1、13.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應mu& + ku = p0 sin wt特解滿足運動方程的解，記為up(t)，是由動荷載p0sinwt直接引起的振動解。設特解為：pparticular其中，w/wn頻率比，外荷載的激振頻率與結構自振頻率之比。6/73C = p01,k 1 - (w / w )2nD = 0(k - mw2)C - p sinwt +(k - mw2)Dcoswt = 00up (t) = C sin wt + D coswtmu&& + ku = p0 sinwt3.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應運動方程是帶有初值條件的二階常微分方程全解=齊次

2、方程的通解+特解通解對應的方程是一個自由振動方程，其解uc 為無阻尼自由振動uc (t) = A coswnt + B sin wntwn =k / mc - complementary5/73mu& + ku = p0 sin wt3.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應運動方程：mu& + ku = p0 sin wt其中：p0 簡諧荷載的幅值 簡諧荷載的圓頻率初始條件 ：u t =0 = u(0) ,u& t =0 = u&(0)4/733.3 單自由度體系對簡諧荷載的反應單自由度體系對簡諧荷載作用下的反應是 結構動力學中的一個經典內容。l 實際工程中存在這種

3、形式的荷載。l 簡諧荷載作用下單自由度體系的解提供了了解 結構動力特性的和方法。l 簡諧荷載作用下的解可用于分析更復雜荷載作 用系的動力反應。3/73第3章 單自由度體系3.3 單自由度體系對簡諧荷載的反應2/73q 單自由度體系對簡諧荷載的反應無阻尼體系的簡諧荷載反應有阻尼體系的簡諧荷載反應共振反應動力放大系數Rd阻尼體系動力反應與荷載的相位關系q 用簡諧振動試驗確定體系的粘性阻尼比共振放半功率點法 (半功率帶寬法)1/732動力放 大系數 R d3.3.2 有阻尼體系的簡諧荷載反應運動方程mu& + cu& + ku = p0 sin wt初始條件u t =0 = u(0)

4、 ,u& t =0 = u&(0)利用c=2mwnz，并將運動方程兩邊同除m， 得到如下形式的運動方程u& + 2zw u& + w 2u = p0 sin wtnnm12/733.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應無阻尼體系共振時動力反應時程共振時(w=w )： u(t) = ust (w t cosw t - sinw t)n2nnnu(t)/ust3020包 絡 線10002468 t/Tn-10-20ujuj 1-3011/733.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應無阻尼體系動力放大系數R = u0 =1dust w=0 ， Rd =1 w=wn，Rd 發生

5、共振 w/wn2，Rd110/731 - (w / w )2n8765432100.00 51.01.52.02.53.0頻率比 /n3.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應穩態反應：u0穩態反應的振幅ust等效靜位移，或靜位移Rd動力放大系數：9/73u01Rd = u=st1 - (w / w )2nu = p0stku = p010k 1 - (w / w )2nu(t) = p01sin wt k 1- (w / w )2n3.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應滿足初始條件的解 ：瞬態反應u(t) = u(0) cosw t + éu&(0) - p0w / wn 

6、9; sin w tnê2 únë wnk 1- (w / wn ) û+ p01sin wt k 1- (w / w )2n瞬態反應和穩態反應穩態反應8/733.3.1 無阻尼體系的簡諧荷載反應全解=通解+特解u(t) = uc (t) + up (t)= A cos w t + B sin w t + p01sin wtnnk 1- (w / w )2n待定系數A、B由初值(始)條件確定7/73u(t) t =0 = u(0) u&(t) t =0 = u&(0)A = u(0)B = u&(0) - p0w / wnwk 1

7、 - (w / w )2nn33.3.2 有阻尼體系的簡諧荷載反應0000 0000n 雖然一般情況下，感 的是分析穩態反應項，但也應當注意，在特殊情況下，在反應的初始階段瞬態反 應項可能遠遠大于穩態反應項，從而成為結構最大反 應的 量，對于這種情況，在結構的動力反應分析或結構設計時瞬態反應項的影響不能忽略。n 如果采用的分析方法能自動包括全解，例如采用后面 將介紹的時域逐步 法進行分析，則 出現忽略瞬態反應項的問題，因為這時所獲得的解中既包含了 穩態項也包括了瞬態項。n 瞬態反應項以結構的自振頻率振動，可以反映結構的 動力特性；n 穩態反應項以外荷載的激振頻率振動，可以反映輸入 荷載的性質。

8、18/733.3.2 有阻尼體系的簡諧荷載反應u ( t ) /u st總體反應=0 022.0/n=0 2穩態反應1. 5u(0)=01. 00. 50. 001234t/T n-0 . 5-1 . 0-1 . 5-2 . 0有初始條件影響的簡諧荷載反應時程17/733.3.2 有阻尼體系的簡諧荷載反應運動方程的全解：u(t)=uc+upu(t) = e-zwnt (Acosw t + Bsinw t) + (Csinwt + Dcoswt)DD瞬態反應穩態反應16/731 - (w / w )2C = ustn1 - (w / w )2 2 + 2z (w / w )2nnD = u-2z

