1、第一題、如圖,P為do外一點二鼠、PB分別切8于A、B,PCD為軟一條害嶼,8交00于另一點E,4EB交干點F,證實；CD平分/ADF.,F證實方法一：如圖,延長ED交CA于K,根據(jù)條件知四邊形CADB為調和四邊形,故ED、EC、EA、EB構成一組調和線束,進而知K、C、A、F構成一組調和點列.而KD±CD,故CD平分/ADF."ZAOE-ZBOC1M-NA0C-NB0C誦肪法二如圖,連結0A、OB、AB、BC,由于NAFB:NACE-NBEC=乎,目PA=PB,故點P為aABF的外心.于是知ZPFA=ZPAC=ZPDA,所以P、A、D、F四點洪圖.又PA=PF,故CD平分

2、NADF.第二題、如圖,AB為00直徑,C、D為00上兩點,且在AB同側,O0在C、D兩處的切線交于點E,BC、AD交干點F,EF交AB于心證實：E、C、M、D四點洪圖證實：如圖,延長AC、BD交于點、K,那么BC_LAK>AD1BK,從而知F為KAB的垂心.又在圖內接六邊形CCADDB中使用帕斯卡定理,知K、E、F三點共線,從而KMj_AB于M.于是知NCMF=ZCAF=NCDEj所以E、C、M、D四點、共同.OM第三題、如圖,AB為直徑,C、D為.上兩點,且在AB同側,00在C、.兩處的切線交于點E>BC、AD交于點F,EB交.于點G,證實；/CEF=2/AGF."證

3、實：如圖,根據(jù)條件知/CFD=空歲=8一)=/CAB+/DBA=ZECF+NEDF,HEC=ED,故點E為CFD外心.于是知/EFC=ZECF=ZCAB=/CGE,故E、C、F、G四點共圓.所以,ZCGF=ZCEF=2(90°-ZECF)=2(90.-ZCAB)=2ZABC=2ZAGC.所以ZAGF=等=今,即得/CEF=2ZAGFo,第四題、如圖,&為.0直徑,P為AB延長線上一點、,PC切00于C,點C關干弱的對稱點為點D,CE1AD于E,F為CE中點“AF交.于K,求證：AP為aPCK外接圓的切線.第三十九屆工M0預選題"證實：如圖連接P"根據(jù)圓的對

4、稱性知,點、D在.0上,目PD切00于D.連接CD交AB于T,那么CT1AB,且T為CD中點.連結TF、TK.顯然TF為4CDE的中位線,所以TF/AD,所以TF±CE,且NTFK=ZDAK=ZTCK,所以C、F、T、K四點共圓.于是知/KTP=9T-NKTC=ZKCD=ZKDP,所以T、D、P、K四點共圖,所以NTPK=ZTDK=ZPCK,所以AP為PCK外界圖的切線.,第五題、如圖,四邊形ABCD內接于O0,且AC為90直徑,D關于AC的對稱點為E,C關于BD的對稱點為F,AF交BD于G,BE交AC于K,求證：KG±BGo2021年新加坡數(shù)學奧林匹克公開賽第二輪試題&q

5、uot;證實方帚：如圖,根據(jù)條件,顯然點E在.0上,從而BC平分NDBE.設BD交AC于M.注意到ZABC=90%所以AB為NKBM的外角平分線,于是失喘=提=恐,從而AMAKCM=CK°"連結伏,根據(jù)對稱性,GB平分/AGC,所以鎧=察=%所以KG為/AGC的外角平分縹所以KG1BG.,BE證實方法二：如圖7根據(jù)條件,顯然點E在.上,從而BC平分/DBE.設BD交AC于M.注意到NABC=90.,所以K、M、C、A構成一組調和點列.連結也根據(jù)對稱性,GB平分/AGC,根據(jù)調和性質知KG1BG.命題得證第六題、如圖,P*PB分別切.0于A、B,K為.0上一點,BD10K于D

6、,分別交KP、KA于E、F,證實：E為BF中點、.證實方法一：如圖,過點K作O0的切線KT,那么KT,BDc又KT、KP、KB、KA構成一組調和線束,故E為BF中點.證實方法二：如圖,延長K0交.于T,延長TA交KB于S,連結TB交AK于H,在圓內接六邊形AATBBK中使用帕斯卡定理,知S、P、H三點共線.又KAj_TS,TB±KS,故點、H為ASTK垂心.進而知NSAP=NTKA=NASP,從而知P為SH中點.注意到SH“BD,故E%BF中點.d第七題、如圖'ZiABC中,CA=CB,D為AB中點,EF過點D,且使得ABC與AEFC有共同的內心,證實:DE-DF=DA2.證

7、實：如圖,設ABC與共同的內心為I,取ABC的C房心為點J,貝JC、D、I、J構成一組調和點列,從而點J也為4?印的C謗心.取IJ中點為K,那么KI=KJ=KA=KB=KE=KF,故A、E、I、B、F、J六點共回,所以DEDF=DA-DB=DA2°/第八題、如圖2aABC中/AD平分NBAC交BC于D,DE±AB于E,DF,AC于F,CE、BF交于點K,證實：AKlBCoN證實：如圖,延長AH交BC十G,根據(jù)寒乩定理知急器噂=1=*=需=左季故AK1BC.p第九題、如圖,P為.外一點,PA、PB分別切O0于A、B,C為O0上一點,過C作00切線別交PA、PB于E、F>

