1、精品文檔（二）雙曲線 知識點及鞏固復習1. 雙曲線的定義如果平面內一個動點到兩定點距離之差的絕對值等于正的常數 （小于兩定點間的距離），那么動點的軌跡是雙曲線若一個動點到兩定點距離之差等于一個常數， 常數的絕對值小于兩定點間的距離，那么動點的軌跡是雙曲線的一支F1，F2 為兩定點， P 為一動點， (1)若|PF1 |-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 則動點 P 的軌跡是2a=|F 1F2| 則動點 P 的軌跡是2a=0 則動點 P 的軌跡是(2)若|P F1|-|PF 2 |=2a 0<2a<|F1F2| 則動點 P 的軌跡是2a=|F 1F2| 則動點

2、P 的軌跡是2a=0 則動點 P 的軌跡是2. 雙曲線的標準方程3. 雙曲線的性質（1）焦點在 x 軸上的雙曲線標準方程x,y的范圍頂點焦點對稱軸對稱中心實半軸的長虛半軸的長焦距離心率 e=范圍e越大雙曲線的開口越e越小雙曲線的開口越準線漸近線焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2 分別為雙曲線的左右兩焦點，P 為橢圓上的一點 )（1） 焦點在 y 軸上的雙曲線標準方程x,y的范圍頂點焦點對稱軸對稱中心實半軸的長虛半軸的長焦距離心率 e=范圍e越大雙曲線的開口越e越小雙曲線.精品文檔的開口越準線漸近線焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1 ，F2 分別為雙曲線的下上兩焦點，P 為橢圓

3、上的一點 )1.等軸雙曲線：特點實軸與虛軸長相等漸近線互相垂直離心率為2. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線特點有共同的漸近線四焦點共圓雙曲線的共軛雙曲線是6. 雙曲線系（ 1） 共焦點的雙曲線的方程為(0<k<c 2,c 為半焦距 )（ 2） 共漸近線的雙曲線的方程為例題在運用雙曲線的定義時， 應特別注意定義中的條件 “差的絕對值 ”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支考點 1、雙曲線定義例 1、已知動圓 M 與圓 C1： (x4)2y2 2 外切，與圓 C2：(x 4)2 y22 內切，求動圓圓心 M 的軌跡方程【例 2】若橢圓

4、與雙曲線有相同的焦點F1，F2 ，P 是兩條曲線的一個交點，則|PF 1| ·|PF 2| 的值是（）A.B.C.D.精品文檔【例3】 已知雙曲線與點M（ 5， 3）， F 為右焦點，若雙曲線上有一點P，使最小，則 P 點的坐標為考點 2、求雙曲線的方程求雙曲線標準方程的方法1定義法，根據題目的條件，若滿足定義，求出相應a、b、c 即可求得方程2待定系數法(2)待定系數法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線x2y21有共同漸近線的雙曲線方程可表示為x2y2t(t 0)；a2b2a2b2若雙曲線的漸近線方程是bx2y2y±a ，則雙曲線的方程可表示為a2b2 t(t0)；xx2y2

5、 1 共焦點的方程可表示為x2y222與雙曲線a2b2a2kb2 k1( bka )；過兩個已知點的雙曲線的標準方程可表示為x2y2m n 1(mn0)；x2y2x2y2與橢圓 a2 b2 1(a b 0)有共同焦點的雙曲線方程可表示為a2 b2 1(b2 a2)例 4、求下列條件下的雙曲線的標準方程x2y2(1)與雙曲線 9 16 1 有共同的漸近線，且過點( 3， 2)；x2y2(2)與雙曲線 16 4 1 有公共焦點，且過點 (3，2)1.在雙曲線的標準方程中， 若 x2 的系數是正的， 那么焦點在 x 軸上；如果 y2 的系數是正的，那么焦點在 y 軸上，且對于雙曲線， a 不一定大于

6、 b.精品文檔2若不能確定雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，可設雙曲線方程為：mx2 ny2 1(mn 0)，以避免分類討論考點 3、雙曲線的幾何性質雙曲線的幾何性質與代數中的方程、平面幾何的知識聯系密切，解題時要深刻理解確定雙曲線的形狀、大小的幾個主要特征量，如 a、b、 c、 e 的幾何意義及它們的相互關系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程x2y2例 5、(12 分)雙曲線 C：a2b2 1(a 0，b0)的右頂點為 A，x 軸上有一點 Q(2a,0)，AP PQ若 C 上存在一點 P，使 · 0，求此雙曲線離心率的取值范圍x2y2例 6、【活學活用】 3.(2012 北京期末

