1、一、向量概念 二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系 7.1 向量及其運算四、利用坐標作向量的線性運算 上頁下頁鈴結束返回首頁五、向量的模、方向解、投影 上頁下頁鈴結束返回首頁一、向量概念 既有大小, 又有方向的量叫做向量. v向量 有向線段的長度表示方向的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.v向量的表示法 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁一、向量概念 既有大小, 又有方向的量叫做向量. v向量 向量可用粗體字母、 或加箭頭的書寫體字母表示. 以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作AB. 例如, a、r、v、F或a、r、v、F. 向量用一條有方向

2、的線段(稱為有向線段)表示.v向量的表示法 下頁 與起點無關的向量, 稱為自由向量, 簡稱向量. 自由向量 上頁下頁鈴結束返回首頁 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說向量a和b是相等的, 記為a=b. 相等的向量經過平移后可以完全重合. 向量的相等 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的模 向量的大小叫做向量的模. 向量 a、a、AB的模分別記為|a|、|a、|AB. 單位向量 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量 零向量的起點與終點重合, 它的方向可以看作是任意的. 模等于 0 的向量叫做零向量, 記作 0 或0. 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說向量a和b是相等的, 記

3、為a=b. 向量的相等 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的平行 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個向量平行. 向量a與b平行, 記作a/b. a/b/c 零向量認為是與任何向量都平行. 當兩個平行向量的起點放在同一點時, 它們的終點和公共的起點在一條直線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線. 共線向量與共面向量 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的平行 兩個非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個向量平行. 向量a與b平行, 記作a/b. 零向量認為是與任何向量都平行. 共線向量與共面向量 當兩個平行向量的起點放在同一點時, 它們的終點和公共的起點在一條直線上. 因此, 兩向

4、量平行又稱兩向量共線. 設有k(k3)個向量, 當把它們的起點放在同一點時, 如果k個終點和公共起點在一個平面上, 就稱這k個向量共面. 首頁上頁下頁鈴結束返回首頁二、向量的線性運算 設有兩個向量a與b, 平移向量, 使b的起點與a的終點重合, 則從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b.1.向量的加法 c=a+b三角形法則平行四邊形法則 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的加法的運算規律 (1)交換律a+b=b+a; (2)結合律(a+b)+c=a+(b+c).下頁上頁下頁鈴結束返回首頁向量的減法 向量b與a的差規定為 b-a=b+(-a). 負向量三角不等式

5、 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|b|, 等號在b與a同向或反向時成立. 與向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量, 記為-a. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 當=0時, |a|=0, 即a為零向量. 向量a與實數的乘積記作a, 規定a是一個向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向當0時與a相同, 當2.向量與數的乘法 當=-1時, 有(-1)a =-a. 當=1時, 有1a=a; 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 (1)結合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. 向量與數的乘積的運算規律 向量的單位化 于是a=|a|ea. 當=0時,

6、|a|=0, 即a為零向量. 向量a與實數的乘積記作a, 規定a是一個向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向當0時與a相同, 當 v定理1(向量平行的充要條件) 定理證明 給定一個點O及一個單位向量 i 就確定了一條數軸Ox. 對于軸上任一點 P, 必有唯一的實數 x, 使OP=xi, 并且 并且軸上的點P與實數x有一一對應的關系: 點P實數x. 實數x稱為軸上點P的坐標. v數軸與點的坐標 首頁上頁下頁鈴結束返回首頁說明：三、空間直角坐標系 v空間直角坐標系 y軸 z軸原點 x軸 在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O為原點的兩兩垂直的數軸, 依次記為x軸

7、(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統稱為坐標軸. 它們構成一個空間直角坐標系, 稱為Oxyz坐標系. (2)數軸的的正向通常符合右手規則. (1)通常把x軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線;下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 在空間直角坐標系中, 任意兩個坐標軸可以確定一個平面, 這種平面稱為坐標面. 坐標面 三個坐標面分別稱為xOy 面, yOz面和zOx面.下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 在空間直角坐標系中, 任意兩個坐標軸可以確定一個平面, 這種平面稱為坐標面. 坐標面 三個坐標面分別稱為xOy 面, yOz面和zOx面.卦限 坐標面把空間分成八個部分, 每一部分叫做卦限, 分別用字母

8、I、II、III、IV等表示. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁v向量的坐標分解式 +=+=OROQOPNMPNOPOMr 以OM為對角線、三條坐標軸為棱作長方體, 有 任給向量 r, 對應有點 M, 使r=OM. 設 i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 則 kjirzyxOM+=. 下頁+=+=OROQOPNMPNOPOMr, 上頁下頁鈴結束返回首頁v向量的坐標分解式 kjirzyxOM+=. 上式稱為向量r的坐標分解式. xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量. 點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應的關系 任給向量r, 存在點M及xi、yj、zk, 使 有序數x、

