1、中考數學相似綜合試題一、相似1.如圖，已知A(-2,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx-1過A、B兩點，并與過A點的直線y=-x-1交于點C.(1)求拋物線解析式及對稱軸;(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPO的周長最小？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由;(3)點M為y軸右側拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N.問：是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與4AOC相似，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：把A(-2,0),B(4,0)代入拋物線y=ax2+bx-1,得,0=4&-2b-I0=16a4

2、b-I，拋物線解析式為：y=&x2-Jx-1Na/2x一，拋物線對稱軸為直線x=-E=1(2)解：存在使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+POM小，取點C(0,-1)關于直線x=1的對稱點C'(2,-1),連C'0與直線x=1的交點即為P點.設過點C'、。直線解析式為：y=kx'k=-1y="i3x/則p點坐標為（i,-w）(3)解：當AO84MNC時，如圖，延長MN交y軸于點D,過點N作NE，y軸于點E/ACO=ZNCD,/AOC=ZCND=90°/CDN=ZCAO由相似，/CAO=/CMN/CDN=ZCMN.MN±AC

3、M、D關于AN對稱，則N為DM中點I設點N坐標為（a,-2a-1）由EDNsOACED=2aJ，點D坐標為（0,-a-1）N為DM中點Id，點M坐標為（2a,二a-1）11把M代入y=8X2-Jx-1,解得a=4則N點坐標為（4,-3）當AOACNM時，/CAO=ZNCM.CM/AB則點C關于直線x=1的對稱點C即為點N由(2)N(2,-1).N點坐標為(4,-3)或(2,-1)【解析】【分析】(1)根據點A、B的坐標，可求出拋物線的解析式，再求出它的對稱軸即可解答。(2)使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小，取點C(0,-1)關于直線x=1的對稱點C'(2,-1),連C&#

4、39;0與直線x=1的交點即為P點，利用待定系數法求出直線C'0的解析式，再求出點P的坐標。(3)分情況討論：當AOgMNC時，延長MN交y軸于點D,過點N作NE，y軸于點E,由/ACO=/NCD,/AOC=/CND=90得出/CDN=ZCAO,再證明/CDN=ZCMN,根/據MNLAC,可彳#出M、D關于AN對稱，則N為DM中點，設點N坐標為(a,-Ja-1),根據EDNsOAC,得出點D、M的坐標，然后將點M的坐標代入拋物線的解析式求出a的值，即可得出點N的坐標；當AOgCNM時，/CAO=/NCM,得出CM/AB則點C關于直線x=1的對稱點C'即為點N,就可求出點N的坐標

5、。abc一二一二2.已知線段a,b,c滿足326,且a+2b+c=26.(1)判斷a,2b,c,b2是否成比例；(2)若實數x為a,b的比例中項，求x的值.abc【答案】(1)解：設3-二，一力一，則a=3k,b=2k,c=6k,又a+2b+c=26,.3k+2x2k+6k=26軍得k=2,a=6,b=4,c=12;.-2b=8,b2=16,.a=6,2b=8,c=12,b2=16-2bc=96,ab2=6X16=962bc=ab2a,2b,c,b2是成比例的線段。(2)解：:x是a、b的比例中項，1 .x2=6ab,2 -x2=6X4內63 .x=12.【解析】【分析】(1)設已知比例式的值

6、為k,可得出a=3k,b=2k,c=6k,再代入a+2b+c=26,建立關于k的方程，求出kl的值，再求出2b、義，可判斷a,2b,c,b2是否成比例。(2)根據實數x為a,b的比例中項，可得出x2=ab,建立關于(1)求這條拋物線的表達式；(2)求/ACB的度數；(3)設點D是所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側,b2,然后利用成比例線段的定x的方程，求出x的值。E在線段AC上，且DE，AC,當4DCE與4AOC相似時，求點D的坐標.【答案】(1)解：當x=0,y=3,所以C(0,3)3設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-).口將C(0,3)代入得-上a=3,解得a=-2所以拋物線

