1、第四章平面任意力系 平面任意力系向作用面內一點的簡化 平面任意力系的平衡條件和平衡方程 物體系統的平衡靜定和超靜定問題 平面簡單桁架的內力計算4.1工程中的平面任意力系問題工程中的平面任意力系問題4.2 力線平移定理FdFMMBB)( 可以把作用在剛體上點可以把作用在剛體上點A A的力的力F F平行平行移到任一點移到任一點B B，但必須同時附加一個力，但必須同時附加一個力偶，偶，這個附加力偶的矩等于原來的力這個附加力偶的矩等于原來的力F F對新作用點對新作用點B B的矩的矩。dd力線平移定理的另一個用法，可把一個力和一個力偶合成為一個力。d主矢和主矩4.3 平面任意力系向作用面內一點簡化)(2

2、0222FMMFF)(10111FMMFF)(0nnnnFMMFF1212nRni FFFFFFFF1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMM FFFF平面匯交力系力，FR(主矢，作用在簡化中心)平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在該平面上)平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點簡化其中平面匯交力系的合力為平面力偶系的合成結果為主矢大小22)()(iyixRFFF主矢方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF主矢作用點主矢作用點作用于簡化中心上作用于簡化中心上主矩)(iOOFMM 平面任意力系向作用面內任一點O簡化，可得一個力和一個力偶。 這個力

3、等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O 。 這個力偶的矩等于該力系對于點O的主矩。主矢與簡化中心的位置無關，主矩和簡化中心的位置有關。平面固定端約束平面固定端約束=對比兩者的不同：(1)平面任意力系簡化為一個力偶原平面一般力系等效為一個平面力偶系。合力偶矩M等于原力系對簡化中心的主矩。由于力偶在同一平面內可移轉，所以此時的簡化結果與簡化中心無關()OOMM F FR0，MO0 4.4 平面任意力系的簡化結果分析(2)平面任意力系簡化為一個合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，則此時平面力系簡化為一合力，作用線恰好通過簡化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此時還可進一步簡化為一合力。如

4、圖OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF()ORROMF dMF()OOiMM F結論：平面任意力系的合力對作用面內任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數和。這就是平面任意力系的合力矩定理。FRdOO從圖中可以看出所以由主矩的定義知：()()OROiMM FF0RF主矢主矢主矩主矩最后結果最后結果說明說明合力合力合力合力合力作用線過簡化中心合力作用線過簡化中心0RF合力作用線距簡化中心合力作用線距簡化中心合力偶合力偶平衡平衡與簡化中心的位置無關與簡化中心的位置無關與簡化中心的位置無關與簡化中心的位置無關0OM0OM0OM0OM簡化中心簡化中心：A點點該三角形分布載荷如何簡化？該

5、三角形分布載荷如何簡化？ 分布在較大范圍內，不能看作集中力的載荷稱分布載荷。若分布載荷可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線載荷，簡稱線載荷。載荷集度q量綱：力/長度分布載荷問題主矢主矢lRqdxlxF0主矩主矩lAqdxlxxM0簡化最終結果簡化最終結果lqlqlFMdRA3221312dxqlxqlFFRR21 yxdxlRFql21231ql結論： 1、合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積;2、合力的方向與線載荷的方向相同;3、合力的作用線通過載荷圖的形心。1、均布載荷、均布載荷qlFq2、三角形載荷、三角形載荷qlFq21qFqF例4-1已知：1450,P kN

6、2200,P kN1300,F kN270;F kN求：力系的合力RF解：（1）、力系向O點簡化kNFPPFkNFFFCBABACByx1 .670sin9 .232cos7 .16arctan22121kNFFFyxR4 .709)()(22主矢0016.19180arccos),(,84.70arccos),(RyRRxRFFjFFFiF（2）、求合力及其作用線位置.23553.3197709.4oRMdFm003.514cos 9070.84dx m主矩mkNFMMoo.2355)(平面任意力系平衡的充要條件是： 力系的主矢和對任意一點的主矩都等于零即 00oRMF4.5 平面任意力系的

7、平衡條件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因為平面任意力系的平衡方程)64(000oyxMFF 平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數和也等于零。例4-2已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1 ;l m求： 固定端A處約束力.解：取T型剛架，畫受力圖.其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF316.4AxFkN060cosFPFAy0330cos30sin1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM例4-3已知：求：支座A

8、、B處的約束力.解：取AB梁，畫受力圖. 0 xF0AM 0yF0AxF解得0AxF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa平面任意力系平衡方程的三種形式1) 一般式000AyxMFF2)二矩式000BAxMMF 兩個點連線，不得與投影軸垂直BA,由后面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x 軸 (投影軸），則力系必平衡。3)三矩式000CBAMMM三個點不得共線CBA, 由前面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能

9、簡化為過A、B、C三點的一合力或處于平衡，若三點不在同一直線上，則力系必平衡。注意：注意：以上格式分別有三個獨立方程，最多只能求出三個未知數以上格式分別有三個獨立方程，最多只能求出三個未知數。4.6平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程只有兩個，有兩種形式00AyMF各力不得與投影軸垂直各力不得與投影軸垂直00BAMMA,B兩點連線不得與各力平行兩點連線不得與各力平行已知：,200,70021kNkNPP尺寸如圖；求：（1）起重機滿載和空載時不翻倒，平衡載重P3；（2）P3=180kN，軌道A