8、0C交AB于L,LP交EF于D,證實：D為EF卬點.199L年四川竟暮題一證實：如圖,過點L作0C的垂線分別交PA、PB于M、/注意到0A1PM、OB_1_P比根據(jù)西嫂松定理逆定理知0、H、P、N四點共圓.又0P平分/AFB,故0M=.2進而知LM=LNo而MNEF,故D為EF中點.第十題、如圖,點P為.外一點,PA、PB分別切00于A、B,C為.上一點,CD1AB于D,過C作.0的切線分別交PA、PB于E、F,證實：CD平分/EDF.“證實方法一：如圖,延長正交BA于K,過K作.切線KT切O0于T,注意到點K在P關于00的極線上,故點P也在點K關于.的極線上,從而知P、C、T共線.于懸口K、

9、C、E、F構成一組調和點列.而CD1AB,故CD平分/EDF.,證實方法二如圖,作EM1AB于M,作FN1AB干N,嚕二盤二六二器,故AEMDcoAfnd,所以/EDM=NFDN,所以NEDC=ZFDCo第十一題、如圖,AB為00亙徑/PA切Q0于A,PCD為O.一條割線,P0交BD于E,講月：AC1AE.“證實方法一？如圖,作PK切O0于K,那么PEj_AK,BK1AK,所以KB"PE°又注意到四邊形CADK為堀和四邊形,故BK、BA、DC、BD構成一組調和線束,從而.為EF中點,進而知四邊形AEBF為平行四邊形.干是知AEBCj從而知AE±AC.證實方法二：如

10、圖,連結成交PE于F.作0K1CD于K,那么K為CD中點.注意到0、K、AsP四點共圓,故/AKD=ZFOBo又/ADK=NFB0,AADKo>AFB0o注意點0為AB卬點,故ADCsaFBA,從而知NFAB=NACD=NABD,故AFBD,于是知四邊形AEBF為平行四邊形,所以AEBC,即知AE±AC.*BP證實方法三：如圖,延長AE交00于K,在圖內接六邊形AABDCK中使用帕斯卡定理,注意到P、0、E共線,故C、0、K共線,所以AE,AC.3笫十二題、如圖,AB為半圓.直徑,C、D為半圓上兩點,過B作半圓.的切線交CD于P,直線P.分別交屋戔以、AD于E、F,求證：0E=

11、0F.2007年第四屆東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克試題,證實方法一：如圖,過P作PG切半圓.于G,連接GA、GB、GC、GD、BC、BD.易知0P1BG,AG1BG,所以AG"OP.又四小形CBDG是調和四邊形,所以AC、AD、AG、AB柱成一組調和線束.又由于AG"OP,所以OE=OF.誕昉法二：如圖,作田切O0于G,貝B、G關于P0對稱,且P、B、0、G四點共圖.所以/GPO=/GBA=NGDAj于是知D、P、F、G四點共圓.進而知/FBP=/FGP=ZFDP=ZCDA=ZCBA,故NFBC=/PBA=90.=NECB,所以FB"EA.而.為AB中點、故.為EF中點.

12、"第十三題、如圖,AABC中,D、E分別為ABXAC上一點,且DE/BC,BECD交于點F,BDF的外接圖與4CEF的外接圓OP交于點G,求證：NBAF=NCAG.A證實：如圖,延長AF交BC于H,由于DE/BC,所以H為BC中點,延長AH到I,使得AH=HI,連接BC、CI,那么四邊形ABIC是平行四邊形°d連接GC、GE、GD、GB、FG,由于/ACG=NBFG=NBDG,所以A、DG、C四點共圖.于是知NDGC=180.一NBAC=NABI.同理可知A、B、G、E四點共是.所以ZDBG=ZCEG,ZBDG=ZECG,所以ABDOsZkECG,所以.=整=黎=常所以DG

13、CsZkABi,所以NBAF=NGDC=NCAG.合題得證.注；點G即為完全四邊形ADFEBC的密克點©一第十四題、如圖,.0、©P交于A、B兩點、,BO、PA延長線交于點C,CD、CE分別切.0、0P于D、E,連接DE交AB于F,求證：F為DE中點.深圳黎譽俊老師題"證實:如圖,延長AP交0P于G-連接EG,EP、FA、訊OP、OA、06加、RM設00、OP半徑分別為口、匕.,由于曰=吧2吧=吧二處幺巴="=乂所以CD0SACEP,于是知母二口.JCPsmZCOPsinZBOPsinZAOPAPr/m人'JAUCEr2進而易知CDBs2kCEG

14、s2CAE,于是知胎=管=手由當=iQACDAcoACBE,從而AcLAvcDACA=Q一BECE-pBxpS0AB_DADB-sinZADB_DADBsinZADB_CDCAsinNAOP_CDsinZAOP_rt丁正加S皿日一EAEBsinZAEB-BEAE,linZAEB-CACEtinNAPO一CE'sinZAPOr2-器=1.所以F為DE中點.“第十五題、如圖,半徑不相等的兩圓.0、OP交于A、B兩點,過A的直線CD分別交00、0P于C、D,CB延長線交.P于F,DB延長線交.0于E,過A作CD垂線交EF中垂線于G,求證：AG2=EG2+AC-ADo(2021年CK)第一題推

15、廣)/D0P譚明：如圖,連接AB、CE、DF、GF.由于NCAE=NCBE=NFBD=NFAD>ZACE=ZABD=ZAFD,所以ACEs/UFD,所以ACAD=AEAF,又由于00、半徑不相等,所以AEhAF.,又由于ZEAG=90°-ZCAE=90°-ZCBE=900-ZFBD=90°-ZFAD=ZFAG>GE=GF,所以A、E、G、F四點共圓.易知GEKs2kGAE,所以EG?=GKAG.又易知AEKsAaGF,由以AK-AG=AE-AF=AC-ADo于是矢DEG?+AC-AD=GKAG+AK-AG=AG2,命題得證.-簫十六題、如圖,AABC內