7、的解析式為y=-2x2+x+3(2)解：過點B作BMLAC,垂足為M,過點M作MNLOA,垂足為N,如圖1,.OC=3,AO=1,.tan/CAO=3.直線AC的解析式為y=3x+3.,且與y軸相交于點C.ACXBM,BM的一次項系數為-J.1設BM的解析式為y=-,1x+b,將點B的坐標代入得:11BM的解析式為y=-Jx+-.1dJTH1T將y=3x+3與y=-Jx+二聯立解得：x=-/,y=:.MC=BM=M，J=.?MCB為等腰三角形./ACB=45.°-JK+b=0解得b=二:.(3)解：如圖2所示，延長CD,交x軸于點F.4 /ACB=45點D是第一象限拋物線上一點，5

8、/ECD>45:又.？DCE與？AOC相似，/AOC=/DEC=90,/CAO=ZECD.CF=AF.設點F的坐標為（a,0）,則（a+1）2=32+a2,解得a=4.F（4,0）.設CF的解析式為y=kx+3,將F（4,0）代入得：4k+3=0,解得k=-,.二.CF的解析式為y=-?x+3.i彳將y=-，x+3與y=-2x2+x+3聯立，解得x=0（舍去）或x=5.將x=8代入y=-4x+3得y=3;.D(6,33).【解析】【分析】(1)結合已知拋物線與x軸的交點AB,設拋物線的解析式為頂點式，代入點C的坐標求出系數，在回代化成拋物線解析式的一般形式。(2)作垂線轉化到直角三角形中

9、利用銳角函數關系解出直線南AC的解析式，再利用待定系數法求出系數得出直線BC的解析式，聯立方程得出點M的坐標，根據勾股定理求出MC,BM的長判斷出是等腰直角三角形，得出角的度數(3)根據相似三角形的性質的出兩角相等，再利用待定系數法求出系數得出直線CF的解析式，再聯立方程得出點D的坐標。4.已知，如圖1,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點BC,與y軸交于點A,且AO=CO,BC=4.(1)求拋物線解析式；(2)如圖2,點P是拋物線第一象限上一點，連接PB交y軸于點Q,設點P的橫坐標為(3)在(2)的條件下，過點Q作直線ly軸，在l上取一點M(點M在第二象限)，連接AM,使AM=PQ,連接C

10、P并延長CP交y軸于點K,過點P作PNL于點N,連接KN、CN、CM,若/MCN+/NKQ=45°時，求t值.【答案】(1)解：如圖1,nsol圖L當x=0時，y=3,.A(0,3),.OA=OC=3,BC=4,.OB=1,B(-1,0),C(3,0),4-b3=0把B(-1,0),C(3,0)代入拋物線y=ax，bx+3中得：/%法必#V6ji解得：，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3;(2)解：如圖2,圖2設P(t,t2+2t+3)(0vtv3),過P作PGJ±x軸于G,1.OQ/PG,.BOQABGP,OQOb用班(t-3)(t#1).d=d=-t+3(0<

11、t<3)(3)解：如圖3,連接AN,延長PN交x軸于G,由(2)知：OQ=3-t,OA=3,.AQ=OA-OQ=3-(3-t)=t,.QN=OG=AQ=t,AQN是等腰直角三角形，/QAN=45；AN=Yt, .PG/OK,pgaOK0(.,?一33-t而=,OK=3t+3,AK=3t, /QAN=ZNKQ+ZANK,。 /NKQ+ZANK=45； /MCN+ZNKQ=45；/ANK=ZMCN, .NG=CG=3-t, .NGC是等腰直角三角形，.NC=(3-t),/GNC=45；/CNH=ZNCM+ZNMC=45°,/NKQ=ZNMC, .AKNANMC,.AQ=QN=t,A

12、M=PQ, RtAAQMARtAQNP(HL.),MQ=PN=-t2+2t+3-(3-t)=-t2+3t,|3E.的“方門方.黨一t2-7t+9=0,7+l3，-寸7311=j'>3,t2=-,0<t<3,ti>3,不符合題意，舍去,t=J【解析】【分析】(1)根據函數圖像與坐標軸交點的坐標特點，得出A點的坐標，再根據點到坐標軸的距離得出OA=OC=3,又BC=4,從而得出OB的距離，進而得出B,C兩點的坐標，再將B,C兩點的坐標代入拋物線y=ax2+bx+3中得出一個關于a,b的二元一次方程組，求解得出a,b的值，從而得出拋物線的解析式；(2)過P作PG,x軸