9、y、z稱為向量r的坐標, 記作r=(x, y, z); 有序數x、y、z也稱為點M的坐標, 記為M(x, y, z). ) , ,(zyxzyxOMM+=kjir. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁v向量的坐標分解式 kjirzyxOM+=. 上式稱為向量r的坐標分解式. xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量. 任給向量r, 存在點M及xi、yj、zk, 使 有序數x、y、z稱為向量r的坐標, 記作r=(x, y, z); 有序數x、y、z也稱為點M的坐標, 記為M(x, y, z). 向量 稱為點M關于原點O的向 徑. =OMr下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 坐標面上和坐標軸上的點, 其

10、坐標各有一定的特征. 例如: 點M在yOz面上, 則x=0; 點M在zOx面上的點, y=0; 點M在xOy面上的點, z=0. 點M在x軸上, 則y=z=0; 點M在y軸上,有z=x=0; 點M在z軸上的點, 有x=y=0. 點M為原點, 則x=y=z=0.v坐標軸上及坐標面上點的特征首頁上頁下頁鈴結束返回首頁提示：四、利用坐標作向量的線性運算 下頁 a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k, a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k, a =(ax)i+(ay)j+(az)k. 設a

11、=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 上頁下頁鈴結束返回首頁四、利用坐標作向量的線性運算 例 2 求解以向量為未知元的線性方程組=-=-byxayx2335, 例2其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次線性方程組, 可得 x=2a-3b, y=3a-5b. 以a、b的坐標表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 設

12、a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁v利用坐標判斷兩個向量的平行 設a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因為 b/a b=a, 即 b/a (bx, by, bz)=(ax, ay, az ), 所以 b/a 下頁zzyyxxababab=. 四、利用坐標作向量的線性運算 設a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 上頁下頁鈴結

13、束返回首頁從而 )(11+=OBOAOM 因此 )(-=-OMOBOAOM, -=OAOMAM, 解 例3 已知兩點A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及實數-1, 在直線 AB 上求一點 M, 使= MBAM. ) 1 ,1 ,1 (212121+=xxxxxx, 這就是點M的坐標. 由于 , -=OMOBMB, 首頁上頁下頁鈴結束返回首頁五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模與兩點間的距離公式 設向量 r=(x, y, z), 作r=OM, 則 +=OROQOPOMr, 按勾股定理可得 222|OROQOPOM+=r, 由 i xOP=, j yOQ=, kzOR=,

14、 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標表示式222|zyx+=r. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁1.向量的模與兩點間的距離公式 設向量r=(x, y, z), 作, 則 222|zyx+=r. 設有點A(x1, y1, z1)和點B(x2, y2, z2), 則-=OAOBAB=(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1) =(x2-x1, y2-y1, z2-z1), 于是點A與點B間的距離為 212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 下頁五、向量的模、方向角、投影 上頁下頁鈴結束返回首頁 例4 求證以M1(4, 3

15、, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 1.向量的模與兩點間的距離公式 設向量r=(x, y, z), 作, 則 222|zyx+=r. 設有點A(x1, y1, z1)和點B(x2, y2, z2), 則212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 所以|M2M3|=|M1M3|, 即DM1M2M3為等腰三角形. |M1M3|2 =6, =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 |M2M3|2 =14, =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 |M1M2|

16、2 解 因為 下頁五、向量的模、方向角、投影 上頁下頁鈴結束返回首頁解之得914=z. 于是, 所求的點為 例5 在z軸上求與點A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距離的點. 1.向量的模與兩點間的距離公式 設向量r=(x, y, z), 作, 則 222|zyx+=r. 設有點A(x1, y1, z1)和點B(x2, y2, z2), 則212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2設所求的點為M(0, 0, z), 解 依題意有|MA|2=|MB|2, =(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 下頁五、向量

17、的模、方向角、投影 914=z. 于是, 所求的點為)914 , 0 , 0(M. 上頁下頁鈴結束返回首頁14) 2(13|222=-+=AB, 例6 已知兩點A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與 方向相同的單位向量e. AB 解 因為) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7 (-=-=AB 解 ) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7 (-=-=AB, 所以 ) 2 , 1 , 3 (141|-=ABABe. 下頁上頁下頁鈴結束返

18、回首頁2.方向角與方向余弦 兩個向量的夾角下頁 當把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時, 兩個向量之間的不超過的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作(a,b)或(b,a). 如果向量a與b中有一個是零向量, 規定它們的夾角可以在0與之間任意取值. 類似地, 可以規定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 上頁下頁鈴結束返回首頁向量的方向角和方向余弦 下頁 非零向量r與三條坐標軸的夾角、稱為向量r的方向角. cos、cos、cos 稱為向量r的方向余弦. |cosrx=, |cosry=, |cosrz=. 設r=(x, y, z), 則rerr=|1)cos ,cos ,(cos. 顯然 以向量r的方向余弦為坐標的向量就是與r同方向的單位向量e r. cos2+cos2+cos2=1. 因此 上頁下頁鈴