16、接干.0,D為BC申點,AD交.于E,過E作EF/BC,交.手F,過C作CGj_AC：交AE于G：求證：NAGC=NFGC0口BCi醐：如圖j連接BE、CF、DF,過C作CK"BE交AE于K.由于BD=CD,所以四邊形BECK為平行四邊形.于是矢DCK=BE=CF,ZKCD=ZEBC=ZFCB,所以KCD84FCD,所以KF1BC.于是矢口NCFK=90o-NFCD=90.-NEBC=90.-NEAC=NCGK,所以G、F、C、K四點共圓©而CK=CF,所以/AGC=NFGC.第十七題、如圖,ABC內切圖Qi切BC于D,過I作IE/AD交BC于E,過E作.工切線,分別交AB

17、、AC于F、G,求證：E為PG中點證實：如圖,連結DH交工E于心那么M為DH中點.連結AH,延長MI交AH于N,由于W/AD,所以N為AH中點.在退化的國外切四邊形EFAG中使用牛頓定理,即知E為FG中D1第十1窿、如圖,OP、OQ交于A、B兩點,它們的外公切線CD分別切OP、OQ于C、DoE為BA延長線上一點,EC交OP于F,ED交.Q于G,AH平分/FAG交FG于求證：NFCH=NGDH.(深圳黎誓俊老師題一證實:由于E在.0、0P根軸上,所以F、C、D、G四點共圖.如圖設點、.為0P、02的外位似中央,那么.P、G)Q以點、0為反演中央互為反形.延長OF交.Q于G口那么OA2=OCOD=

18、OFOG,所以F、C、D、GJH點共圓.于是點G,與點G重合為一點.以0為圓心,以0A為半徑作.交CD于K,那么00為K關干C、D的阿波羅尼斯圓,由于AH平分NFAG,所以點H為.0與FG的交點,從而.也為點H關于F、G的阿波羅尼斯囪.于是“ZFCH-ZGDH=(ZFCA-ZHCA)-(ZGDA-ZHDA)=(ZFCA-ZGDA)一(ZHCA-ZHDA)=(180°-ZFBA)-(180°-ZGBA)-(ZHCA-ZHKA)-(NHDA+ZHKA)+2ZHKA=(ZGBA-ZFBA)-(ZKAC-ZKHC)-(ZKAD-ZKHD)+2ZHKA.=(ZGBH+ZHBA)-(Z

19、FBH-ZHBA)-2ZHKA=2ZHBA-2ZHKA=0所以NFCH=/GDH.笫I九題、如囪,O.為AABC外接圓,工、E分:別為ZkAED的內心和一個旁心,ZBAC的外角平分線交BC延長線于D,IF1DETF,交00于G.求證：G為工F中點.(潘成華老師題)證實方法一：連接EB、EC并延長7分別交直線AC于K、J,那么易知K、J也是AABC的旁心,目aABC為AEKI的垂足三角形,I為AEKI的垂心從而.0為的九點圓.設.分別交燈、工E于L、M,那么知L、M分別為KJ和IE的卬點.又易知K、B、C、J四點共圓,且圓心為L,于是知LZE1DE,所以L、I、G、F四點共線.于是知NMGL=Z

20、MAL=90%從而MG“DE,又M為IE中點,所以G為工F中點.,證實方法二：如圖,連接AE交O0于L那么知&I、J、E我線且J為IE中點.又由于NIBE=NICE=/IFE,所以B、E、F、C、：五點共匾,且圓心為J.延長DA交.0于H,貝I知DFDE=DC-DB=DADH,所以H、A、E、F四點共圓,于是知NHFE=ZHAE=90%所以H、I、G、F四點共線.又HHGJ=NHAJ=90.,所以JGEF,所以G為IF中點.第二十題、如圖在銳角aABC中,ZB>ZC,F是BC的中點、,BE、CD是高.G、H分別是FD、FE的申點,假設過A且平行于EC的直線交QI于I,求證：AI=

21、FI.證實方法一：如圖,顯然B、C、E、D四點共圖,且圓心為點Fo過點A作AF的垂線;交CB于M,交DE于N,根據(jù)蝴蝶定理矢QAM=AN,從而AF&ZAFN所以NAFM=NAFN."設GH交FN于匕由于GHDE,所以I為FN中點,所以AY=F,所以AF=ZITA=ZMFA,所以AI/BC.于是知I與I重合為一點.所以AI=FI."M第二十一題、如圖,D是4的邊區(qū)上一點,使得NDAC=NABD,GX>過點B、D分別交AB、AD于點E、F,直線BF交DE于點G,M是AG中點,求證；CllAOo(2021年國家集訓隊選拔測試試題,證實方法一；如圖,連結EF并延長交B

22、C于點J,延長AG交BD于點工,交EF于H,連結AJ、GJ,那么知直線GJ為點A關于00的極線,于是知JG1A0.,又NDAC=/ABD=NDFJ,所以町"AC,于是知號/又在完全四邊形BDFEJA卬,知(AGHOJE一組師口點列3又M是解中點,所以!GJA=HIM,艮嚙=魯=小于是知CM"§胞CM1A0證實方法二：如圖,由于A、G為一對共施點,故M關于.0的幕為MA2,于是知MO2-MA2=R2=CO2-CD-CB=CO2-CA2,從而CM1A0,命題得證！第二十二S、如圖,CD為©0直徑,PC、PE分別切00于C、E,割線PBA交00于A、B,AC、