13、于G,根據P點的橫坐標得出P點坐標設P(t,-t2+2t+3)(0vtv3),根據平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似，得出BOQsBGP,根據相似三角形對應邊成比例得出OQ：PG=OB：BG從而彳#出d關于t的函數關系式；(3)連接AN,延長PN交x軸于G,由(2)知：OQ=3-t,OA=3,從而得AQ=OA-OQ=3-(3-t)=t,進而得QN=OG=AQ=t,從而判斷出AQN是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得出/QAN=45,AN=%1工t,根據平行線分線段成比例得出PG：OK=CG：OC,故OK=3t+3,AK=3t,根據等式的性質得出/ANK=/M

14、CN,判斷出NGC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得出NC=E(3-t),/GNC=45,再判斷出AKNMNMC,根據相似三角形對應邊成比例得出AK：MN=AN：NC,再利用HL判斷出RtAAQMARtAQNP,故MQ=PN=-t2+2t+3-(3-t)=-t2+3t,從而得出關于t的方程，求解并檢驗即可得出答案直，點P為線段CD的中點.(1)操作發現：直線l±m,l±n,垂足分別為A、5.已知直線m/n,點C是直線m上一點，點D是直線n上一點，CD與直線m、n不垂B,當點A與點C重合時(如圖所示)，連接PB,請直接寫出線段PA與PB的數量關系：(2)猜想證明：在

15、圖的情況下，把直線l向上平移到如圖的位置，試問(1)中的PA與PB的關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（3）延伸探究：在圖的情況下，把直線l繞點A旋轉，使得ZAPB=90（如圖所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證：PA?PB=k?AB【答案】（1）PA=PB（2）解：把直線l向上平移到如圖的位置，PA=PM然成立，理由如下：如圖，過C作CHn于點E,連接PE,也國電三角形CED是直角三角形，點P為線段CD的中點，PD=PEPC=PE-PD=PE/CDE=ZPEB直線m/n,./CDE=ZPCA,ZPCA=ZPEB,又直線l,m,l±n,CE!m,CE

16、!n,，l/CE,，AC=BEPC=PEZPCA=ZPEb在APAC和PBE中，ACBE.PAgPBE,.PA=PB(3)解：如圖，延長AP交直線n于點F,彳AE±BD于點E,HF擰B圖上：,APPC直線m/n,：皿，AP=PF,/ZAPB=90,°BP±AF,又AP=PF,BF=AB;QEF=ZBPF=90.在AAEF和ABPF中,'=/RFPAAEFABPF,.AF?BP=AE?BF.AF=2PA,AE=2k,BF=AB,.2PA?PB=2kAB,.PA?PB=k?AB【解析】【解答】解：（1）-.lXn,BC±BD,三角形CBD是直角三角形

17、，又二點P為線段CD的中點，PA=PB【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半；（2）把直線l向上平移到如圖的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖，過C作CHn于點E,連接PE,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半得出PD=PE=PC根據等邊對等角得出/CDE=ZPEB,根據二直線平行，內錯角相等得出/CDE=ZPCA,故/PCA=ZPEB,根據夾在兩平行線間的平行線相等得出AC=BE然后利用SAS判斷出PACPBE,根據全等三角形的對應邊相等得出PA=PB(3)如圖，延長AP交直線n于點F,彳AELBD于點E,根據平行線分線段成比例定理得出AP=PF,根據線段垂直平

18、分線上的點到線段兩個端點的距離相等得出BF=AB;然后判斷出AEFBPF,根據相似三角形的對應邊成比例即可得出AF?BP=AE?BF根據等量代換得出2PA?PB=2kAB,即PA?PB=k?AB6.書籍開本有數學開本指書刊幅面的規格大小.如圖，將一張矩形印刷用紙對折后可以得到2開紙，再對折得到4開紙，以此類推可以得到8開紙、16開紙若這張矩形印刷用紙的短邊長為a.(1)如圖，若將這張矩形印刷用紙ABCD(ABBC世行折疊，使得BC與AB重合，點C落在點F處，得到折痕BE;展開后，再次折疊該紙，使點A落在E處，此時折痕恰好經過點B,得到折痕BG,求質的值.(2)如圖，2開紙BCIH和4開紙AMN

