1、規律探索.選擇題1. （2015湖南邵陽第10題3分）如圖，在矩形 ABCDK已知 AB=4, BG3,矩形在直線上繞其右下角的頂點B向右旋轉90。至圖位置，再繞右下角的頂點繼續向右旋轉90。至圖位置，以此類推，這樣連續旋轉2015次后，頂點 A在整個旋轉過程中所經過的路程之和是（）BAA. 2015兀B. 3019.5 兀C. 3018兀D. 3024兀考點:旋轉的性質；弧長的計算.規律型.分析:首先求得每一次轉動的路線的長，發現每4次循環，找到規律然后計算即可.解答:解：轉動一次A的路線長是:180轉動第二次的路線長是:轉動第三次的路線長是:18090兀 乂4180轉動第四次的路線長是:0

2、,轉動五次A的路線長是:907TX3 3五180以此類推，每四次循環, 故頂點A轉動四次經過的路線長為:2015F=503 余 3頂點A轉動四次經過的路線長為:6 兀X504=3024兀故選：D.點評：本題主要考查了探索規律問題和弧長公式的運用，發現規律是解決問題的關鍵.2. （2015湖北荊州第10題3分）把所有正奇數從小到大排列，并按如下規律分組：（1）, （3, 5, 7）, （9, 11, 13, 15, 17), (19, 21, 23, 25, 27, 29, 31),，現有等式 A= (i , j )表示正奇數 m是第 i 組第j個數（從左往右數），如A= （2, 3）,則A3

3、（A.(31, 50)B.(32, 47)C.(33, 46)D.(34, 42)考點：規律型：數字的變化類.分析：先計算出2015是第1008個數，然后判斷第 1008個數在第幾組，再判斷是這一組的第幾個數即可.解答： 解：2015是第201計1=1008個數，2設 2015 在第 n 組，則 1+3+5+7+ + (2n- 1)高008,即("I" - 1)“*008, 2解得：nRlOOg,當 n=31 時，1+3+5+7+ -+61=961;當 n=32 時，1+3+5+7+ -+63=1024;故第1008個數在第32組，第 1024 個數為：2M024 - 1=

4、2047,第32組的第一個數為： 2W62 - 1=1923,2015 - 1923則 2015 是(+1) =47 個數.,心故 A2015= (32, 47).故選B.點評：此題考查數字的變化規律，找出數字之間的運算規律，利用規律解決問題.3. (2015湖北鄂州第10題3分)在平面直角坐標系中，正方形ABCD、DEEB、A28GD2、D2E3E4B3、A3B3C3D3按如圖所示的方式放置，其中點B在y軸上，點C、E1、E2、G、E3、E4、G在x軸上，已知正方形 A BCD的邊長為1,/BCO=60。,B C / B2C2 / B3G3則正方形 A2015B2015G015。015 的邊

5、長是()D母尸【答案】D.【解析】從而可試題分析工用正方形的性質以及平行線的性質分別得出DE形時察立，進而得出 ，r個.J求出答案.試題解析：,正方形ABCD的邊長為1， Z0；C；O=6Oa . BCZ7%CWB/>M/BCE；=60° , /D：CE：=30” , /E；B；C：=30° ,. 1 1D；E： DC*D：Ei=B：E：= d. o REg30 =.=&G B£：J3解卷：3;C r FW rp-46.B上&cos30J&G解得；EC= r故選D.考點：1.正方形的性質；2.解直角三角形.4. （2015?山東威海，

6、第12題3分）如圖，正六邊形 ABGDEiFi的邊長為2,正六邊形A2RCOE2F2的外接圓與正六邊形 ABCDEiFi的各邊相切，正六邊形 A38GC3曰F3的外接圓與正六邊形 A2B2GC2E2F2的各邊相切，按這樣的規律進行下去，A10810c0D0E10F10的邊長為（）DS1C -29考點：正多邊形和圓.專題：規律型.分析： 連結OE, OD, OD,如圖，根據正六邊形的性質得/EiOD=60°,則 E1OD為等邊三角形，再根據切線的性質得 OD，ED,于是可得 ODyED西>2,利用正六邊形的邊長等于它的半徑得到正六邊形 ABGC2EF2的邊長=gx2,同理可得正六