23、BD交于點F>DE交AB于G,求證：NGFE=/ADEo.p證實：如圖,延長PA交CD于H,連接AE、BE、BC,由于四邊形AEBC是調和四邊形尸所以DA、DB、DE、DC是一組調和線束,從而H、G、A、B是一組調和點列,于是知G在H關于.的極線上.又F在H關于G).的極線上,所以直線GF是H關于00的極緣于是知GFJLCD.從而知/GFB=9(T-NFDC=NDCB=18(T-NGEB,所以G、F、B、E四點共圖,于是知NGFE=NGBE二NADE.第二十三題、如圖,.為ABC外心,D、E分別為AB、AC上一點,0Fj_DE于F>L、M、N分別為DE、BE、CD中點,求證：F、L

24、、M、N四點共圓.一證實：我們先證實一個引理：如圖,.為AABC外心,D、E分別為AB、AC上一點,OF1DE干F>M、H分另的BE、CD中點、,那么Nmfn=Na.-DFE引理的證實：如圖,作ABC外接圓分別延長BF、CF交.0于I、J,延長JD、IE交于點K,根據(jù)帕斯卡定理知K在.上.延長KF交.于T.連接TB交DE于P,延長TC交DE于Q.根據(jù)蝴蟆定理如：FP=FE,FD=FQ.根據(jù)中位線定理知MF/BP,NF/CE,所以NMFN=ZBTC=NBAC.下面借助引理證實原命題.一如圖,連接MF、NF、肛、NLo根據(jù)引理知NMFN=NA.又由于ML/BD,NLCF,所以Nmln=Na.

25、所以Nmfn=Nmln.所以f、l、m、n四點共圖.一D,I于G,作Abcg的外接圓Oo,求證：Oo、Oi相切于點G.d證實方法一：如圖,連接AD交O：于J,延長DI交O工于K,由于DKAE,且DG平分AE,所以DK、DG、DJ、DC是一組調和線束,所以四邊形DRTG是一個調和四邊形.過J作OI切線交BC于M,那么M、D、C、B是一蛆調和點冽,且K、G、N三點共線,所以DG1GM,所以GD平分NBGC.延長GD交.0于N,那么N為瓠BC中點,所以ON1D,所以0、工、G三點共線,所以00、相切于點G.一證實方法二,如乳作AABC的A-亮切ISOjj謖.丁切EC于T,JiJiJCT=BD.延長A

26、D交.J于L,根據(jù)位似關系知TL為OJ直徑.注意到J為LT口點,F為AE中點,旦LTAE,所以J、D、F、G四點共線o,作IS18于S,那么5為GD中息°由于NISJ=4BJ=/】CJ,所以I、S、B、J、C五點共圓.取DJ中點為那么BDCD=SDJD=FDMD,所以G、B、M、C四點共圓.作MNj_BC于電那么N為ITT中點,進而知N為比中點,于是知M3=MC,故GM平分NBGC,從而知00、相切于點G.-第二十五題、如圖,ABC內接于.0,內切圓01分別切AB,AC于J、K,A0交.0于D,連接DI,延長CA到F,使得AF=BJ,mF作DI的垂2校BA延長線于G,求證：AG=CK

27、od證實：如圖延長D：交于P,交PG延長線于E,那么FEj_DE.連接IJ、IK、JK、PJxPK、PB、PC,PA,那么AP1IP.由于/八口=/人1(1=【=90.,所以A、J、I、K、P五點共圓.所以NJPK=ZJAK=ZBPC,于是知NJPB=NKPC.又NPBJ=ZPCK,所以PJBs&kC,所以錄=晉,又由于NFEI=NFKI=90.,所以F、ExK、I四點共圓,所以NPJK=NPIK=NAFG,又NJPK=NJAK=/FAG,所以PJKsafG,所以某=條所以祟所AwnwUa以AG=CK.8第二十六題.如圖,00為煙外接圓,AD平分/BAC交.0于D,0E/BD交AB于E

28、,0F/CD交AC于F,H為ABC垂心,HGAD交BC于G,求證：BE=GE=GF=CF.證實；如圖7延長AH交G>0于那么ATlBg旦易知H,J關于BC對稱.延長JG交.0千K.由于/GJH=NGHJ=NDAJ,所以KD"AJ,所以KD1BC,即DK為.0直徑,K為弧BAC中點,KB=KCoV連接KE、KF.由于DB1KB,0E/BD,所以QEj_KB,即直線0E為BK中垂線.進而知ZKEB=1800-2ZKBE=1800-2ZGJH=290°-ZGJH=2ZJGC=2/KGB,所以E為叫外心.同理可知F為或外心.又根據(jù)正弦定理知KBG和AKCG外接圓半徑相等所以B

29、E=GE=GF=CF.第二十七題、如圖,四邊形ABIC中AB=AC,ZiABD外接圓O0x交加于F,AACD外接圓00?交AB于E,BF、CE交于點G求證：器=黑田開斌題一vULL/0s證實：如圖,連接加、ED、FD、GD.由于點D為.01與.0?的交點,所以點D為完全四邊形AEGFBC的密克點,所以B、D、G、E四點共圖,C、D、G、F四點共圓.所以ZBDG=ZCEA=ZCDA,ZCDG=ZBFA=NBDA.于是知在BDG和ADC中,有ZGBD=ZCAD,ZBDG=ZADC,所以BD8>ZkADC.同理可知CDGs/kADB.于是知BG_AC_AB_CCgrpjBC_BDBD=AD=A