19、H的對角線分別是HCHM.說明HC±HM.(3)將圖中的2開紙、4開紙、8開紙和16開紙按如圖所示的方式擺放，依次連接點A、BM、I,則四邊形ABMI的面積是.(用含a的代數式表示，直接寫出結果)【答案】(1)解：二四邊形ABCD是矩形， /ABC/C=90第一次折疊使點C落在AB上的F處，并使折痕經過點B, /CBE"/FBE=45； /CBE-/CEB=45,°BCCEa,BE丫引.第二次折疊紙片，使點A落在E處，得到折痕BG,.ABBE='務，-|BH（2）解：根據題意和（1）中的結論，有AHAM&5:廟廠H.四邊形ABCD是矩形，ZAZB9

20、0,° .MAHAHBC, /AHM=|/BCH. /BCHE/BHC”90； /AHM+/BHC=90； /MHC90; HCXHM.金（3）33【解析】【解答】解：（3）如圖，AF=IG=_a,NI=MP=7a,OP=a,根據題意知（1）中的結論，有BC=AD=2a,又/C=ZADE=90,/BEC4AED, .?BCE?ADE,-S?BCE=S?ADE,同理可得，S?afh=S?igh,S?inq=S?mpq,，四邊形ABMI的面積=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC【分析】（1）利用矩形的性質及第一次折疊使點C落在AB上的F處，可得出/CBE=/FBE之CEB=4

21、5,°可得出CE=BC利用勾股定理可用含a的代數式求出BE的長，再根據第二次折疊紙片，使點A落在E處，得到折痕BG,可用含a的代數式表示出AB的長，然后求出AB與BC的比值。(2)利用(1)的結論，可用含a的代數式表示出AH、BH、AM的長，就可求出AM用1BH比，利用矩形的性質可得出/A=/B,再根據相似三角形的性質，證明MAHshbc,利用相似三角形的性質，去證明ZAHM+/BHC=90°,然后利用垂直的定義可解答。(3)利用已知條件證明？BCE?ADE,可證得S?bce=S?ade,S?afh=S?igh,S?inq=S?mpq,再根據四邊形ABMI的面積=S矩形ad

22、of+S矩形igon+S梯形bmpc,可求出答案。7.已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于點A(1,0)和點B(5,0),頂點為M.點C在x軸的負半軸上，且AC=AB,點D的坐標為(0,3),直線l經過點C、D.1胃,才學才才言"一丁"¥"軍,號一號-1(1)求拋物線的表達式；(2)點P是直線l在第三象限上的點，聯結A巳且線段CP是線段CA、CB的比例中項，求tan/CPA的值；(3)在(2)的條件下，聯結AM、BM,在直線PM上是否存在點E,使得/AEM=/AMB.若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：拋物線¥=

23、心？-5與x軸交于點A(1,0),B(5,0),解得%=6.拋物線的解析式為丫=一依(2)解：A(1,0),B(5,0),OA=1,AB=4.AC=AB且點C在點A的左側，AC=4.CB=CA+AB=8.線段CP是線段CA、CB的比例中項,CACP:：11.CP=.又/PCB是公共角，CPACBP.ZCPA=/CBP過P作PH，x軸于H. OC=OD=3,/DOC=90；ZDCO=45.°,.ZPCH=45PH=CH=Cpi"5J=4,H(-7,0),BH=12, P(-7,-4),PH/tan4BP-7BHj,?1tan/CPA=3.(3)解：拋物線的頂點是M(3,-4)

24、,又P(-7,-4),PM/x軸.當點E在M左側，貝U/BAM=/AME. /AEM=/AMB,AAEMABMA.MEAM.疝-前,ME閡3ME=5,E(-2,-4)過點A作AN，PM于點N,則N(1,-4).當點E在M右側時，記為點E1, ZAE'N=ZAEN,點E'I與E關于直線AN對稱，則E'(4,-4).綜上所述，E的坐標為(-2,-4)或(4,-4).【解析】【分析】(1)用待定系數法即可求解。即；由題意把A(1,0),B(5,0),代入解析式可得關于a、b的方程組，a+b+5=0,25a+5b+5=0解彳#a=1、b=-6,所以拋物線的解析式為y=丁-6x+