7、邊形 ARGDEFs的邊長=*)2>2,依此規律可得正六邊形 A0B0c0D0E10F10的邊長=萼)92 然后化簡即可.解答： 解：連結OE, OD, OD,如圖, 六邊形 ABCDEE為正六邊形， ./ EQD=60 , . E1OD為等邊三角形，正六邊形 ABGDE2F2的外接圓與正六邊形 ABGDEiFi的各邊相切, .OD，EQ,. OD=WED=Wx2, 229813 正六邊形 ABC2DE2F2的邊長 等 >2,A0B0G0D0E10F10 的邊長=同理可得正六邊形 ARGQER的邊長=則正六邊形故選D.點評：本題考查了正多邊形與圓的關系：把一個圓分成n (n是大于2

8、的自然數)等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓.記住正六邊形的邊長等于它的半徑.5. (2015?山東日照，第11題3分)觀察下列各式及其展開式：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b) 4=a4+4ab+6a2b2+4ab3+b4(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5請你猜想(a+b) 10的展開式第三項的系數是()A.36 B.45 C.55 D.66考點：完全平方公式.專題：規律型.分析：歸納總結得到展開式中第三項系數即可.解答： 解：解：(a+b) 2

9、=a22+2ab+b2；(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；(a+b) 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；(a+b) 7=a7+7a6b+21 a5b2+35a4b3+35a3b4+21 a2b5+7ab6 +b7；第8個式子系數分別為：1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1;第 9 個式子系數分別為：1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1;第 10

10、 個式子系數分別為：1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 ,則(a+b) 10的展開式第三項的系數為 45.故選B.點：此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵6 ,(2015?L|東臨沂，第11題3分)觀察下列關于x的單項式，探究其規律：x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,.按照上述規律，第 2015個單項式是()(A) 2015 x2015.( B) 4029 x2014.( Q 4029 x2015.(D) 4031 x2015.【答案】Q【解析】試題分析：根據這組數的系數可知它彳門都是連續奇數，即系數為(2n-1

11、),而后面因式x的指數是連續自然數，因此關于x的單項式是 -1) P 所以第2015個單項式的系數為 2>2015 1=4029,因此這個單 項式為故選Q考點：探索規律7. (2015河南，第8題3分)如圖所示，在平面直角坐標系中， 半徑均為1個單位長度的半圓 O, O, Q, 組成一條平滑的曲線，點 P從原點Q出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第 2015秒時，點P的坐標是()A. (2014,0 ) B (2015, 1)Q (2015,1) D (2016,0)B【解析】本題考查直角坐標系中點坐標的規律探索半圓的半徑r=1,，半圓長度=兀,.一. 兀，第2015秒點

12、P運動的路徑長為：->2015,花- X2015-聲10071, 點P位于第1008個半圓的中點上，且這個半圓在x軸的下方2，此時點P的橫坐標為：1008X21=2015,縱坐標為1, 點R2015, - 1).第S題解圖圖”中的“O個數，若第n個 龜圖”中有245個則n=()O 0 O o o O o o O0A.14 B.15 C.16 D.17考點：規律型：圖形的變化類.分析：分析數據可得：第1個圖形中小圓的個數為 5;第2個圖形中小圓的個數為 7;第3個圖形中小圓 的個數為11;第4個圖形中小圓的個數為 17；則知第n個圖形中小圓的個數為 n (n-1) +5.據此可以再 求得

13、龜圖”中有245個“O n的值.解答：解：第一個圖形有：5個Q第二個圖形有：2X1+5=7個Q第三個圖形有：3次+5=11個Q第四個圖形有：4X3+5=17個Q由此可得第n個圖形有：n (nT) +5個Q則可得方程：n (n- 1) +5=245解得：m=16, n2=- 15 (舍去).故選：C.點評：此題主要考查了圖形的規律以及數字規律，通過歸納與總結結合圖形得出數字之間的規律是解決問題的關鍵，注意公式必須符合所有的圖形.8. (2015研川省宜賓市，第 7題，3分)如圖，以點 O為圓心的20個同心圓，它們的半徑從小到大依次是1、2、3、4、20,陰影部分是由第l個圓和第2個圓，第3個圓和

