1、第一章 立體幾何初步4空間空間圖形圖形的基的基本關本關系與系與公理公理理解教材新知把握熱點考向應用創新演練知識點一知識點二考點一考點二考點三第一課時 空間圖形基本關系的認識與公理1-3知識點三 空間幾何體各式各樣、千姿百態，如何認識和把握空間幾何體各式各樣、千姿百態，如何認識和把握它們呢？一般的方法是，從構成幾何體的基本元素它們呢？一般的方法是，從構成幾何體的基本元素點、點、直線和平面入手，研究它們的性質以及相互之間的位置關直線和平面入手，研究它們的性質以及相互之間的位置關系，由整體到局部，由局部再到整體，逐步認識空間幾何系，由整體到局部，由局部再到整體，逐步認識空間幾何體的性質長方體是我們非

2、常熟悉的幾何體，觀察長方體體的性質長方體是我們非常熟悉的幾何體，觀察長方體的的8個頂點，個頂點，12條棱和條棱和6個面的關系個面的關系 問題問題1：長方體的一個頂點與：長方體的一個頂點與12條棱和條棱和6個面有幾種個面有幾種位置關系？位置關系？ 提示：提示：頂點與棱所在直線的關系是在棱上，不在棱頂點與棱所在直線的關系是在棱上，不在棱上；頂點和六個面的關系是在面內，在面外上；頂點和六個面的關系是在面內，在面外 問題問題2：12條棱中，棱與棱有幾種位置關系？條棱中，棱與棱有幾種位置關系？ 提示：提示：相交，平行，既不平行也不相交相交，平行，既不平行也不相交 問題問題3：棱所在直線與面之間有幾種位置

3、關系？：棱所在直線與面之間有幾種位置關系？ 提示：提示：棱在平面內，棱所在直線與平面平行和棱在平面內，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交棱所在直線與平面相交 問題問題4：六個面之間有哪幾種位置關系呢？：六個面之間有哪幾種位置關系呢？ 提示：提示：平行和相交平行和相交直線上直線上直線外直線外平面內平面內平面外平面外2空間兩條直線的位置關系空間兩條直線的位置關系位置關系位置關系定義定義相交直線相交直線 在同一平面內在同一平面內 公共點公共點平行直線平行直線 在同一個平面內在同一個平面內 公共點公共點異面直線異面直線 不同在不同在 一個平面內一個平面內只有一個只有一個沒有沒有任何任何3直線與

4、平面的位置關系直線與平面的位置關系位置關系位置關系定義定義直線在平面內直線在平面內直線和平面有直線和平面有 公共點公共點直線與平面相交直線與平面相交 直線和平面直線和平面 公共點公共點直線與平面平行直線與平面平行 直線和平面直線和平面 公共點公共點無數個無數個只有一個只有一個沒有沒有4平面與平面的位置關系平面與平面的位置關系平行平面平行平面 的兩個平面的兩個平面相交平面相交平面 ，但，但 的兩個平面的兩個平面沒有公共點沒有公共點不重合不重合有公共點有公共點 在生產、生活中，人們經過長期觀察與實踐，得到一在生產、生活中，人們經過長期觀察與實踐，得到一些不需證明同時也無法證明的客觀規律我們稱之為公

5、理些不需證明同時也無法證明的客觀規律我們稱之為公理 問題問題1：一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？：一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？ 提示：提示：直尺在平面上直尺在平面上 問題問題2：教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有：教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有什么規律？什么規律？ 提示：提示：這些公共點在同一直線上這些公共點在同一直線上 問題問題3：照相機支架只有三個腳支撐，為什么？：照相機支架只有三個腳支撐，為什么？ 提示：提示：不在同一直線上的三點確定一個平面不在同一直線上的三點確定一個平面空間圖形的公理空間圖形的公理文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言公理公理

6、1如果一條直線上的如果一條直線上的 在在一個平面內，那么這條直一個平面內，那么這條直線上線上 都在這個都在這個平面內平面內(即直線即直線 )若若Al，Bl，A，B，則，則AB兩點兩點所有的點所有的點在平面內在平面內公理公理2經過經過 上上的三點的三點 ，一個平面一個平面(即可以確即可以確定一個平面定一個平面)若若A、B、C三點三點不共線，則存在不共線，則存在唯一一個平面唯一一個平面使使A，B，C不在同一直線不在同一直線有且只有有且只有文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言公理公理3如果兩個不重合的平如果兩個不重合的平面面 ，那么它們那么它們一條通過這個點的公一條通過這個點的公共直線共