25、5;(2)過P作PHI±x軸于H.由題意可得OA=1,AB=4.而AC=AB且點C在點A的左側，所以caaAC=4,貝UCB=CA+AB=8已知線段CP是線段CA、CB的比例中項，所以仃f次解得CP=4X&因為/PCB是公共角，所以根據相似三角形的判定可得CPA/CBP,所以ZCPA=/CBR因為OC=OD=3,/DOC=90；/DCO=45.所以/PCH=45；在直角三角形PCH中，PH=CH=CPsin45°=4,所以H(-7,0),BH=12,貝UP(-7,-4),在直角三角形PBHPHI中，tan/CBP=H.=tan/CPA;(3)將(1)中的解析式配成頂

26、點式得y=(,力-4,所以拋物線的頂點是M(3,-4),而P點的縱坐標也為-4,所以PM/x軸.分兩種情況討論：當點E在M左側，則/BAM=/AME,而/AEM=/AMB,根據相似三角形的判定可得AEMsBMA,所以可MEAk生竺得比例式乩V也;，即，解得ME=5,所以E(-2,-4);當點E在M右側時，記為點E過點A作ANLPM于點N,則N(1,-4),因為/AE'N=AEN,所以根據軸對稱的意義可得點E'與E關于直線AN對稱，則(4,-4).8.如圖，在ABC中，/ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,點D從點C出發，以2cm/s的速度沿折線C-A-B向點B

27、運動，同時點E從點B出發，以1cm/s的速度沿BC邊向點C運動，設點E運動的時間為t(單位：s)(0vtv8).(1)當4BDE是直角三角形時，求t的值；(2)若四邊形CDEF是以CDDE為一組鄰邊的平行四邊形，設它的面積為S,求S關于t的函數關系式；是否存在某個時刻t,使平行四邊形CDEF為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：如圖1,當/BED=90時，4BDE是直角三角形，貝UBE=t,AC+AD=2t,如圖2,當/EDB=90時，BDE是直角三角形,貝UBE=t,BD=16-2t,61/BDBC8.BD=6+10-2t=16-2t,/BED=ZC=90；.D

28、E/AC,DEBCAC,tESJr.DE=九DEsinB=3tt=cosB=展JG16-2lt=答：當BDE是直角三角形時，t的值為或:(2)解：如圖3,當0vtw時,BE=t,CD=2t,CE=8-t,國二.S?cdeF=2Sacde=2>CX21(渴-t)=-2t2+16t,如圖4,當3vt<8時，BE=t,CE=8-t,過D作DHLBC,垂足為H,用16-2t610,3(16-2i)存在，如圖5,當？CDEF為菱形時,.DH=0,13(16-2t).S?cdeF=2Sacde=2>CXCEXDH=CEXD8H=)X5.S于t的函數關系式為：當0vtw時，S=-2t2+1

29、6t,6當3vtv8時，S=5t2-DHLCE，BH=BE+EH4(162t)=t+1=即當t二/時，？CDEF為菱形.【解析】【分析】(1)因為BDE是直角三角形有兩種情況: 當/BED=90°時，可彳HDE/AC,根據平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或其延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似可得|喇"/反J,于是可得比例式將DE圖用含t的代數式表示，再根據sinB=而可得關于t的方程，解方程即可求解； 當/EDB=90。時，同理可求解；(2)當0Vt<3時，S?cdef=2Sacde可得s與t的關系式；當3vt<8時，過D作DH±BC,垂足為

30、H,根據平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或其延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似可得I國印“八次：1,于是可得比例式將DH用含t的代數式表示，則S?cdef=2Szxcde可得s與t的關系式；當3Vt<8時，同上；存在，當？CDEF為菱形時，DHXCE,根據BH=BE+EH可得關于t的方程，解方程即可求解。9.如圖，拋物線V二心"兩點，與y軸交于點C,連接AB,AC,BC(1)求拋物線的表達式；(2)求證：AB平分一CAO；M,使得/ABM是以AB為直角邊的直角三角形，若(3)拋物線的對稱軸上是否存在點存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.-4=0【答案】(1)解

31、：將Af抄代人得:'場#處J/a=-b-解得：白，心,¥，5Vx*4二拋物線的解析式為66(2)解：(2):,A0,0C=,，:AC5,取D&#，貝UAD=AC-4,:",b刃， :BCJ? :BDBJ在ABC和AABD中，AD=AC,AB施，BC|,"他04AiW,J4AB4AD,二AB平分/CAO(3)解：如圖所示：拋物線的對稱軸交x軸與點E,交BC與點F.上個/W近二AE拋物線的對稱軸為上，則H:Y4-3,川，B伍7,-tanZEAB上，r上獷業二第:lanY'AEJY'E*E-”,5.：M*仁11)二'，同理：tan