9、w / wn st 1 - (w / w )2 2 + 2z (w / w )2nn3.3.2 有阻尼體系的簡諧荷載反應éw 2 ùwê1 - ( w ) ú C - ( 2 z w ) D = u stënûn( 2z w )C + é - ( w ) 2 ù D = 0wê1wúnënû1 - (w / w )2C = ustn1 - (w / w )2 2 + 2z (w / w )2nnD = u-2zw / wn st 1 - (w / w )2 2 + 2z (w

10、 / w )2nn15/733.3.2 有阻尼體系的簡諧荷載反應特解up可以設為如下形式 :u p (t) = C sin wt + D coswté w 2 -w2)C - 2zw wD- p0 ùsinwt +2zw wC +(w 2 -w2)Dcoswt = 0ê( nnm únnëûé(w 2 -w2)C - 2zw wD - p0 ù = 0; é2zw wC +(w 2 -w2)Dùcoswt = 0êë nnm úûënnû

11、;14/73u& + 2zw u& + w 2u = p0 sin wtnnm3.3.2 有阻尼體系的簡諧荷載反應通解uc對應于有阻尼自由振動反應mu&& + cu& + ku = 0u (t) = e-zwnt ( A cosw t + B sin w t)cDDw = w1 - z 2Dn13/734動力放大系數Rd=u0/ust動力放大系數R =u /ud 0 st63.3.4 動力放大系數R=0.01d5=0.143=0.221=0.8=0.5=100123頻率比 /n1( 1) 當 z ³時， R d £ 1 ，即體系不發生

12、放大反應。211w( 2) 當 z <時， ( R )=, ()= 1 - 2z 2 。2d max2z 1 - z 2w 峰值 n橫坐標( 3) 當 w / w = 1 （共振時）， R = 1 。nd2z( 4) 當 w / w n ³ 2 時， R d £ 1 ， 對任意 均成立。 3.3.4 動力放大系數Rd6 =0.015 =0.141Rd =1-(w/w )22 +2z (w/w )2nn3 =0.221=0.8=0.5=100123頻率比 /n3.3.4 動力放大系數Rd動力放大系數定義為：22/73R =1d1- (w / w )2 2 +2z (w

13、/ w )2nnu 0 = u st11 - (w / w n ) + 2z (w / w n )2 22R = u0dust3.3.4 動力放大系數Rd (dynamic magnification factor)振動的穩態解u(t) = C sin wt + D coswt = u0 sin(wt - f )u0 穩態振動的振幅f 相角，反映體系振動位移與簡諧荷載的相位關系u = C 2 + D2 ,f = tan-1(- D )0Cu = u10st2 221 - (w / w n ) + 2z (w / wn )f = tan -1 2z (w / wn ) 1 - (w / w )2

14、n21/73u = p0 靜位移stk=1-(w/w )2nC ust 1-(w/w )2 +2z(w/w )nnD=u-2zw/wn st 1-(w/w )22 +2z(w/w )2nn3.3.3 共振反應（w=wn）u(t)/ust1/2n1/2有阻尼體系共振反應時程20/73t/T3.3.3 共振反應（w=wn）1- (w /wn )2C = ust 1- (w /w )2 2 +2z (w / w )2nnD = u- 2zw /wn st 1- (w / w )2 2 +2z (w / w )2nn滿足零初始條件A = 1 u , B =1u2z st2 1 - z 2 st運動解

15、u(t) = ust é -zw t (cosw t + zsinw t) -cosw tùêe nDDn ú2z êë1-z 2úû當z=0時 ： u(t ) = - ust (w t cos w t - sin w t)2nnn與無阻尼時的結果完全相同19/73C = 0 , D = - u st 2zu(t) = e-zwnt (Acosw t + B sinw t) - ust coswtDD2z。5相角f動力放 大系數 R d u 0/u st動力放 大系數 R d u 0/u st3.3.6 用強迫振動

16、試驗確定體系的阻尼比(1)峰值的大小，(2)曲線的胖瘦。6=0.015=0.143=0.221=0.8=0.5=100123頻率比 /n30/73利用體系對簡諧荷載反應的結果也可以得到體系的阻尼比。有兩種主要方法：共振放和半功率帶寬法其原理均是基于對動力放大系數Rd的分析。3.3.6 用簡諧振動(強迫振動)試驗確定體系的粘性阻尼比可以用自由振動方法求阻6=0.01尼比z的是由于自振5衰減的快慢由z，或=0.14說衰減規律可以明顯反應出阻尼比z的影響。3=0.2而動力放大系數同樣受z2，Rd曲線形狀可以反1=0.8=0.5=1映出z的影響，其影響主00123要有兩點：頻率比 /n(1) 峰值的大