7、直線若若A，A，且且與與不重合，不重合，則則l，且，且Al.有一個公共點有一個公共點有且只有有且只有文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言 問題問題1：把一張長方形的紙對折兩次，打開以后，這：把一張長方形的紙對折兩次，打開以后，這些折痕之間有什么關系呢？些折痕之間有什么關系呢？ 提示：提示：平行平行 問題問題2：在空間中有兩條直線都與第三條直線平行，：在空間中有兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行嗎？那么這兩條直線互相平行嗎？ 提示：提示：平行平行 問題問題3：在平面上，：在平面上，“如果一個角的兩邊和另一個如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互

8、補角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”那么那么在空間中，結論是否仍然成立呢？在空間中，結論是否仍然成立呢？ 提示：提示：在空間中，該結論仍成立在空間中，該結論仍成立1公理公理4圖形語言圖形語言符號語言符號語言平行于同一條直線的兩平行于同一條直線的兩條直線條直線若若ab， bc，則則平行平行ac 2.等角定理等角定理 空間中，如果兩個角的兩條邊分別空間中，如果兩個角的兩條邊分別 ，那，那么這兩個角么這兩個角 對應平行對應平行相等或互補相等或互補 1.在空間中，點看作元素，直線和平面看作點在空間中，點看作元素，直線和平面看作點的集合，點與直線、平面，直線與直線，線面及面的集合，點與直線、平面

9、，直線與直線，線面及面面之間的位置關系是空間中最基本的位置關系面之間的位置關系是空間中最基本的位置關系. 2.公理公理1，2，3，4是在生活實際中，人們對經是在生活實際中，人們對經驗和客觀實際的總結驗和客觀實際的總結. 公理公理1的主要作用是判斷直線是否在平面內；的主要作用是判斷直線是否在平面內；公理公理2的主要作用是論證共面問題；公理的主要作用是論證共面問題；公理3是判斷兩是判斷兩平面是否相交的重要依據；公理平面是否相交的重要依據；公理4是論證兩直線平行是論證兩直線平行的重要依據的重要依據. 例例1如果如果a，b，laA，lbB，l，那么那么與與的位置關系是的位置關系是_ 思路點撥思路點撥把

10、簡單語言翻譯成圖形語言，作出判斷把簡單語言翻譯成圖形語言，作出判斷 精解詳析精解詳析如圖，如圖，l上有兩點上有兩點A、B在在內，根據公理內，根據公理1，l，又，又l，則則l. 一點通一點通1.判斷空間直線、平面之間的位置關系要判斷空間直線、平面之間的位置關系要善于根據題意畫出示意圖，充分發揮空間想象能力，再對善于根據題意畫出示意圖，充分發揮空間想象能力，再對位置關系做出判斷位置關系做出判斷 2對于異面直線，它們對于異面直線，它們“不同在任何一個平面內不同在任何一個平面內”，也指永遠不具備確定平面的條件也指永遠不具備確定平面的條件“分別位于兩個平面內的分別位于兩個平面內的直線直線”不一定是異面直

11、線，它們可能平行，也可能相交不一定是異面直線，它們可能平行，也可能相交1如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱的棱BB1和和 BC的中點分別是的中點分別是E、F，各棱所在的直線中，各棱所在的直線中 與直線與直線EF異面的條數是異面的條數是 ()A4 B6C8 D10解析：法一：解析：法一：與與EF異面的直線，有異面的直線，有AD，A1D1，AA1，DD1，AB，CD，A1B1，D1C1，共，共8條條法二：法二：正方體的正方體的12條棱中有條棱中有4條條BB1，BC，CC1，B1C1與與EF共面，其余共面，其余8條都與條都與EF異面異面答案：答案：C2如圖所示的長方體中，試指出：如

12、圖所示的長方體中，試指出：(1)與平面與平面ABCD平行的平面平行的平面_；(2)與與AD平行的平面平行的平面_；(3)與與AD相交的平面相交的平面_；(4)與與AD異面的直線異面的直線_答案：答案：(1)平面平面A1B1C1D1；(2)平面平面BCC1B1與平面與平面A1B1C1D1；(3)平面平面ABB1A1與平面與平面DCC1D1；(4)BB1，CC1，A1B1，C1D1. 例例2證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內內 思路點撥思路點撥先選取兩條直線確定一個平面，然后證明其先選取兩條直線確定一個平面，然后證明其他直線都在這個平面內他直線都在這