30、D=CD,歷以近=而.第二十/遍、如圖,0為熾外心,D為內一點,使得NDAB=ZDBC,ZDAC=ZDCB,E為AD卬點,過E作EF,AD交CB延長線于F,連接FA、FD、F0,求證:ZAFD=2N0FC.(2021年美國數(shù)學奧林匹克試題)"解答；如圖,作ABC外接圓0.,延長AD交BC于H,交00于G,連接BG、CG、.心0H.由于NGBC=GAC=ZDCB；所以BGCD.同理可知CG/BD；所以四邊形DBQ2為平行四邊形.所以H為BC、DG的中點.一又AF?=EF2+EA2=FH2-EH2+EA2=FH2一(EH+EA)(EH-EA)=FH2-AH-GH=FH2-BH2=FB-F

31、C,所以FA切.0于A,所以OAj_FA,所以0、A、F、H四點共圖,所以NFOH=NFAE,所以NOFH=NAFE,所以NAFD=2N0FC.d第二十九題、如圖,O0的內接四邊形ABCD,AB、DC交干點E,AD、BC交于點F,AEM的外接圓.P交00于G,AG交EF于比HC交.于工,求證：M、8、FE三點共線."A證實：如圖,延長AH交Op于K,連接EK、FK、BG、DG、EG、FG.由于NGBF=/GDE,NGFB=NGED,所以GBFsAkGDE,所以GDBsgeF.于是知NGAD=NGBD=NGFE=NGKE,所以AFEK0同理可知AEFK,所以四邊形AEKF是平行四邊形所

32、以H為EF和AK中點.又知CH-JH=GH-KH=GH-AH=CH-IH,所以H為IJ中點,所以四邊形IEJF是平行四邊形,所以NEIF=ZEJF=ZEKF=ZEAF,所以A、工、E、F四點共圓.根據(jù)蒙日定理知,AisGC、FE三點共線°第三十禺、如圖'ABC中,D為BC中點,.為外心,H為垂心,E、F分別為AB、AC上一點,使得AE=AF,且D、H、E三點共綴P為AEF外心,求證；OP/HD證實方法二：如副作AABC外接圖延長A0交O0于K,那么四邊形BHCK為平行四邊形,故K、D、H共線.延長BH交AC于M,延長CH交AB于N那么B、C、M、N四點共圓,且圓心為D.過H作

33、DH的垂線分另咬AB、AC于UV,貝蜥據(jù)蝴蝶定理知HU=HV.延長AP交HD于T,那么AT平分NBAC,且TU=TV,故T、U、A、V四點共圓.根據(jù)西姆松定理,知點T在AU、理上的垂足與點H共線,進而知DE,AU,DF1AV,故A、E、T、F四點共胤且直徑為AT,于是知P為AT中點.注會I.為AK中點,故OP/KT,從而OK/DH.-ZECD,ZEBA=ZEDC,過點E的直線FG平分/REC,交00于F、G兩點,求證,EF=EG.2006年第57屆波蘭數(shù)學奧林匹克試題/證實:如圖,連接M、即交于點K,延長杷、兇交于點T.根據(jù)條件知EABsECD,進而知EMseBD,于是知NEAK=NEBK,N

34、ECK=NEDK,所以A、B、K、E四點共圓,C、D、E、E四點共圓,根據(jù)募日定理知E、K、T共線.“又由于A、B、K、E四點共圓,C、D、E、K四點共圓,所以NKEB=NKAB=ZKDC=ZKEC,所以K在直線FG上,也即F、E、K、G、T五點共線.*注意至"T、K為.0的一對共軻點,故T、鼠G、F為一組調和點列.而TG.TF=TB.TA=TKTE,根據(jù)調和的性質知,E為FG中點.,第三I二題、如氐在ZkABCU,AD、BE、CF是三條高線,點產(chǎn)為：內部點'f關于長、CMAR的對稱點分別為L.M、TU線段AP卬點為G,求證：及E、F、G四點共圓的充要條件為A、L、M、N四點

35、共圓."M證實：先證實充分性,即a、L、M、N四點共圓,貝D、E、F、G四點共圓.取BC、CAxAB中點分別為U、V、*連結GV、G叭UV、Wo那么D、E、F、U、V、W六點共圓,都在AABC的九點圖上.于是要證D、E、F、G四點共圓,只需證實U、V、W、G四點共圓,即只需證實NWGV+/WUV=180%而根據(jù)中位線定理知WG"BP,VG/CP,所以NWGV二NBPC,又顯然NWUG=NBAC,所以只需證實NBPC+ZBAC=180.,也即只需證實NBAC=NPBC十ZPCB.3由于隊N分別為P關于CAAB的對稱點,所以/NAM=2NBAC.又由于A、L、I、N四點共圓,所

36、以/NLM=180Q-/NAM=180'2NBA.連結P工交BC于X,連結PM交CA于Y,連結PN交AB于Z,貝"X、Y、Z分別為PL、PM、PN中點,所以XZLM,XY/LM,于是知/ZXY=NNLM=1800-2NBAC.又易知PX±BC于X,PY1CA于.PZ±AB于Z,所以P、2、B、X四點共圖,P、Y、C、X四點共圓.所以NPBC+ZPCB=(ZABC-ZABP)+(ZACB-ZACP)=(ZABC+ZACB)-(ZPXZ+NPXY)=(180°-ZBAC)-ZZXY=(180°-ZBAC)-(1800-2ZBAC)=ZBAC