7、檢測 )若雙曲線 a2b2 1(a 0， b 0) 的兩個焦點分別為 F1、 F2，P 為雙曲線上一點，且 |PF1 |3|PF2|，則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 _【例 7】直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e 的范圍是（）A .e>B.1<e<C.1<e<D.e>【例 8】設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（）ABC.D.精品文檔【評注】解題中發現PF1 F2 是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結果不是每個考生都能臨場發現的 .將最美的結果隱藏在解題過程之

8、中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.漸近線雙曲線與直線相約天涯對于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨有.雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質不僅很好地界定了雙曲線的范圍 . 由于處理直線問題比處理曲線問題容易得多，所以這一性質被廣泛應用于有關解題之中.【例 9】過點（ 1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線 .根據這一點，可以簡潔地設待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置.共軛雙曲線虛、實易位的孿生弟兄將雙曲線的實、虛軸互易，所得雙曲線方程為：. 這兩個雙曲線就是互相共軛的雙曲線 . 它

9、們有相同的焦距而焦點的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質在解題中都有廣泛的應用.【例 10】兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.設而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計算量的有效方法之一便是設而不求. 請看下例：【例 11】雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為（）.精品文檔A.B.C.D.“設而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結果而必須經過某個步驟，只要有可能，可以用虛設代替而不必真地去求它 .但是，“設而不求”的手段應當慎用. 不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子. 請看：【例 12】在雙曲線上，是否存在被點M（ 1，1）平

10、分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設而不求”的手段，會有如下解法：練習1 (2011 安徽高考 )雙曲線2x2 y2 8 的實軸長是 ( )A 2B 2C4D 4x2y2C： x2 y22 (2011 山東高考 )已知雙曲線 a2 b21(a 0， b0) 的兩條漸近線均和圓6x 5 0 相切，且雙曲線的右焦點為圓C 的圓心，則該雙曲線的方程為()x2y2x2y2x2y2x2y2A.541B.4 51C.361D.631x23.(2012 嘉興測試 )如圖， P 是雙曲線4 y2 1 右支 (在第一象限內 )上的任意一點， A1，A2 分別是左、右

11、頂點，O 是坐標原點，直線 PA1，PO， PA2 的斜率分別為k1， k2， k3，則斜率之積 k1k2k3 的取值范圍是 ()A (0,1)111B (0， 8)C (0，4)D(0， 2)4(金榜預測 )在平面直角坐標系 xOy 中，已知 ABC 的頂點 A(5,0)和 C(5,0)，頂點 Bx2y2sin B)在雙曲線 16 9 1 上，則 |sin A sin C| 為 (3254A. 2B.3C.4D.55 P 為雙曲線x2y2的右支上一點， M、N 分別是圓 (x 5)2 y2 4和 (x 5)2 y29 161.精品文檔 1 上的點，則 |PM | |PN|的最大值為 ( )A

12、 6B 7C 8D 96(2012 南寧模擬 )已知點 F1，F 2 分別是雙曲線的兩個焦點，P 為該曲線上一點，若 PF1F2 為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為 ( )A. 1B.1C 2D 2x2y2m 的取值范圍是 _7方程 2 m|m| 3 1 表示雙曲線那么8(2012 大連測試 )在雙曲線4x2 y2 1 的兩條漸近線上分別取點A 和 B，使得 |OA| ·|OB|15，其中 O 為雙曲線的中心，則AB 中點的軌跡方程是 _x2y2b2 19雙曲線 a2b2 1(a 0， b 0)的離心率是 2，則 3a的最小值是 _10(2012 肇慶模擬 )已知中心在原點的雙曲

13、線C 的一個焦點是F1( 3,0)，一條漸近線的方程是x2y 0.(1)求雙曲線C 的方程；(2)若以 k(k 0)為斜率的直線l 與雙曲線C 相交于兩個不同的點M，N，且線段MN 的81垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2 ，求 k 的取值范圍11 (文用 )已知中心在原點的雙曲線C 的右焦點為 (2,0)，右頂點為 ( ， 0)(1)求雙曲線C 的方程；(2)若直線： y kx m(k 0，m 0)與雙曲線 C 交于不同的兩點M、N，且線段 MN 的垂直平分線過點A(0， 1) ，求實數 m 的取值范圍.精品文檔12 已知中心在原點， 頂點 A 1、A 2 在 x 軸上，離心率 e=