17、小， (2)曲線的胖瘦。29/73=0.0=0. =0.2=0.=0.81三種特殊情況時體系振動位移與簡諧荷載的相位關系28/73由f - w /wn 圖物理解釋（根據關系 fS µ u, fC µ u&, fI µ u&& = -w u ）2 w / wn ® 0 時 ® 0w ® 0 則u& 和u&& ® 0 ，即 fc 和 f I ® 0則 f S » p(t) ,即ku » p(t) ， u 與 p(t) 相位相同 w / wn = 1 時

18、 = 90of = mu&& = -mw 2u = -ku = - f Þ f + f = 0InsI SÞ fc = p(t), 即cu& = p(t), u&與p(t）同相 而u&與u 相差90o，因此u(t)與p(t)相差90o w / wn ® ¥ 時 = 180ow ® ¥，則fI >> fS 和fc , 則fI » p(t)，而慣性力與位移反相，所以位移與p(t)相差180o，則f = 180o3.3.5 阻尼體系動力反應與荷載的相位關系180=0.01=0.1

19、135=0.2=0.5 =0.8 =19045f = tan -1 2z (w / w n ) 1 - (w / w ) 2n00123頻率比w/wn27/733.3.5 阻尼體系動力反應與荷載的相位關系。右圖給出阻尼比z=0.2 時，相應于不同頻率比w/wn 時的外力和位移曲線及滯后相角f相角f實際是反映結構體系位移(反應)相應于動力荷載的反應滯后時間。從圖中可以發現，頻率比越大， 即外荷載作用得越快，動力反應的滯后時間越長。3.3.5 阻尼體系動力反應與荷載的相位關系在動力荷載的作用下，有阻尼體系的動力反應（位移） 一定要滯后動力荷載一段時間，即存在反應滯后現象這個滯后的時間即由相角f反映

20、，如果滯后時間為t0， 則 f =wt0 （t0=f /w）。由計算f 的公式可知，滯后的相角與頻率比w/wn和阻尼大小均有關系。25/73f = tan -1 2z (w / w n )1 - (w / w ) 2n6動力放大系數R =u /ud 0 st動力放大系數Rd=u0/u t動力放大系數R =u /ud 0 st位 移 放 大 系 數 R d1/ 2 倍最 大振幅最大 振幅 三種阻尼比的測量方法前面學習了三種測量結構阻尼的方法(1)對數衰減率法(2) 共振放(3) 半功率帶寬法雖然是單自由度體系推導的，但對多自由度體系同樣適用。36/73半功率帶寬法(半功率點法)證明：(3.60)

21、(3.61)11由 Rd 可知 Rd 的最大值。( Rd ) max =。而振幅等于 倍(Rd)max 對應的頻2z 1 - z 22率滿足以下方程 1= 1 1(a)1 - (w / w ) 2 2 2z (w / w )2 2 2z 1 - z 2nn對式(a)兩邊同時取倒數 并開平方 整理后得( w ) 4 - 2(1 - 2z 2 )( w )2 1 - 8z 2 (1 - z 2 ) = 0(b)w nw n式(b)是關于(/n)2 一元二次方程 可得兩個根為( w ) 2 = (1 - 2z 2 ) ± 2z 1 - z 2(c)w n式(c)取正號時對應數值較大的根 b

22、 負號對應較小的根 a。一般的工程結構 阻尼比較小 式(c)中 的平方項可忽略 因此w » 1 ± 2z » 1 ± zw n則對應于半功率點的兩個根為wb = 1 z , wa = 1 - z(d)wnwn由式(d)得到半功率點頻率 b 和 a 與阻尼比 的關系wb - w a = 2z(e)wn由此得到式 (3.60) 若再用式(d)得關系 w b w a = 2 代入式(e) 又得到式 (3.61)wz = wb - wa wb + waz = wb - wa 2wn3.3.6 用強迫振動試驗確定體系的阻尼比2、半功率點法 (半功率帶寬法)半功率點

23、：動力放大系數Rd 5上振幅值等于1/2倍最大振4幅的點所對應的兩個頻率點。3記 a和b分別等于半功率點對應的兩個頻率。2半帶寬則阻尼比z0 00 51 0可由如下公式計算：頻率比/n34/73z = fb - fa fb + faz = fb - fa 2 f nz = wb - wa wb + waz = wb - wa 2wn3.3.6 用強迫振動試驗確定體系的阻尼比61、共振放=0.015 =0.143 =0.221=0.8=0.5=100123頻率比 /n用共振放 確定體系的阻尼比，方法簡單。但實際工程中測得的動力放大系數曲線一般以u0w圖給出，用 以上公式計算阻尼比時，還需得到零頻時的靜位移值ust，實際測量靜載位移無論從加載設備