37、,充分性得證.丁顯然上述推論過程是可逆的,即是等價推論,必要性顯然.第三十三題.如圖,O0-OOz半徑分別為j00-00工交于a、R兩點,P為平面上一點,PC切00工于PD切0于D,且:=%才證：PCAsZkPBD.“rUr2pi硼：如圖,連接c、do2,由于能=巖,所以apco1sPDO于是知rUL/V2粉=言=釐,所以點P在,02A的阿波羅尼斯圓上.作小.,.?A的阿波羅尼斯圓.0交區(qū)線0工.2于E、F兩點,那么知EP平分N.1P.2.又弧AE鄒BE,所以EP平分/APB,所以NPA=N02PG.由于景=瞪,且/PAO,與NPGO2均為鈍角,根據(jù)正弦定理知01PA<oA02PG,所以

38、PCASZ1PD8ZAPBD.3第三十幅、如圖,P是口ABCD對角線BD上一點,滿足/PCB=NACD,ZABD的外接圓與對角線恥交于點E,求證：ZAED=ZPEBo2021年塞爾維亞數(shù)學奧林匹克試題,iiEWl>4：根據(jù)條件知NPBC=ZBDA=ZBEA,ZBCP=ZDCA=NEAB,所以PBCcABEA,所以|=黑=器.又知NPBE=NDAE,所以PBEs/kDAE,所以EEAEAEZAED=ZPEBo命題得證./證實方法二：如圖,延長DE交BC于F,除PF.由于NFDP=ZEAB=ZACD=ZFCP,所以D、P、F、C四點共圓.于是知NPFE=ZPCD=ZACB=ZCAD=/PBE

39、,所以P、E、F、B四點共圓.所以NPEB=NPFB=NBDC=/ABD=NAED.命題得證."第三十五題、如圖'AABC內接于E為BC中點'F為邨BC中點'I為AABC內心,M為BI中點,N為EF中點,MN交BC于點D,證實：DM平分/ADB.2006年中國國家隊培訓題一譚明：如圖,連接AF,貝J工在AF上.曦BF、MF、ME、MAo由于NFIB=NBAI+ZABI=ZCA1+ZCB1=ZFBC+ZCBI=ZFBI,所以FB=FL于是知FM1B工.又易知FE1BC,所以B、M、EF四點共圓.,進而知/EMF=ZCBF=ZIAC=ZIAB,ZEFM=ZEB1=

40、ZIBA,所以AEMFsAIABo于是知EMNs/Xia比AFMNABAMo于是知/DMA=3600-ZFMB-ZFMN一NBMA=360°-900-ZFMN-ZFNM=90°+(180°-ZFMN-ZFNM)=90°+ZMFN=90°4-ZMBE=90°+又BH平分NASD,所以點M為ZkABD內心,所以DH平分Nadb."第三十六題、如圖,.0為AABC的外接圖,AF平分NBAC交O0于F,H為Z1ABC的垂心,CE1AB于E,BDj_AC于D,Z1ADE的外接圓交00于GoGF交BC于I,求證：IH平分/BHCovif

41、明：如圖,連結GB、GC、GE.由于NGBE=NGCD,ZGEB=180°-ZAEG=180°-ZADG=ZGDC,所以GEBsgDC,所以*=*=器.又F為弧BC中點,所以CooBDnGI平分NBGC,所以需=*所以需=於所以IH平分田注：設CE交AF于P,=|ZBHC=1(180°-ZBAC)=90°-|ZBACoXUZCPF=ZFAC+ZACE=7ZBAC+(900-ZBAC)=90°ZBAC；所以/CHI=/CPF可得IH/AF.“第三十七題、如國,ZUBC中,AD、BE、CF是斯的三條高緘H為AABC的垂心,0為AABC的外心,ED交

42、AB于M,FD交AC于心求證：0H±nNo2001高中數(shù)學聯(lián)賽二試試題.證實：如圖,取HO卬點為K,那么K為九點圓圓心,即為ADEF的外心.作AABC外接EIGo,作Adm外接圖GKc由于a、r、d、e四點共圖,所以MDME=MR.MA,所以點M在00和0K的根軸上.同理可知,點N在00和OK的根軸上,所以直線MN為O.和Gk的根鈾,所以oigLmn,即ohImn.n第二十八軟、如因,以AB為斜訪向外作等腰直角ABD,以AC為直由由向外作等腰直角AACE,使得NCAE=90°,F為DE中點,證實：S,rcf=?S“bd+Saace十3s“de./B證實：如圖j連結CD、BE

43、,延長AD到L,使得DL=DA,那么aBAL為等腰直角三角形.此時",SBCF=Z(SsbD+S媼CE+3SqadB)"0SBCD+S'BCE=S那RD十S2ACE+3Smdev=(S&BCD+S揖CD+SBDL)+(SBCE+SABE)=(SABD+SBDL+SABE+2SADE)+(SqACE+S3CD+S3DE)"QSr邊形bcal+S必彩BCEA=4BE+SaECD(*),事實上,我們可以證實汨二形bq=SLBE,Sr泣彩SCEA=S=ECD.,作BG1AC于G,作DJ1AC于J,作DKJLBG于K,那么ADEB絲ZiDJA.故c,c_AC