14、的雙曲線過點P(6，6)(1)求雙曲線方程(2)動直線 l 經過 A 1PA2 的重心 G，與雙曲線交于不同的兩點 M 、N ，問 是否存在直線 l,使 G 平分線段 MN ，證明你的結論13已知雙曲線,問過點 A （ 1， 1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q 兩點，并且A 為線段 PQ 的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。14 已知點 N（ 1，2），過點 N 的直線交雙曲線于 A 、B 兩點，且（1）求直線 AB 的方程；（ 2）若過 N 的直線 l 交雙曲線于C、 D 兩點，且，那么 A、 B 、C、D 四點是否共圓？為什么？.精品文檔（二）雙曲線 知識點及鞏固復習1.

15、 雙曲線的定義如果平面內一個動點到兩定點距離之差的絕對值等于正的常數 （小于兩定點間的距離），那么動點的軌跡是雙曲線若一個動點到兩定點距離之差等于一個常數， 常數的絕對值小于兩定點間的距離，那么動點的軌跡是雙曲線的一支F1，F2 為兩定點， P 為一動點， (1)若|PF1 |-|PF 2|=2a 0<2a<|F1F2| 則動點 P 的軌跡是2a=|F 1F2| 則動點 P 的軌跡是2a=0 則動點 P 的軌跡是(2)若|P F1|-|PF 2 |=2a 0<2a<|F1F2| 則動點 P 的軌跡是2a=|F 1F2| 則動點 P 的軌跡是2a=0 則動點 P 的軌跡是

16、2. 雙曲線的標準方程3. 雙曲線的性質（1）焦點在 x 軸上的雙曲線標準方程x,y的范圍頂點焦點對稱軸對稱中心實半軸的長虛半軸的長焦距離心率 e=范圍e越大雙曲線的開口越e越小雙曲線的開口越準線漸近線焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2 分別為雙曲線的左右兩焦點，P 為橢圓上的一點 )（2） 焦點在 y 軸上的雙曲線標準方程x,y的范圍頂點焦點對稱軸對稱中心實半軸的長虛半軸的長焦距.精品文檔離心率 e=范圍e越大雙曲線的開口越e越小雙曲線的開口越準線漸近線焦半徑公式|PF1|=|PF2|=(F1 ，F2 分別為雙曲線的下上兩焦點，P 為橢圓上的一點 )3.等軸雙曲線：特點實軸與虛軸

17、長相等漸近線互相垂直離心率為4. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線特點有共同的漸近線四焦點共圓雙曲線的共軛雙曲線是6. 雙曲線系（ 3） 共焦點的雙曲線的方程為(0<k<c 2,c 為半焦距 )（ 4） 共漸近線的雙曲線的方程為考點 1。雙曲線的定義及應用在運用雙曲線的定義時， 應特別注意定義中的條件 “差的絕對值 ”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支考點 1、雙曲線定義例 1、已知動圓 M 與圓 C1： (x4)2y2 2 外切，與圓 C2：(x 4)2 y22 內切，求動圓圓心 M 的軌跡方程【自主解答】 設動圓 M 的半徑為

18、 r ，則由已 知|MC1|r ， |MC2| r，.精品文檔|MC1| |MC2| 2.又 C1( 4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根據雙曲線定義知，點M 的軌跡是以C1( 4,0)、C2(4,0)為焦點的雙曲線的右x2y2支 a， c4， b2 c2a2 14， 點 M 的軌跡方程是： 2 141(x)【例 1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F2 ，P 是兩條曲線的一個交點，則|PF 1| ·|PF 2| 的值是（）A.B.C.D.【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實半軸為，故選 A.【評注】嚴格區分橢圓與雙曲線的第一定義，是破解本題的關鍵.【例 2】已知

19、雙曲線與點 M（5，3），F 為右焦點，若雙曲線上有一點 P，使最小，則 P 點的坐標為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線離心率的倒數 . 由此可知，解本題須用雙曲線的第二定義.【解析】雙曲線的右焦點F（ 6，0），離心率.精品文檔右準線為. 作于 N，交雙曲線右支于P，連 FP，則. 此時為最小 .在中，令，得取.所求P點的坐標為.考點 2、求雙曲線的方程求雙曲線標準方程的方法1定義法，根據題目的條件，若滿足定義，求出相應a、b、c 即可求得方程2待定系數法(2)待定系數法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線x2y21有共同漸近線的雙曲線方程可表示為x2y2t(t 0)；b2a2b2a2若雙曲線的