13、個平面內 精解詳析精解詳析已知：如圖所示，已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C. 求證：直線求證：直線l1、l2、l3在同一平面內在同一平面內 證明證明法一：法一：l1l2A，l1和和l2確定一個平面確定一個平面.l2l3B，Bl2.又又l2 ，B.同理可證同理可證C.又又Bl3，Cl3，l3 .直線直線l1、l2、l3在同一平面內在同一平面內 法二：法二：l1l2A，l1、l2確定一個平面確定一個平面.l2l3B，l2、l3確定一個平面確定一個平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證同理可證B，B，C，C.不共線的三個點不共線的三個點A、B、C既在平面既在平面內，又在

14、平面內，又在平面內內平面平面和和重合，即直線重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內在同一平面內 一點通一點通 證明點、線共面問題的常用方法證明點、線共面問題的常用方法 (1)由其中某些點、線確定一個平面，再證明其余的由其中某些點、線確定一個平面，再證明其余的點、線都在這個平面內點、線都在這個平面內 (2)證明某些點、線在證明某些點、線在內，其余點、線在內，其余點、線在內，再證內，再證明這兩個平面重合明這兩個平面重合3若點若點M在直線在直線a上，上，a在平面在平面內，則內，則M、間的關系間的關系 為為_ 解析：解析：Ma，a， M. 答案：答案：M4下列表述中正確的是下列表述中正確的是 ()

15、A空間三點可以確定一個平面空間三點可以確定一個平面 B三角形一定是平面圖形三角形一定是平面圖形 C若若A、B、C、D既在平面既在平面內，又在平面內，又在平面內，則內，則 平面平面和平面和平面重合重合 D四條邊都相等的四邊形是平面圖形四條邊都相等的四邊形是平面圖形 解析：解析：A、C、D不正確，不正確，B正確正確 答案：答案：B5求證：如果一條直線和兩條平行直線相交，那么這求證：如果一條直線和兩條平行直線相交，那么這 三條直線共面三條直線共面已知：已知：acA，bcB，ab.求證：直線求證：直線a，b，c共面共面證明：證明：如圖所示，如圖所示，ab，直線直線a，b確定一平面確定一平面.acA，a

16、，A.同理可證同理可證B.又又Ac，Bc，c.直線直線a，b，c共面共面. 例例3已知已知ABC在平面在平面外，它的三邊外，它的三邊所在的直線分別交平面所在的直線分別交平面于于P、Q、R(如圖如圖)，求證：求證：P、Q、R三點共線三點共線 思路點撥思路點撥解答本題可以先選兩點確定一條直線，解答本題可以先選兩點確定一條直線，再證明第三點也在這條直線上再證明第三點也在這條直線上 精解詳析精解詳析證明：法一：證明：法一：ABP，PAB，P平面平面. 又又AB平面平面ABC，P平面平面ABC. 由公理由公理3可知，可知， 點點P在平面在平面ABC與平面與平面的交線上，同理可證的交線上，同理可證Q、R也

17、在平面也在平面ABC與平面與平面的交線上的交線上 P、Q、R三點共線三點共線法二：法二：APARA，直線直線AP與直線與直線AR確定平面確定平面APR.又又ABP，ACR，平面平面APR平面平面PR.B平面平面APR.C平面平面APR，BC平面平面APR.又又Q直線直線BC，Q平面平面APR，又，又Q，QPR.P、Q、R三點共線三點共線 一點通一點通 1.證明三線共點問題的方法主要是：先確定兩條直線證明三線共點問題的方法主要是：先確定兩條直線交于一點，再證明該點是這兩條直線所在平面的公共點，交于一點，再證明該點是這兩條直線所在平面的公共點，第三條直線是這兩個平面的交線第三條直線是這兩個平面的交

18、線 2證明多點共線主要采用如下兩種方法：一是首先證明多點共線主要采用如下兩種方法：一是首先確定兩個平面，然后證明這些點是這兩個平面的公共點，確定兩個平面，然后證明這些點是這兩個平面的公共點，再根據公理再根據公理3，這些點都在這兩個平面的交線上；二是選，這些點都在這兩個平面的交線上；二是選擇其中兩點確定一條直線，然后再證明其他的點都在這條擇其中兩點確定一條直線，然后再證明其他的點都在這條直線上直線上6如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1 中，記中，記B1D與平面與平面A1BCD1交于點交于點Q，則，則B、 Q、D1三點必共線，為什么？三點必共線，為什么？解：解：如圖，連接如圖，連接B1D1、BD.B1D1BD，B1D1、BD確定平面確定平面B1BDD1，交，交平面平面A1BCD1于