44、BC,c_ACKC.hAEEK,c_ACDJ,AEAJ,口邊形BCEA=*ABC+、qEAC=二-十、AEBC=Zh、aEAC=十T十Seac=S“cd+Sued+Seac=Secd.作LM1GB于M,作AN±LM于N：那么LMBSZkBGA.故.AELN+AEMNq_«1qAC-BG.qAC-LM.q3口運形BCAL=十3上LBA=h»LLBA=2十?ALBAS"EL+S“eb+SdLBA二SLBE,綜合上述兩方面,即知*)成立,命題得證！第三十九題、如圖,AABC中,旁切圓OP分別切CB、CA延長線于D、E,旁切圓0Q分別切BC、BA延長線于F、G,

45、DE、FG分別交PQ于M、N,BN、CM交于點L,求證：AL平分NBAC.潘成華老師題證實：如圖,設0P切AB于T,那么NPDB=NPTB=90.,所以P、D、B、T四點、共同.又根據(jù)對稱性知NMTA=/MEA二NBDM,所以D、B、T、M四點共圓,所以P、D、B、M四點去圓7所以bjlLpq.同理可知CN1PQ.于是知bamsziaw所以alJj叫所以AL平分Nbac.6N第四十題、如圖OABCD中,E、F分別為AD、CD上一點,AF、CE交于點G,AAEG的外接圓0.與CFG的外接圓0P交于點H連接BG、DH,求證：NGBA=NHDA."證實：如圖,連接HG、HE、HA、HF、H

46、C,貝叱HCF=NHGA=/HEA,所以H、C、D、E四點共圓,同理可知H、F、D、A四點共圓.延長CH交AB于L,那么/ALH=180.-NHCF=NHGF,所以A、L、H、G四點共圖,即L在.上.連接LG,貝*ZLGC=ZLGH+ZCGH=ZLAH+ZCFH=ZLAH+ZDAH/二NBAD=180.-NLBC/所以B、L、G、C四點共圓.所以/GBA=NGCH=/HAD°命題得證第四十T、如圖,交AB于E,交BD于F,題一證實方法一:如圖PA、PB分別切6于A、B,PCD為GOf副線,過C作CF/PB,求證：E為CF中點.2021年第六國防數(shù)學輿林匹克邀清爽試設PD、AC交于點K

47、,作0J1CD于乙那么J為CD中點,連接EL由于NOAPmzobp=NOJP,所以&P、B、JZJCE,所以A、C、E、J四點共圖,所以/CJE=為CF中點.、0五點共圖,所以/JAE=ZDPB=ZCAB=ZCDB,胞EJBD,瞅E4泅昉法二：如圖,設PD、AC交于點K,連接BC、CA.也CACBCAPCPBPC二=二o>BDBDADPAPDPD根據(jù)梅捏勞斯定理仙叫瑞嘿=51卷嚼=F證實方法三：如圖,由于四邊形入D、A、C是調和四邊形一組調和線束.由于CF“PB,所以E為CF中點、.,那么京=點.加=疝.E=EC,所以E為CF申點.“BP,所以即、鼬、BC、BD是第四十二3、如圖

48、,F,求證：H為EF申點6IH為AA0C垂心,D為DC中點“過H作EF1DH分別交AB、AC于E、2021年摩爾多瓦數(shù)學奧林匹克試題,A證實：如圖,作AABC的外接圓延長A0交.0千G,連接BHCH、BG、CG、EGFGo由于bg_Lab、ch_Lab,而以bgch.同理bhcg/斤以四邊形BGCH是平行四邊形,所以D為GH中點.d又由于B、G、H、E四點共國,即為BGH的外接圓,GE是直徑；G、F、C、H四點共圓,即為ACHG的外接圓,GF是直徑.而ADG咤CHG所以GE=GF,所以11為EF中點、.,第四十三題.如圖,銳角ABC中,ABVAC,且點D和E在邊BC上,滿足BD=CE,假設在A

49、BC內存在點P滿足PDAE>nZPAB=ZEAC,證實：NPBA=NPCA.2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧賽區(qū)碩寡試題一證實：如圖,取BC中點為K,那么K為DE中點.延長PK交AE延長線于F,由于PDAEPK=FK,所以四邊形PBFC為平行四邊形.平移AABP到QFC,那么四邊形APCQ為平行四邊形.由于NFQC=/BAP=NEAC,所以AFCQ四點洪圓,所以/ABP=ZQFC=NQAC=NACPqd第四十幅.如圖,AB為半圓0直徑,0C1AB,C在圓上,P是BA延長線上一點、,PD目Q0于D,FE平分NDPE,分另校AC、BC于E、F,求證：ZEOF=90%2007年遼寧高中數(shù)學聯(lián)賽初

50、賽試題,譚明,如圖,連接DA、DB、DC、DE、DF、DO.那么NDPE=ZDPB=BD-AD=HBC+CD-AC-CD=iCD=ZDAE,所以D、P、A、E山點共圓,號是知4ZZPDE=ZEAO=45°=1ZPDO,所以e為pdo內心,所以OE平分Naod.又ZDBF=ZDAE=ZDPF,所以D、P、B、F四點共圓,又PF平分NDPB,所以DF=BF,于是知FPO四FBO,所以OF平分/DOB.所以/EOF=90.V第四十五題、如圖,PA為00的切線,PBC為.0的割線,AD10P于點D,AADC的外接圖與BC的另一個交點為E,證實：ZBAE=ZACBo2021年初申數(shù)學聯(lián)暮二試試