20、漸近線方程是bx2y2y±a ，則雙曲線的方程可表示為a2b2 t(t0)；xx2y2 1 共焦點的方程可表示為x2y222與雙曲線a2b2a2kb2 k1( bka )；過兩個已知點的雙曲線的標準方程可表示為x2y2m n 1(mn0)；x2y2x2y2與橢圓 a2 b2 1(a b 0)有共同焦點的雙曲線方程可表示為a2 b2 1(b2 a2)例 2、求下列條件下的雙曲線的標準方程與雙曲線x2y29 16 1 有共同的漸近線，且過點 ( 3， 2)；(1)與雙曲線x2y2 1 有公共焦點，且過點 (3，2)(2)164【自主解答】 (1)解法一：經檢驗知雙曲線焦點在x 軸上，故設

21、雙曲線的方x2y2 1，9a2b21，由題意，得2 42程為 解得 a ，b 4，9y21.所以雙曲線的方程為 44解法一：設雙曲線方程為x2y2 1，由題意易求 c2，又雙曲線過點 (3，(2)a2b2.精品文檔24x2y22)， a2b21.又 a2b2(2)2， a212，b28. 1281.x2y 21解法二：設所求雙曲線方程為9 16 (0)，將點 (3,2)代入得 4.x2y219y2所以雙曲線方程為 9 164，即 4 4 1.x2y2解法二：設雙曲線方程為16 k 4 k 1，且 16k0,4k0.將點 (3，2)代入得 k 4，且滿足上面的不等式，所以雙曲線方程為x2y212

22、 8 1.1.在雙曲線的標準方程中， 若 x2 的系數是正的， 那么焦點在 x 軸上；如果 y2 的系數是正的，那么焦點在 y 軸上，且對于雙曲線， a 不一定大于 b.2若不能確定雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，可設雙曲線方程為： mx2 ny2 1(mn 0)，以避免分類討論考點 3、雙曲線的幾何性質雙曲線的幾何性質與代數中的方程、平面幾何的知識聯系密切，解題時要深刻理解確定雙曲線的形狀、大小的幾個主要特征量，如 a、b、 c、 e 的幾何意義及它們的相互關系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程x2y2例 3、(12 分)雙曲線 C：a2b2 1(a 0，b0)的右頂點為 A，x 軸上有

23、一點 Q(2a,0)，AP PQ若 C 上存在一點 P，使 · 0，求此雙曲線離心率的取值范圍【規范解答】 設 P 點坐標為 (x，y)，AP PQ則由 · 0，得 APPQ，即 P 點在以 AQ 為直徑的圓上 ，3aax2y2(x 2 )2y2 (2)2. 又 P 點在雙曲線上，得 a2b21.(a2 b2)x2 3a3x2a4a2b20.即(a2 b2)x(2a3ab2 0.6分)( x a)2a3 ab2時，滿足題意的當 xa 時， P 與 A 重合，不符合題意，舍去當 x a2 b22a3 ab2c6P 點存在，需 x a2 b2 a，化簡得 a22b2，即 3a2

24、2c2，a 2.10 分 離心c 6率 ea (1，2).12 分x2y2例 4、【活學活用】 3.(2012 北京期末檢測 )若雙曲線 a2b2 1(a 0， b 0) 的兩個焦點分別為 F1、 F2，P 為雙曲線上一點，且 |PF1 |3|PF2|，則該雙曲線的.精品文檔離心率 e 的取值范圍是 _|PF1| 3|PF2|解析：依題意得 |PF1| |PF2| 2a，c由此解得 |PF2|aca，即 c2a，ea 2，即該雙曲線的離心率不超過2.又雙曲線的離心率大于1，因此該雙曲線的離心率e 的取值范圍是 (1,2【例 5】直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩

25、支上，則雙曲線的離心率e 的范圍是（）A .e>B.1<e<C.1<e<D.e>【分析 】就題論題的去解這道題，確實難以下手，那就考慮轉換吧 . 其一，直線和雙曲線的兩支都有交點不好掌握，但是和兩條漸近線都有交點卻很好掌握. 其二，因為已知直線的斜率為 2，所以雙曲線的兩條漸近線中，傾斜角為鈍角的漸近線肯定與之相交，只須考慮傾斜角為銳角的漸近線也與之相交 . 故有如下妙解 .【解析 】如圖設直線的傾斜角為，雙曲線漸近線的傾斜角為 . 顯然。當時直線與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上. 由.雙曲線中，故取 e>.選D.【例6】設為雙曲線上的一點，是該雙曲

