1、5-5質數合數分解質因數鼬帷教學目標本講中的知識點在小學課本內已經有所涉及，并且多以判斷題考察。質數合數的出現是對自然數的另一種分類方式，但是相對于奇數偶數的劃分要復雜許多。質數本身的無規律性也是一個研究質數結構的難點。在奧數數論知識體系中我們要幫助孩子樹立對質數和合數的基本認識，在這個基礎之上能夠會與之前的一些知識點結合運用。分解質因數法是一個數論重點方法，本講另一個授課重點在于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈活運用。mm知識點撥1. 質數與合數一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）.一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數要特別記住：0和1不是質數，也不

2、是合數.常用的100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共計25個；除了2其余的質數都是奇數；除了2和5,其余的質數個位數字只能是1,3,7或9.考點：值得注意的是很多題都會以質數2的特殊性為考點.除了2和5,其余質數個位數字只能是1,3,7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.2. 質因數與分解質因數質因數：如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數互質數：公約數只有1的兩個自然數，叫做互質數.分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質

3、因數例如：30235.其中2、3、5叫做30的質因數.又如12223223,2、3都叫做12的質因數，其中后一個式子叫做分解質因數的標準式，在求一個數約數的個數和約數的和的時候都要用到這個標準式.分解質因數往往是解數論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數字的特征.3. 唯一分解定理任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即：npap；2p?Lp；k其中為質數，a；2LLak為自然數，并且這種表示是唯一的該式稱為n的質因子分解式.例如：三個連續自然數的乘積是210,求這三個數.分析：210=2X3X5X,7可知這三個數是5、6和7.4. 部分特殊數的分解111337;10017111

4、3；1111141271;1000173137;199535719;1998233337;200733223;2008222251;10101371337.5. 判斷一個數是否為質數的方法根據定義如果能夠找到一個小于p的質數q（均為整數），使得q能夠整除p,那么p就不是質數，所以我們只要拿所有小于p的質數去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p,我們可以先找一個大于且接近p的平方數K2,再列出所有不大于K的質數，用這些質數去除p,如沒有能夠除盡的那么p就為質數.例如：149很接近1441212,根據整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數.例題精講模塊一、質

5、數合數的基本概念的應用【例1】下面是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華朋會友，幼長相親同切磋；杯賽聯誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌.請你將詩中56個字第1行左邊第一字起逐行逐字編為156號，再將號碼中的質數由小到大找出來，將它們對應的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話.【鞏固】（2008年南京市青少年“科學小博士”思維訓練）炎黃驕子菲爾茲獎被譽為“數學界的諾貝爾獎”：只獎勵40歲以下的數學家.華人數學家丘成桐、陶哲軒分別于1982年、2006年榮獲此獎.我們知道正整數中有無窮多個質數（素數），陶哲軒等證明了這樣一個關

6、于質數分布的奇妙定理：對任何正整數k,存在無窮多組含有k個等間隔質數（素數）的數組.例如，k3時，3,5,7是間隔為2的3個質數；5,11,17是間隔為6的3個質數：而,是間隔為12的3個質數（由小到大排列，只寫一組3個質數即可）.【鞏固】（2003年“祖沖之杯”邀請賽）大約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之，計算出兀的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把兀的值精確到7位小數的人.現代人利用計算機已經將兀的值計算到了小數點后515億位以上.這些數排列既無序又無規律.但是細心的同學發現：由左起的第一位3是質數，31也是質數，但314不是質數，在3141,31415

7、,314159,3141592,31415926,31415927中恰有一個是質數，是哪個？【鞏固】（2004年全國小學奧林匹克）自然數N是一個兩位數，它是一個質數，而且N的個位數字與十位數字都是質數，這樣的自然數有多少個？【例2】兩個質數之和為39，求這兩個質數的乘積是多少.【解析】因為和為奇數，所以這兩個數必為一奇一偶，所以其中一個是2,另一個是37,乘積為74.我們要善于抓住此類題的突破口。【鞏固】如果a,b均為質數，且3a7b41,則ab【鞏固】A,B,C為3個小于20的質數，ABC30,求這三個質數【鞏固】已知3個不同質數的和是最小的合數的完全平方，求這3個質數的乘積是多少?【鞏固】