51、題適明：如圖,連接0A、0B、0C、BD、CDo幽0A±PA,根據(jù)射影定理知PA12=PDPO.又根據(jù)切割線定理知PA?=PBPC,所以PD-P0=PB-PC,于是知PBDsZpoc,所以ZPDB=ZPCO,知B、D、0、C四點共圓.TtEQZBEA=180°-ZAEC=180°-ZADC=90°-ZCD0=90°-ZCB0=ZBAC,于是知ABEs/kCBA.所以NBAE=ZACBoa第四十六題、如圖,平行四邊形ABCD中,CE1AB于E,CF,AD于F,EF交BD于G,求證：GCJ.ACo一證實：如圖,設AC、BD交于點0,那么.為BD中點

52、.根據(jù)條件知C、E、A、F四點共同,圓心為0,作四邊形CEAD的外接圓.0.過E作EMBD,交AD于M,交AC于N.由于.為BD中點,所以N為EM中點.過.作0K1EF,根據(jù)垂徑定理知K為EF中點,所以NKMF.于是知/NKE=Zafe=Nace,所以e、n、k、c四點共圓,所以Nkco=Zken=NKGO,所以0、K、G、c四點共圖,所以NOCG=180-ZOKG=90%所以GclACo一證實方法二：如圖,設AC、BD交于點0.顯然A、E、C、F四點共圖,目圖心為0.設.0交CD于K,根據(jù)圖的對稱性知E、0、K共線.在圖內接六邊形CCAFEK中使用帕昕卡定理,注意到G、D、0共線,知GC切于

53、C.故GCj_AC第四十七題、如圖'AABC內接于.0,AD1BC于D,AD交C0于E>F為AE中點,FO交BC于H,CG_U0于G,求證：B、H、0、G四點共圓.“述明方法一：如圖,延長A0交.于J,連接即、BJSCJop由于NBCJ=ZBAJ=NCAE,ZCBJ=ZCAJ=ZACE,所以aBCjs/lCAE,所以券二經(jīng)nAE.BC=AC-CJ=CGAJn與=瞿.又/EAJ二ZGCB,所以EAjsAGCB,CJBCCGBC所以NEJA=NGBH./又OF為ZkAJE中位線,艙J,OF#JD,所以NHOJ=/EJA=NGBH,所以B、H、0、G四點共圓b“證實方法二；如圖,延長8

54、交.0于K,那么G為CK中點：HZKBC=2ZABC=ZEOA.又易知A、G、D、C四點共圓,所以NBCK=ZOAE,所以CBKsZiAOE.又注意到F為AE中點,G為CK中點,所以CBAOF,故/CBG=/AOF,所以B、H、0、G四點共圓.,交JM于K."由于JMJLB3AD1BC,所以JM“AD,又F為AE中點,所以K為JM中點,所以0K為JMC中位線,所以OKMC.又顯然B、M、C、G四點共圖,斫以NBGO=/BCM=ZCHO,所以B、H、0、G四點共圖.第四十/調、如圖,I是ABC內心,A關于B工對稱點是K,E為BC申點,F為弧BC中點,EF中點為H,BI中點為M,MN交B

55、C于D,求證：A、K、D、覽四點共圓.“F證實：根據(jù)條件知K在直線K上,且AB=KBo連接AF,那么AF過點L且FB=FI.由于M為BI卬點,所以FWLLbI,于怒UB、M、E、F四點共圖.所以/MFE=NEBI=ZABI,ZFME=ZFBC=ZFAC=ZBAI,所以MFEsAaBI.又n、M分另ij為EF、BI中點,所以MFNsabm,于是知NFMN=NBAM.于是知/ZDMA+ZDKA=(ZFMA-ZFMN)+ZBAK一=(ZFMA-ZBAM)+(BAM+ZMAK)=ZFMA+ZMAK/又由于FM1RI,AK1BI,所以FM1AK,所以NFMA+/MAK=180.,于是知ZDMA+ZDKA

56、=180°,即A、K、D、M四點共圖./第四十九題、如圖,H為ABC的垂心,D為CH卬點,BE1AD于E證實：B、C、E、H四點共圖.?田開斌題證實方法一,如圖,延長AD到F,使得DF=DA,那么四邊形AIITC為平行四邊形,所以CF"AH,FH/AC0由于AILLBC,所以FC_LBC,所以B、E、C、F四點共圖；由于BH±AC,所以Mil叫所以B、IE、F四點共圖,所以B、H、E、C、F五點共胤所以&C、E、H四點共圓.證實方法二；如圖,延長AH交BC于F,連結BH、EH、EF、DFod由于HF1BC于F；所以DF=DC=DH,所以NDFC=ZDCF=

57、ZHAB.又顯然A、B、F、E四點共圓,所以/EFC=/EAB,所以/EFD=/FAD,所以DEDA=DF?=DH?,所以/DHE=NEAH=NEBC,所以B、C、E、H四點共圓.,第五十題、如圖,I為AABC內心,G5P分別與AB、AC相切,過點BC的.與0P外切于點K,證實：KI平分/BKC.6證實；如圖,設AB交于S,AC交.0于T,0P分別切AB,AC于D,E.顯然A、P、I共縹且D、E關于AI對稱.延長DK交00于“延長EK交.0于V,注意到0P、O0關于點K位似,故U為兒SCB中點,V為弧TBC中點,UV/DEo3取TCB的C售心電ASBC的B/心g貝“N、I、C共線,N、V、B共線,M、C、U共線,M、I、B共線,且根據(jù)火山定理知比E、D、N共線.于是知NCKV=180.-yOAf,ZCUV=ZCME,所以C、MxE、K四點共圖.又NCIM=90.一三蘭=NAED=/CEM