14、第4個圓，第l 9個圓和第20個圓形成的所有圓環，則陰影部分的面積為( B )A231 兀B210 兀C190 兀D.171 兀工分析1根據題意分別我示出各圓環的面積，進而求出它們的和即可.1解答】解：由題意可得：陰影部分的面枳和為：n （22-12） 一耳 （42-32）-江（爐-爐）i-正（20219：）=3 -7-11 +15 i*+39 1T=5 （3 向+39北）=210 故選：B.I點評】此題主要考查了圖形的變化類以及圖的面積求法，分別裹示出各圓環面積面租是解題關鍵.9. （2015領江寧波，第10題4分）如圖，將ABC占著過AB中點D的直線折疊，使點 A落在BC邊上的A處，稱為第

15、1次操作，折痕 DE到BC的距離記為；還原紙片后，再將 4ADE替著過AD中點D的直線折疊，使點A落在DE邊上的4處，稱為第2次操作，折痕 DE到BC的距離記為h2 ；按上述方法不斷操作下去，經過第2015次操作后得到的折痕。014a14到BC的距離記為卜?。,若=1,則卜2015的值為【D. 2 -22014【答案】D.【考點】探索規律題（圖形的變化類）【分析】根據題意和折疊對稱的性質,;折疊對稱的性質；三角形中位線定理D弱 ABC勺中位線，DE1是A DE1的中位線，DE是A2QE1的中位線,11h2 =1 =1 - 122111h3 =11 -222122111h4=1-1-23=122

16、2231121% )2122014 二1122014故選B.填空題1. (2015?t肅武威，第18題3分)古希臘數學家把數 1, 3, 6, 10, 15, 21,叫做三角形數，其中1是第一個三角形數，3是第2個三角形數，6是第3個三角形數，依此類推，那么第 9個三角形數是45 , 2016是第63個三角形數.考點：規律型：數字的變化類.分析：解答：根據所給的數據發現：第 n個三角形數是1+2+3+5由此代入分別求 得答案即可.解：第9個三角形數是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,1+2+3+4+-+n=2016,n (n+1) =4032,解得：n=63.故答案為：45,63.點

17、評：此題考查數字的變化規律，找出數字之間的運算規律，利用規律解決問 題.4. (2015?四川省內江市，第16題，5分)如圖是由火柴棒搭成的幾何圖案，則第n個圖案中有 2n (n+1)根火柴棒.(用含n的代數式表示)4根R=1考點：規律型：圖形的變化類.專題：壓軸題.分析：本題可分別寫出n=1, 2, 3,，所對應的火柴棒的根數.然后進行歸納即可得出最終答案.解答：解：依題意得：n=1,根數為：4=2X1 x (1+1)；n=2,根數為：12=2X2X (2+1);n=3,根數為：24=2 0 X (3+1);n=n 時，根數為：2n （n+1）.點評：本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中

18、經常出現.對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的.5. （2015深圳，第15題 分）觀察下列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第 56個圖形有 個太陽。、同工1； P* /*£ 電*.fc i JI a/ljl ifc'l1 <.咎|i ifiV /.、iTIi, Pf 'j, |r. 'ijj*. J *kJLj k_< j -h t tJl k I b fcjja, I j at/ * J . .14 % Ba魅；出器垂蚱熱:準推券券除券券峰雎陽1用工閽3|«4【答案】21【解析】第一行的規律是1

19、, 2, 3, 4,，故第五個數是5;第二行的規律是1, 2, 4, 8,，故第五個數是16;故第五個圖中共有 21個太陽。7.（2015貴州六盤水，第17題4分）在正方形 ABCO和A2B2C2G,按如圖9所示方式放置，在直線y = x + 1上，點G, C2在x軸上，已知 A點的坐標是（0, 1）,則點B2的坐標為考點：一次函數圖象上點的坐標特征；正方形的性質. 2,即可求專題：規律型.分析：根據直線解析式先求出OA=1,求得第一個正方形的邊長，再求出第二個正方形的邊長為得B2的坐標.解答：解：,直線y=x+1,當x=0時，y=1,當y=0時，x=T,，OA=1, 001, .Z ODA=