8、小晶最近遷居了，小晶驚奇地發現他們新居的門牌號碼是四位數.同時，她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為abba,其中ab,而且ab和ba都是質數（a和b是兩個數字）.具有這種形式的數共有多少個？【例3】（“祖沖之杯”小學數學邀請賽）九九重陽節，一批老人決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去參觀兵馬俑.如果打算每輛車坐22個人，就會有1個人沒有座位；如果少開一輛車，那么，這批老人剛好平均分乘余下的大巴.那么有多少個老人？原有多少輛大巴？【鞏固】（俄羅斯數學奧林匹克）萬尼亞想了一個三位質數，各位數字都不相同.如果個位數字等于前兩個數字的和，那么這個數是幾？【鞏固】（第五屆“華杯賽”口試第15題）

9、圖中圓圈內依次寫出了前25個質數；甲順次計算相鄰二質數之和填在上行方格中；乙順次計算相鄰二質數之積填在下行方格中.甲填和數質數列乙填積數問：甲填的數中有多少個與乙填的數相同？為什么？【鞏固】（全國小學數學奧林匹克）從19中選出8個數排成一個圓圈，使得相鄰的兩數之和都是質數.排好后可以從任意兩個數字之間切開，按順時針方向讀這些八位數，其中可以讀到的最大的數是多少？【鞏固】（保良局亞洲區城市小學數學邀請賽不算）除1及它本身以外，不能被是什么？）用L表示所有被3除余1的全體正整數.如果L中的數（1L的任何數整除，稱此數為“L質數”.問：第8個“L質數”【例4】9個連續的自然數，每個數都大于80,那么

10、其中最多有多少個質數？請列舉和最小的一組【鞏固】（我愛數學少年數學夏令營）用0,1,2，9這10個數字組成6個質數，每個數字至多用1次,每個質數都不大于500,那么共有多少種不同的組成6個質數的方法.請將所有方法都列出來.【鞏固】從小到大寫出5個質數，使后面數都比前面的數大12。這樣的數有幾組?【例5】用1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到并且只能用一次,那么這9個數字最多能組成多少個質數.【鞏固】有三張卡片，它們上面各寫著數字1,2,3,從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來,可以得到不同的一位數、二位數、三位數，請你將其中的質數都寫出來【鞏固】某

11、質數加6或減6得到的數仍是質數，在50以內你能找出幾個這樣的質數？把它們寫出來【例6】7個連續質數從大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。已知它們的和是偶數，那么d是多少?【鞏固】從20以內的質數中選出6個，然后把這6個數分別寫在正方體木塊的6個面上，并且使得相對兩個面的數的和都相等.將這樣的三個木塊擲在地上，向上的三個面的三個數之和可能有多少種不同的值？【鞏固】將八個不同的合數填入下面的括號中，如果要求相加的兩個合數互質，那么A最小是幾?A=()+()=()+()=()+()=()+()【鞏固】4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油.每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數如下：8,9,10,

12、11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數，求最重的兩瓶內有多少油？【例7】將60拆成10個質數之和，要求最大的質數盡可能小，那么其中最大的質數是多少【鞏固】將50分拆成10個質數的和，要求其中最大的質數盡可能大，則這個最大的質數是多少?【鞏固】將37拆成若干個不同的質數之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中拆出的那些質數相乘,得到的乘積中，哪個最小？【鞏固】如果一個數不能表示為三個不同合數的和,幾？那么我們稱這樣的數為智康數，那么最大的智康數是模塊二、分解質因數【例8】兩個連續奇數的乘積是111555，這兩個奇數之和是多少？【鞏固】三個連續自然數的乘積是210,求這三

13、個數是多少?【鞏固】把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組，要求每組中任意兩個數的最大公約數是1,那么至少要分幾組.【鞏固】把40,44,45,63,65,78,99,105這八個數平分成兩組，使每組四個數的乘積相等。【例9】4個一位數的乘積是360,并且其中只有一個是合數，那么在這4個數字所組成的四位數中，最大的一個是多少？【鞏固】將19九個自然數分成三組，每組三個數.第一組三個數的乘積是48,第二組三個數的乘積是45,第三組三個數字之和最大是多少？【例10】在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209,如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少？【