26、線的兩個焦點，若，則的面積為（）ABC.D【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：. 設；.精品文檔于是，故知 PF1F2 是直角三角形，F1 P F2 =90°.選 B.【評注】解題中發現PF1F2 是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結果不是每個考生都能臨場發現的 .將最美的結果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.漸近線雙曲線與直線相約天涯對于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨有.雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質不僅很好地界定了雙曲線的范圍 . 由于處理直線問題比處理

27、曲線問題容易得多，所以這一性質被廣泛應用于有關解題之中.【例 7】過點（ 1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設所求雙曲線為點（ 1， 3）代入：. 代入（ 1）：即為所求 .【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線 .根據這一點，可以簡潔地設待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置.共軛雙曲線虛、實易位的孿生弟兄將雙曲線的實、虛軸互易，所得雙曲線方程為：. 這兩個雙曲線就是互相.精品文檔共軛的雙曲線 . 它們有相同的焦距而焦點的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質在解題中都有廣泛的應用.【例 8】兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.【證明】雙曲線的

28、離心率；雙曲線的離心率.考點 5、直線與雙曲線位置關系設而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計算量的有效方法之一便是設而不求. 請看下例：【例 9】雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為（）A.B.C.D.【解析】設弦的兩端分別為. 則有：.弦中點為（ 2， 1），. 故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選 C.“設而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結果而必須經過某個步驟，只要有可能，可以用虛設代替而不必真地去求它 .但是，“設而不求”的手段應當慎用. 不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子. 請看：【例 10】在雙曲線上，是否存在被點M（ 1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在

29、的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設而不求”的手段，會有如下解法：【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（ x1，y 1 ）， B（x 2， y2）. 那么：.精品文檔.M（1， 1）為弦 AB的中點，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個結論對不對呢？我們只須注意如下兩點就夠了：其一：將點M（1，1）代入方程，發現左式 =1-1，故點 M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB 的斜率，而雙曲線的漸近線為. 這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當然所得結論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點的條件.【正解】在上述解法的基礎上應當加

30、以驗證. 由這里，故方程（ 2）無實根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點：只有當時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設條件.結論；不存在符合題設條件的直線.練習1 (2011 安徽高考 )雙曲線 2x2 y2 8 的實軸長是 ( )A 2B 2C4D 4解析： 2x2 y2 8 化為標準形式：x2y24 8 1， a2 4. a 2.實軸長 2a 4.x2y2C： x2 y22 (2011山東高考 )已知雙曲線 a2 b21(a 0， b0) 的兩條漸近線均和圓6x 5 0 相切，且雙曲線的右焦點為圓C 的圓心，則該雙曲線的方程為 ( ).精

31、品文檔x2y2x2y2x2y2x2y2A.541B.4 51C.361D.631x2y2b解析： 由題意得， a2 b21(a 0， b0)的兩條漸近線方程為y ±ax，即 bx±ay 0，又圓 C 的標準方程為： (x 3)2 y2 4，半徑為2，圓心坐標為 (3,0)|3b| a2 b2 32 9，且 a2b2 2，解得 a2 5，b2 4. 該雙曲線x2y2的方程為5 41.x2y2 1 右支 (在第一象限3.(2012 嘉興測試 )如圖， P 是雙曲線 4內) 上的任意一點， A1，A2 分別是左、右頂點，O 是坐標原點，直線PA1，PO，PA2 的斜率分別為 k1

32、， k2， k3，則斜率之積 k1k2k3的取值范圍是 ()111A (0,1)B (0， 8)C (0，4)D(0， 2)y1y3y解析： 設 P(x， y)，則 x (0，2) ，且 x2 4 4y2(x 0，y 0)， k1k2k3x(x2 4 4x (0，18)4(金榜預測 )在平面直角坐標系xOy 中，已知 ABC 的頂點 A(5,0)和 C(5,0)，頂點 Bx2 y2sin B為 ()在雙曲線 16 9 1 上，則 |sin A sin C|3254A. 2B.3C.4D.5解析： 由題意得 a4， b3， c 5.A、 C 為雙曲線的焦點， |BC| |BA| 8， |AC|