20、45 , .Z AAB=45 , . A>B=ABi=1,AC=GG=2, .OOOOCG=1+2=3,E2 （3, 2）.故答案為（3, 2）.3x25x4x38. （ 2015?山東萊蕪，第 17 題 4 分）已知：C? =-3 , C? =-10 ,1x21x2x3 6x5x4x3C=15, ,Ix2x3x4觀察上面的計算過程，尋找規律并計算【答案】210試題分析：對于(bva)來講，等于一個分式，其中分母是從1到b的b個數相乘，分子是從 a開始乘，乘到a b+1,共b個數相乘.因此其規律是:10x9x8x7x6xSGo =210.Ix2x3x4x5x6考點：規律探索9. （201

21、5湖北省孝感市，第15題3分）觀察下列等式：1=12; 1+3=22; 1+3+5=32; 1+3+5+7=42;，貝 U 1+3+5+ - +2015 =.考點：規律型：數字的變化類.分析：根據 1=12; 1+3=22; 1+3+5=32; 1+3+5+7=42;，可得 1+3+5+ - -+ （2n- 1） =n2,據此求出 1+3+5+-+2015 的值是多少即可.解答：解：因為 1=12； 1+3=22; 1+3+5=32; 1+3+5+7=42;，所以 1+3+5+-+2015=1+3+5+-+ (2X1008- 1) =10082 =1016064故答案為：1016064.點評：

22、此題主要考查了探尋數列規律問題，注意觀察總結規律，并能正確的應用規律，解答此題的關鍵是 判斷出：1+3+5+-一+ (2n-1) =n2.10 . (2015湖南省益陽市，第13題5分)如圖是用長度相等的小棒按一定規律擺成一組圖案，第1個圖考點：規律型：圖形的變化類.分析：由圖可知：第1個圖案中有5+1=6根小棒，第2個圖案中有2X5+2-1=11根小棒，第3個圖案中有3 >5+3 - 2=16根小棒，由此得出第n個圖案中有 5n+n- (n-1) =5n+1根小棒.解答： 解：:第1個圖案中有5+1=6根小棒，第2個圖案中有2X5+2-1=11根小棒，第3個圖案中有 3X5+3-2=1

23、6根小棒，第n個圖案中有 5n+n- (n1) =5n+1根小棒.故答案為：5n+1.點評： 此題考查圖形的變化規律， 找出圖形之間的聯系， 得出數字之間的運算規律，利用規律解決問題.14. (2015黑龍江綏化，第20題 分)填在下面各正方形中的四個數之間都有一定的規律，按此規律得出a+b+c=分析：觀察不難發現，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的數是左下角與右上角兩個數的乘積減去1的差，根據此規律列式進行計算即可得解.解答：解：根據左上角 +4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的數是左下角與右上角兩個數的乘積減去1的差，可得 6+4=a, 6+3=c, ac+1=b,可得：

24、a=10, c=9, b=91,所以 a+b+c=10+9+91=110,故答案為：11020. (2015 山東濟寧，15, 3 分)若 1x22_2x3?=_x2x7,(1x21 2白)10x4； 4k)2x3x11,(1x22-2x33)+(3x42-4x5j)+(5x62-6x72) =-3x4x15則。父” 2x3?)i0x4? 4蕭)1 I 。力 lX2n): 板2<11獷一【答案】n( n+1)(4 n+3)【解析】試題分析：根據各個式子的特點可知:第一個等式中，右邊相乘的第一個數是第二個等式中，右邊相乘的第一個數是第三個等式中，右邊相乘的第一個數是1,第二個數是1+1,第三個數是等號左邊最后一個數2,第二個數是2+1,第三個數是等號左邊最后一個數3,第二個數是3+1,第三個數是等號左邊最后一個數3X2+1;5X2+1 ;7 >2+1 ;第n個等式中，右邊相乘的第一個數是-n,第二個數是n+1,第三個數是等號左邊最后一個數(2n+1) >2+1=4n+3;因此結果為一n( n+1)(4 n+3).考點：規律探索22. (2015殘徽省，第13題，5分)按一定規律排列的一列數：21, 22, 23, 25, 28, 2：表示這列數中的連續三個數，猜想x、v、z滿足的關系式是 考點：