14、鞏固】一個長方體的長、寬、高是連續的3個自然數，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米？【鞏固】一個長方體的長、寬、高都是整數厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米？【例11】（老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大2歲，他們四個人年齡的乘積是48384。問他們四個人的年齡各是幾歲？【鞏固】甲乙兩人的年齡和為一個質數，這個數的個位與十位數字的和是13,甲比乙大13歲，那么乙今年多大？【例12】甲數比乙數大5,乙數比丙數大5,三個數

15、的乘積是6384,求這三個數?【鞏固】如果兩數的和是64,兩數的積可以整除4875,那么這兩個數的差等于多少?【鞏固】四個連續自然數的乘積是3024,這四個自然數中最大的一個是多少?【鞏固】2004720的計算結果能夠整除三個連續自然數的乘積，這三個連續自然數之和最小是多少?【鞏固】三個質數的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質數【鞏固】三個質數的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質數.【例13】3個質數的倒數之和是16史，則這3個質數之和為多少.1986【鞏固】有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是140.如果把所有這樣的分數從小到大排列,那么第三個分數是多少？【鞏固】一個分數，分

16、母是901，分子是一個質數.現在有下面兩種方法：分子和分母各加一個相同的一位數；分子和分母各減一個相同的一位數.用其中一種方法組成一個新分數，新分數約分后是-.那么原來分數的分子是多少.135看成8,由此得乘積為【例14】在做一道兩位數乘以兩位數的乘法題時，小馬虎把一乘數中的數字1872.那么原來的乘積是多少？【鞏固】某校師生為貧困地區捐款1995元.這個學校共有35名教師，14個教學班.各班學生人數相同且多于30人不超過45人.如果平均每人捐款的錢數是整數，那么平均每人捐款多少元？【例15】在射箭運動中，每射一箭得到的環數或者是“0”（脫靶），或者是不超過10的自然數.甲、乙兩名運動員各射了

17、5箭，每人5箭得到的環數的積都是1764,但是甲的總環數比乙少4環.求甲、乙的總環數各是多少？【鞏固】已知5個人都屬牛，它們年齡的乘積是589225,那么他們年齡的和為多少?模塊三、質數合數綜合型題目【例16】P是質數，P10,P14,P102都是質數.求P是多少?【鞏固】已知P是質數，P21也是質數，求P51997是多少?【例17】有些自然數能夠寫成一個質數與一個合數之和的形式，并且在不計加數順序的情況下，這樣的表示方法至少有13種。那么所有這樣的自然數中最小的一個是多少.【鞏固】如果一些不同質數的平均數是21,那么這些質數中最大的一個可能是多少?【鞏固】求1-100中不能表示成兩個合數的乘

18、積再加一個合數的最大數是多少?【例18】已知P,Q都是質數，并且P11Q932003，則PQ=【鞏固】將1到9這9個數字在算式的每個括號內各填入一個數字，使得算式成立,并且要求所填每一個括號內數字均為質數【鞏固】三個質數、口。如果口1,口。，那么是多少?【例19】有兩個整數，它們的和恰好是兩個數字相同的兩位數，它們的乘積恰好是三個數字相同的三位數.求這兩個整數分別是多少？【鞏固】兩個學生抄寫同一個乘法算式，兩個乘數都是兩位數，他們各抄錯了一個數字，于是得到兩個不同的算式，但巧合的是，他們計算的結果都是936。如果正確的乘積不能被6整除，那么它等于多少？【例20】如果某整數同時具備如下三條性質：這個數與1的差是質數，這個數除以2所得的商也是質數，這個數除以9所得的余數是5,那么我們稱這個整數為幸運數。求出所有的兩位幸運數【鞏固】如果一個數，將它的數字倒排后所得的數仍是這個數，我們稱這個數為回文數.如年份數1991,具有如下兩個性質：1991是一個回文數.199