5-2-3T01-iJ00基礎解系中僅含一個線性無關的向量，故A不能對角化。3向量的內積本節討論的維向量，其分量均在實數范圍內。本節的主要結果是把幾何空間R2,R

14、，中的度量性質推廣到維向量空間R”ho一、內積定義R的子空間笠中,設有向量a=（為,工2,），月，V,）。稱工必+.+兀皿=初（。,尸取列向量時為。力）為向量a與的內積，記為（a定義了內積的實線性空間V稱為歐幾里得空間，簡稱歐氏空間。易知，這里的內積是幾何空間廣，A，中向量數量積的一個推廣，容易驗證歐氏空間V中的向量內積有如下性質：1) (a、/3)=(3,a)：2) (ka,/3)=k(3,a)(kcR)；3) (a+夕,/)=(a,/)+(/?,)；4) VaGV,(a,)0,等號當且僅當。=0時成立。定理3：歐式空間V中的任意維向量a,3,有(a、0Vj(a,a)(f3,(3)(柯西(C

15、auchy,法，1789-1857)不等式)。證明：取/=a+VreT?,由性質4),則有(/,/)0(5)oi) 若(3=0,不等式顯然成立。ii) 若/?。0,(5)式化簡為00)+20,月)，+(/?,0)戶20。左邊是一個關于/的實二次多項式，它非負的充分必要條件是：2(a,/?)2-4x(aq)(,/7)0,即()y()(6)o從而定理得證。對于歐氏空間R”把(6)式具體寫出來，其結果是歷史上一個著名的不等式:(X|V|+，j+X,)2+兀：)()-717T17TO/r11頑17628，則W為解空間的標準正交基。三、正交矩陣階實方陣A,如果滿足AA=E,稱A為正交矩陣。mef)qin

16、f)例如單位矩陣萬和人=八八均為正交矩陣。p-sin。cos們正交矩陣有下列性質：1) 正交矩陣A可逆，逆矩陣仍是正交矩陣，且A-i=A；2) 正交矩陣的乘積仍是正交矩陣；3) 正交矩陣A的轉置4仍是正交矩陣，且有舛=1；(o4) 設是正交矩陣，則為正交矩陣。k0)以上性質直接驗證即可。定理5：正交矩陣的行(列)向量組構成R的一個標準正交基。反之亦真,即：的任一標準正交基按行(列)的形式可構成正交矩陣。證明：由正交矩陣的定義及標準正交基的定義可直接驗證。讀者自己練習。4實對稱矩陣的對角化上一節提到，并非每個方陣均可以對角化，這一節介紹一類能對角化的矩陣實對稱矩陣。記X表示向量X中每個分量取其共軸復數所構成的向量，A為矩陣A中每個元素取其共軸復數所構成的矩陣，容易驗證應=7京。性質2：實對稱矩陣A的特征值為實數。證明：因A是實對稱矩陣，所以耳=4人=人。設人是A的特征值，則有向量X*），使得AX=AX,從而4X=2Xo考慮xAX,一方面X，AX=X，AX=A（X）另一方