1、線性代數復習提綱第一部分：基本要求（計算方面）四階行列式的計算；N階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；矩陣的運算（包括加、減、數乘、乘法、轉置、逆等的混合運算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關性；求向量組的極大無關組，并將多余向量用極大無關組線性表示；將無關組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標準化

2、，寫出變換矩陣；判定二次型或對稱矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式行列式的定義用nA2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數和;（2）展開式共有n!項，其中符號正負各半；2.行列式的計算一階|a|=豚亍列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n>=3）行列式的計算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0,利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；（2）行列式值為0的

3、幾種情況：I行列式某行（列）元素全為0;n行列式某行（列）的對應元素相同；m行列式某行（列）的元素對應成比例；W奇數階的反對稱行列式。二. 矩陣1. 矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；2. 矩陣的運算（1）加減、數乘、乘法運算的條件、結果；（2）關于乘法的幾個結論： 矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB=BA,稱A、B是可交換矩陣）；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，貝U|AB|=|A|*|B|;|kA|=kAn|A|3. 矩陣的秩（1）定義非零子式的最大階數稱為矩陣的秩；（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結論：矩陣的初等變換不改變

4、矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4. 逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若AB=BA=I,稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；性質：(AB)A-1=(BA-1)*(AA-1),(A')A-1=(AA-1)'(AB的逆矩陣，你懂的)(注意順序)(2) 可逆的條件： |A|乒0;r(A)=n;A->I;5. 逆的求解伴隨矩陣法AA-1=(1/|A|)A*;(A*A的伴隨矩陣)初等變換法(A:I)->(施行初等變換)(I:AA-1)用逆矩陣求解矩

5、陣方程：AX=B，貝UX=(AA-1)B;XB=A，貝UX=B(AA-1)；AXB=C，貝UX=(AA-1)C(BA-1)三、線性方程組線性方程組解的判定定理：r(A,b)豐r(M解；r(A,b)=r(A)=n有唯一解；r(A,b)=r(A)<n有無窮多組解；特別地：對齊次線性方程組AX=0r(A)=n只有零解；r(A)<n有非零解；1. 再特別，若為方陣，|A|乒0只有零解|A|=0有非零解齊次線性方程組(1) 解的情況：r(A)=n,(或系數行列式D乒0)只有零解；r(A)<n,(或系數行列式D=0)有無窮多組非零解。(2) 解的結構：X=c1a1+c2a2+Cn-r如-

6、r。(3) 求解的方法和步驟： 將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應同解方程組；移項，利用自由未知數表示所有未知數；表示出基礎解系；寫出通解。2. 非齊次線性方程組(1) 解的情況：利用判定定理。(2) 解的結構：X=u+c1a1+c2a2+Cn-r如-r。(3) 無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。(4) 唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)。四、向量組1.N維向量的定義注：向量實際上就是特殊的矩陣(行矩陣和列矩陣)。1. 向量的運算：(1) 加減、數乘運算(與矩陣運算相同)；(2) 向量內積a'3=a1b1+a2b2+anbn;(3)

7、 向量長度|a|=/a'a=V(a1A2+a2A2+-+anA2)/根號)(4) 向量單位化(1/|a|)a;(5) 向量組的正交化(施密特方法)設a1,a2，an線性無關，貝U31=a1,32=a2-(a2，$1/1*邵1,33=a夕(a3'31/61'*命U-(a3'。2/。2'*的2,。2. 線性組合(1)定義若3=k1a1+k2a2+-+knan，則稱。是向量組a1,a2,，an的一個線性組合，或稱6可以用向量組a1,a2,，an的一個線性表示。(2)判別方法將向量組合成矩陣，記若r(A)=r(B),則6可以用向量組a1,a2，an的一個線性表示

8、;若r(A)乒r(B),則6不可以用向量組a1,a2，an的一個線性表示。(3) 求線性表示表達式的方法：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數。3. 向量組的線性相關性(1) 線性相關與線性無關的定義設k1a1+k2a2+knan=0,若k1,k2,，kn不全為0,稱線性相關；若k1,k2,，kn全為0,稱線性無關。(2) 判別方法： r(d,a2，ai)<n,線性相關；r(1,a2,ai)=n,線性無關。 若有n個n維向量，可用行列式判別：4. n階行列式aij=0,線性相關(乒0無關)(行列式太不好打了)極大無關組與向量組的秩(1) 定義極大無關組所含向

9、量個數稱為向量組的秩(2) 求法設A=(a1,a2,，an),將A化為階梯陣，貝UA的秩即為向量組的秩，而每行的第一個非零元所在列的向量就構成了極大無關組。1. 五、矩陣的特征值和特征向量定義對方陣A,若存在非零向量X和數入使AX=入X則稱入是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應于特征值入的特征向量。2. 特征值和特征向量的求解：求出特征方程|入-A|=0的根即為特征值，將特征值入代入對應齊次線性方程組(入-A)X=0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。3. 重要結論：(1) A可逆的充要條件是A的特征值不等于0;(2) A與A的轉置矩陣A'有相同的特征值；(3) 不同特征值對應的

10、特征向量線性無關。1. 六、矩陣的相似定義對同階方陣A、B,若存在可逆矩陣P,使P、AP=B，則稱A與B相似。2. 求A與對角矩陣A相似的方法與步驟(求P和A):3. 求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線性無關特征向量個數與矩陣階數相同，則A可對角化(否則不能對角化)，將這n個線性無關特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對應特征值構成對角陣即為Ao求通過正交變換Q與實對稱矩陣A相似的對角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三步要將所得特征向量正交化且單位化。1. 七、二次型n定義n元二次多項式f(x1,x2,xn)=EaijXiXj稱為二次型，若aij=0(i專則稱為二交型的標準型。i,j=12. 二次