1、概率論與數理統計(經管類)公式一、隨機事件和概率1、隨機事件及其概率運算律名稱表達式交換律ABBA AB BA結合律(A B) C A (B C) ABC (AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB AC A (BC) (A B)(A C)德摩根律A B AB AB A B2、概率的定義及其計算公式名稱公式表達式求逆公式P(A) 1 P(A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)條件概率公式P(BA) P(AB)1P(A)乘法公式P(AB) P(A)P(BA) P(AB) P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(Ai)P(B|Aj)i 1貝葉斯公式P(Aj)P(BA

2、j)P(Aj|B)逆概率公式P(Aj)P(B|AJi 1伯努力概型公式Pn(k)c；pk(1 p)n k,k 0,1, n兩件事件相互獨立相P(AB) P(A)P(B) ； P(B A) P(B) ； P(BA) P(BA) ； P(B A) P(B A) 1 ；應公式P(BA) P(B A) 1、隨機變量及其分布1、分布函數性質P(X b) F(b) P(a X b) F(b) F(a)2、離散型隨機變量分布名稱分布律0 - 1 分布 B(1, p)P(X k) pk(1 p)i, k 0,1二項分布B(n,p)P(X k)p)n k, k 0,1, ,n泊松分布P()kP(X k) e 肓

3、，k 0,1,2,k!幾何分布G(p)P(X k) (1 p)k 1 p, k 0,1,2,超幾何分布H(N,M, n)k n kP(X k) cmcn_m ,k 丨，| 1, ,min(n,M) cN3、連續型隨機變量分布名稱密度函數分布函數均勻分布U(a,b)1 . ,a x b f(x)b a0,其他0, x aF(x) x a,a x b b a1,x b指數分布E()e x, x 0 f(x)0,其他0,x 0F(x)xc1 e , x 0正態分布N( ,2)(x )21 2 2f (x) e2xJ221x_LF(x)e 2 d tV2標準正態分布N(0,1)x21 (X)2xV2(

4、t )21X-2F (x)e 2 d tV21、離散型二維隨機變量邊緣分布P(Y yj)P(x x,Y yj) PijiiPiP(X x) P(Xj2、離散型二維隨機變量條件分布yj)PijPijP(X XiY yj)P(X x.yj)P(Y yj)Pij .,iPj1,2Pji P(Y yj X xi)P(X x,Y yj)P(X Xi)Pij,j1,23、連續型二維隨機變量(X ,Y )的分布函數F(x, y)x yf(u,v)dvdu三、多維隨機變量及其分布4、連續型二維隨機變量邊緣分布函數與邊緣密度函數分布函數：Fx (x)f(u,v)dvdu密度函數:FY(y)f(u,v)dudvf

5、 x (x)f(x,v)dvfY (y)f (u, y)du5、二維隨機變量的條件分布fYX(yx)皿fx (x)fxY(xy)f(x, y)fY(y)四、1、數學期望離散型隨機變量:E(X)Xk Pk1連續型隨機變量:E(X)xf (x)dx2、數學期望的性質(1) E(C) C,C為常數 EE(X) E(X) E(CX) CE(X) E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) b E(CiXiCnXn) CiE(Xi)CnE(Xn)假設XY相互獨立那么：E(XY) E(X)E(Y)(4) E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、方差：D(X) E(X2) E2(X)4、方差

6、的性質2 2(1) D(C) 0DD(X) 0 D(aX b) a2D(X) D(X) E(X C)2(2) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 假設 XY相互獨立那么： D(X Y) D(X) D(Y)5、協方差：Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 假設 XY相互獨立那么：Cov(X,Y) 06、相關系數:xy 0即XY不相關xy (X,Y) CoV(X,Y)假設XY相互獨立那么:JD(X)JD(Y)7、協方差和相關系數的性質 (1) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y, X) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y

7、)Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)8、常見數學分布的期望和方差分布數學期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二行分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()幾何分布G(p)1 p1 p2 p超幾何分布 H(N,M,n)M n NM M、NmnN(1N) N1均勻分布U(a,b)a b2(b a)212正態分布N( , 2)2指數分布E()1丄2五、大數定律和中心極限定理1、切比雪夫不等式假設E(X) ,D(X)2,對于任意0 有 PX E(X) 或 PX E(X) 12、大數定律:假設X1 X n相互獨立且nn時，1Xi D1nE(Xi)n i 1ni 1(

8、1)假設X1Xn相互獨立，E(Xi)i,D(Xi)2 2 i且 iM那么：1n, nP 1Xi-E(Xi),(n)ni 1n i 1假設X1Xn相互獨立同分布，且E(Xi)i那么當n時：1nXiPn i i(1)獨立同分布的中心極限定理:均值為，方差為 20的獨立同分布時，當n充分大時有:YnnXk nk 1nN(0,1)(2)拉普拉斯定理:隨機變量n(n 1,2) B(n, p)那么對任意x有:n npxlimP.np(1p)Xe Tdt(X)(3)近似計算:P(aXk b) P(anXk nk 1bn、n)(T )3、中心極限定理六、數理統計1、總體和樣本總體X的分布函數F(x)樣本(XX

9、2 Xn)的聯合分布為F(Xi，X2Xn)nF(Xk)k 12、統計量(1)樣本平均值:1 Xi (2)樣本方差:n i 1S2(Xi1X)22 2 (Xi2 nX )1(3)樣本標準差:X)2AkXik,k 1,2樣本k階原點距:n_(Xi X)k,k 2,3(6)次序統計量：設樣本(X1,X2 Xn)的觀察值(X1,X2 Xn)，將X1, X2 Xn按照由小到大的次序重新排列,樣本k階中心距:i 1BkM k得到X(1)X(2)X(n)，記取值為X(i)的樣本分量為X(i)，那么稱X(1) X(2)X(n)為樣本(XX2 Xn)的次序統計量。 X(1) min(X1,X2 Xn)為最小次序

10、統計量；X(n) max(X1,X2 Xn)為最大次序統計量。3、三大抽樣分布2(1) 分布：設隨機變量X1,X2Xn相互獨立，且都服從標準正態分布N(0,1),那么隨機變量2 Xi2 X；X 2所服從的分布稱為自由度為 n的2分布，記為 2 2(n)性質： E 2( n) n,D 2( n) 2n 設 X 2(m), 丫2(n)且相互獨立，那么 X Y 2(m n)t分布：設隨機變量X N(0,1),Y 2(n)，且X與Y獨立，那么隨機變量:XT -所服從的分布稱為自 .Y n由度的n的t分布，記為T t(n)性質： Et(n) 0,Dt(n),(n 2) lim t(n)n 2nN (0,

11、1)(x )22 2(3) F分布：設隨機變量u2(nV2(n2)，且U與V獨立，那么隨機變量Fg,n2)亠所服從的分布V n2稱為自由度(nn2)的F分布，記為FF(m,n2)1性質：設 X F(m, n)，貝UF (n, m)X七、參數估計1、參數估計(1)定義：用(X1,X2, Xn)估計總體參數總體的估計值。(2)當總體是正態分布時，未知參數的矩估計值2、點估計中的矩估計法：總體矩=樣本矩，稱(XX2, Xn)為 的估計量，相應的=未知參數的最大似然估計值(X1,X2, Xn)為離散型樣本均值：XE(X)nXi連續型樣本均值:X E(X)xf (x, )dx離散型參數:E(X2)XiP()那么可得到概率密度:3、點估計中的最大似然估計f (X1,X2,xn,)nf(Xi,)或P(X X1,i 1nn