33、10.sin B|AC|105由正弦定理得 |sin A sin C| |BC| |BA| 8 4.x2y25 P 為雙曲線9 161 的右支上一點，M、N 分別是圓 (x 5)2 y2 4 和 (x 5)2 y2 1 上的點，則 |PM | |PN|的最大值為 ( )A6B7C8D9解析： 易知兩圓圓心為F1( 5,0) ，F 2(5,0) 由雙曲線方程知 a3， b 4，則 c 5，故兩圓心恰好為雙曲線的兩個焦點|PM| |PN |的最大值為如圖所示的情況，即 |PM | |PN| |PF 1| |F1M | (|PF2| |NF 2|) |PF1 |2 |PF2 | 12a 32

34、5; 3 3 9.6 (2012 南寧模擬 )已知點 F1，F 2 分別是雙曲線的兩個焦點，P 為該曲線上一點，若PF 1F 2 為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為()A. 1B.1.精品文檔C2D 2解析： 不妨設 P 點在雙曲線的右支上，則 |PF 1| |PF 2| 2a. PF 1F2 是等腰直角三角形， 只能是 PF 2F 190°， |PF 2| |F1 F2 | 2c， |PF 1| 2a |PF 2| 2a2c， (2a 2c)2 2·(2c)2，即 c2 2ac a2 0，兩邊同除以 a2，得 e22e 1 0.e 1， e 1.x2y27方程 2 m

35、|m| 3 1 表示雙曲線那么m 的取值范圍是 _2 m 0，解析：注意分兩種情況一是實軸在x 軸上，二是實軸在y 軸上依題意有 |m| 3 0，2 m0，或|m| 3 0，得 m 3 或 3 m 2.8(2012 大連測試 )在雙曲線4x2 y2 1 的兩條漸近線上分別取點A 和 B，使得 |OA| ·|OB|15，其中 O 為雙曲線的中心，則AB 中點的軌跡方程是 _解析： 雙曲線 4x2 y2 1 的兩條漸近線方程為 2x±y 0，設 A(m,2m)，B(n， 2n)， AB中點 M(x， y)，則2m2n， 即 y mn，所以 4x2 y2 4mn.由 |OA| &

36、#183;|OB | × |m|× |n|15，得 |mn| 3，所以 AB 中點的軌跡方程是x2y24x2 y2 ±12，即 3 12 ±1.x2y2b2 19雙曲線 a2b2 1(a 0， b 0)的離心率是 2，則 3a的最小值是 _cc2b2 13a2 111 3解析： a 2?a2 4? a2 b2 4a2? 3a2 b2，則3a 3a a 3a23 3，133當 a3a，即 a3時取最小值 3.10(2012 肇慶模擬 )已知中心在原點的雙曲線C 的一個焦點是F1( 3,0)，一條漸近線的方程是x2y 0.(1)求雙曲線C 的方程；(2)若以

37、 k(k 0)為斜率的直線l 與雙曲線C 相交于兩個不同的點M，N，且線段MN 的81垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2 ，求 k 的取值范圍x2y2a2 4，解： (1) 設雙曲線 C 的方程為 a2b2 1(a 0， b 0)，由題設得5 解得 b2 5.所以雙曲線C 的方程為：.精品文檔x2y2y kx m(k 0)，(2)設直線 l 的方程為： 4 5 1.y2x2(kx m則點 M(x1， y1)， N(x2， y2)的坐標滿足方程組 1，得 45 1，整理得 (54k2 )x2 8kmx 4m2 200.此方程有兩個不等實根，于是5 4k20，且 ( 8km)24(5 4k

38、2)(4 m2 20) 0，整理得 m2 5 4k2 0.x1 x24km由根與系數的關系可知線段MN 的中點坐標 (x0， y0)滿足 x02 54k2 ， y0 kx05m5m14kmm5 4k2 ，從而線段 MN 的垂直平分線的方程為y5 4k2 k(x 5 4k2) 此直線與 x 軸， y 軸的交點坐標分別為9km9m1 9km9m81(5 4k2， 0) ，(0， 5 4k2) ，由題設可得 2|5 4k2 | |5· 4k2 | 2，(5 4k2， k0.將上式代入 式得(5 4k2整理得 m2 |k|k| 5 4k20，55整理得 (4k2 5)(4k2 |k| 5) 0，