10、B給起重機輪子的約束力。解：1）取起重機，畫受力圖.滿載時，, 0AF就翻倒 0BM0102821min3PPP解得 P3min=75kN例4-4kNkN350753 PP3=180kN時 0AM041424123BFPPPFB=870kN 0iyF0321PPPFFBA FA=210kN空載時，, 0BF就翻倒 0AM4 4P P3max3max-2-2P P1 1=0=0F3max=350kN2）4.7 剛體系的平衡問題 由多個物體通過約束所組成的系統稱為剛體系統。 外界物體作用于系統的力稱該系統的外力。系統內各剛體間相互作用的力稱該系統的內力。 當整個系統平衡時，系統內每個剛體都平衡。反

11、之，系統中每個剛體都平衡，則系統必然平衡。因此，當研究剛體系統的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個剛體。 1 剛體系統靜定的判斷 在靜力學中求解剛體系統的平衡問題時，若未知量的數目(m)不超過獨立平衡方程數目(3n)。則由剛體靜力學理論，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。 若未知量的數目多于獨立平衡方程數目，則全部未知量用剛體靜力學理論無法求出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數與總獨立平衡方程數之差稱為靜不定次數(k=m-3n)。 靜不定問題在強度力學靜不定問題在強度力學（材力材力, ,結力結力, ,彈力）中用位移彈力）中用位移協調條件來求解協調條件

12、來求解。靜定（未知數三個）靜定（未知數三個） 靜不定（未知數四個）靜不定（未知數四個）PPPPFPFPF判斷各圖的超靜定次數判斷各圖的超靜定次數10m8m2m2m2m5mFPPP1P2ABC例4-5 圖示鋼結構拱架由兩個相同的鋼架AC和BC組成,吊車梁支在鋼架的D,E上.兩鋼架各重P=60KN,吊車梁重P1=20KN,其作用線過點C,載荷P2=10KN,風力F=10KN, 尺寸如圖,D,E兩點在力P的作用線上,求固定鉸支座A,B的約束力. 2 物體系平衡例題解:(1)研究整個拱架,受力如圖,建立坐標系x10m8m2m2m2m5mFPPP1P2ABCFAxFAyFBxFByy 0FMA06410

13、251212PPPPFFBy 0yF0212PPPFFByAyKNFBy5 .77KNFAy5 .72 0 xF0BxAxFFF(3)選左邊鋼架,受力如圖 0FMC0644105AyDAxFPFFFFCxFAxFAyFPCFCyFDKNFAx5 . 7FDFEP1P2(2)選吊車梁,受力見圖 0FME082421DFPPKNFD5 .17KNFBx5 .17力為負值力為負值,說明方向相反說明方向相反例4-6 已知:F F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B處的約束力.解:1)取CD梁,畫受力圖.0CMsin60cos30202BlFlqlFl 解得 F FB B=45

14、.77kN=45.77kN解得kN89.32AxF 0yF解得kN32. 2AyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl解得mMAkN37.102)取整體,畫受力圖. . 0 xFcos60sin300AxBFFF030cos260sin00FqlFFBAy求解問題時求解問題時,研究對象的選取很重要研究對象的選取很重要.原則原則:一般先以整個系統作為研究對象一般先以整個系統作為研究對象,雖然求不雖然求不出全部約束力出全部約束力,但可求出一部分但可求出一部分;有時也可以不以整體為研究對象有時也可以不以整體為研究對象,逐個研究逐個研究各個剛體也可求出全部反力各個剛體也可求出

15、全部反力.以某個剛體作為研究對象時以某個剛體作為研究對象時,以已知力和未以已知力和未知力共同作用的剛體為好知力共同作用的剛體為好;4.8 平面簡單桁架的內力計算工程中的桁架結構工程中的桁架結構 桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接形成的幾何形狀不變的結構。桁架中所有桿件都在同一平面內的桁架稱為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節點。 為簡化桁架計算，工程實際中采用以下幾個假設： (1)桁架的桿件都是直桿； (2)桿件用光滑鉸鏈連接； (3)桁架所受的力都作用到節點上且在桁架平面內； (4)桁架桿件的重量略去不計，或平均分配在桿件兩端的節點上。這樣的桁架，稱為理想桁架。總桿數mn總節點數32 nm33n

16、m=2( )32 nm平面復雜（超靜定）桁架32 nm平面簡單（靜定）桁架32 nm非桁架（機構）1、節點法求解平面桁架 桁架內每個節點都受平面匯交力系作用，為求桁架內每個桿件的內力，逐個取桁架內每個節點為研究對象，求桁架桿件內力的方法即為節點法。例4-11已知:P=10kN,尺寸如圖；求桁架各桿件受力.解:1)取整體，畫受力圖. 0ixF 0iyF 0BM0BxF042AyFPkN5AyF0PFFByAykN5ByF2)取節點A，畫受力圖. 0iyF030sin01 FFAy解得kN101F(壓) 0ixF030cos012 FF解得kN66. 82F(拉)3)取節點C,畫受力圖. 0ixF030cos30cos0104 FF解得kN104F(壓) 0iyF030sin0413FFF解得kN103F(拉)4)取節點D,畫受力圖. 0ixF025FF解得解得kN66. 85F(拉)例4-12 已知:,101kNP,72kNP桿長均為1m;求:1,2,3桿受力.解:1)取整體,求支座約束力. 0ixF0AxF 0BM03221AyFPP2、截面法 用假想的截面將桁架截開，取至少包含兩個節點以上部分為研究對象，考慮其平衡，求出被截桿件內力，這就是截面法。kN9AyF021PPFFByAykN8ByF 0iyF