32、上4,5-：1-9)/75S.一，一一，k"),、仁9)一點M的坐標為/或J【解析】【分析】(1)利用待定系數法，將點A、B兩點坐標分別代入拋物線的解析式，求出a、b的值，即可解答。(2)利用勾股定理，在RtAAOC中，求出AC的長，再根據兩點間的距離公式求出BD的長，由點B、C的坐標，求出BC的長，可證得BD=BC然后證明ABC叁ABD,利用全等三角形的性質，可證得結論。(3)拋物線的對稱軸交x軸與點E,交BC與點F.求出拋物線的對稱軸，就可求出AE的長，再利用點A、B的坐標，求出tan/EAB的值，再由/M'AB=90°,求出tan/M'AE的值，求出M

33、'E的長，就可得出點M的坐標，再用同樣的方法求出點M的坐標，即可解答。10.已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖，在4CFE中，CF=6,CE=12/FCE=45，以點1C為圓心，以任意長為半徑作AD,再分別以點A和點D為圓心，大于士AD長為半徑做弧，交"于點B,AB/CD.(1)求證：四邊形ACDB為4CFE的親密菱形；(2)求四邊形ACDB的面積.【答案】(1)證明：由已知得：AC=CD,AB=DBh已知尺規作圖痕跡得：BC是/FCE的角平分線，/ACB=ZDCB,又AB/CD,/ABC=ZDC

34、B,/ACB=ZABC,.AC=AB,又AC=CD,AB=DB,.AC=CD=DB=BA二I四邊形ACDB是菱形，又/ACD與FCE中的/FCE重合，它的對角/ABD頂點在EF上,，四邊形ACDB為4FEC的親密菱形.(2)解：設菱形ACDB的邊長為x,CF=6,CE=12, .FA=6-x,Ah .sin/ACH;九.AH=4"=2'士，四邊形ACDB的面積為：X號8g.【解析】【分析】(1)依題可得：AC=CD,AB=DB,BC是/FCE的角平分線，根據角平分線的定義和平行線的性質得/ACB=/ABC,根據等角又卡?邊得AC=AB,從而得AC=CD=DB=BA根據四邊相等

35、得四邊形是菱形即可得四邊形ACDB是菱形；再根據題中的新定義即可得證.(2)設菱形ACDB的邊長為x,根據已知可得CF=6,CE=12,FA=6-x根據相似三角形的判定6-xW和性質可得方人，解得：x=4，過點A作AHLCD于點H,在RACH中，根據銳角三角形函數正弦的定義即可求得AH再由四邊形的面積公式即可得答案.11.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,動點Q在邊AB上，連接CQ,將4BQC沿CQ所在的直線對折得到4CQN,延長QN交直線CD于點M.(1)求證：MC=MQ(2)當BQ=1時，求DM的長;DFI(3)過點D作DE，CQ,垂足為點E,直線QN與直線DE交于點F,且DE求

36、BQ的長.【答案】(1)解：證明：二.四邊形ABCD是矩形，2 .DCAB即/MCQ=ZCQB,3 BQC沿CQ所在的直線對折得到CQN/CQN=ZCQB,即/MCQ=ZMQC,.MC=MQ.(2)解：二四邊形ABCD是矩形，4BQC沿CQ所在的直線對折得到ACQ、/CNM=ZB=90；設DM=x,貝UMQ=MC=6+x,MN=5+x,在RtCNM中，MB2=BN2+MN2,即(x+6)2=42+(x+5)2,J解得：x=上，j.DM=二,DM的長2.5.(3)解：解：分兩種情況：當點M在CD延長線上時，如圖所示：c1 .DEXCQ,3 /CDE之F,又/CDE之FDM,/FDM=ZF,.MD=MF.過M點作MHXDFTH,則DF=2DH,L4QB圖2DF_1又族二，DH1.屈s4 .DEXCQMH±DF,/MHD=ZDEC=90,°5 .MHDADECMi)DM_16 .DM=1,MC=MQ=7,，MN=4唳7d=",<=梗,-.BQ=NQ=7當點M