1、教 案18裝 訂 線 裝 訂 線教學(xué)教案設(shè)計（續(xù)頁）第一 章 行列式§1.1 n 階行列式定義教學(xué)目的：使學(xué)生了解和掌握n級排列、逆序逆序數(shù)奇排列偶排列n 階行列式定義及行列式的計算教學(xué)重點：n階行列式定義及計算教學(xué)難點：n階行列式定義一、導(dǎo)入 線性方程組和矩陣在工程技術(shù)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用，而行列式就是研究線性方程組的求解理論和矩陣理論的重要工具。二、新授（一） 二階、三階行列式對于二元線性方程組 （1.1）采用加減消元法從方程組里消去一個未知量來求解，為此：第一個方程乘以a22與第二個方程乘以a12相減得 （a11a22a21a12）x1= b1a22- b2a12第二個方程乘以

2、a11與第一個方程乘以a21相減得 （a11a22a21a12）x2=a11b2-a21b1若a11a22a21a120，方程組的解為 （1.2）容易驗證（1.2）式是方程組(1.1)的解。稱a11a22a21a12為二階行列式，它稱為方程組（1.1）的系數(shù)行列式，記為D。我們?nèi)粲?方程組的解（1.2）式可寫成 對三元線性方程組 （1.3）與二元線性方程組類似，用加減消元法可求得它的解： (1.4)為方程組（1.3）的系數(shù)行列式, Dj (j=1,2,3)是將D的第j列換成常數(shù)列而得到的行列式。 二階、三階行列式可用對角線法則計算。為研究高階行列式的結(jié)構(gòu)，下面考察等式（1.4）：（1.4）式也

3、可寫成如下形式 這里j1 j2 j3是1，2，3的一個排列，表示對所有的3級排列求和。(二) n階行列式的定義 1. 定義：把由n2個數(shù)排成n行n列的 （1.5）稱為n階行列式,它等于所有取自(1.5)中屬于不同行同列的n個元素的乘積 的代數(shù)和。這里j1 j2 jn是1，2，n的一個排列，當(dāng)(j1 j2 jn)是偶數(shù)時，乘積項前面取正號，當(dāng)(j1 j2 jn)是奇數(shù)時，乘積項前面取負號。亦可以將這一定義寫成 (1.6) 等式（1.6）右邊表示此n階行列式的展開式，亦表示n階行列式的值。當(dāng)n=2或n=3時(1.6)式表示二階或三階行列式,我們還規(guī)定一階行列式|a|的值等于a。2. 例:計算行列式

4、 (1) (2) 解: 根據(jù)例中（1），對于n階對角行列式可證得下面的結(jié)論：例5 求下面四階上三角行列式的值 解：根據(jù)行列式的定義可知，若乘積項不為零，第一列只能取a11，第二列兩個非零元素只能取a22，第三列三個非零元素只能取a33，第四列四個非零元素只能取a44，故此對于n階上、下三角行列式，我們可以證得以下結(jié)論： 。由此，設(shè)法將一般高階行列式化成三角行列式再求值，是計算行列式的一種簡單方便的方法。（三）n級排列 及其奇偶性1.定義：由n個數(shù)1，2，3，組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。 例1 4321是一個4級排列，35241是一個5級排列123n是一個n級排列，它是唯一一個按著由小到

5、大的次序組成的n級排列,稱它為n級標準排列2.定義：在一個排列中的兩個數(shù)，如果排在前面的數(shù)大于排在后面的數(shù)，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。在一個排列中逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)。排列 j1 j2 jn 的逆序數(shù)記為 (j1 j2 jn)。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例3 在4級排列中，(3412)=2+2=4，故4級排列3412為一個偶排列。(2341)=1+1+1=3，故4級排列2341為一個奇排列。定理1.1：一個排列中的任何兩個元素對換，排列改變奇偶性§1.2 n階行列式的基本性質(zhì)教學(xué)目的：了解和掌握n階行列式的基本性質(zhì)教學(xué)重點： n階行列式的基

6、本性質(zhì)教學(xué)難點：n階行列式基本性質(zhì)及利用行列式的性質(zhì)計算行列式一、導(dǎo)入：復(fù)習(xí)第一節(jié)內(nèi)容二、新授（一）定義：將行列式D的行列位置互換后所得的行列式稱為D 的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT。即 , （二）性質(zhì)性質(zhì)1：行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT值相等，即 D=DT 。性質(zhì)1說明行列式中行與列的地位是相同的，所以凡對行成立的性質(zhì)，對列也成立。性質(zhì)2：行列式中任意兩行（列）互換后，行列式的值僅改變符號。若設(shè) ， 則D =D1 。證明：，根據(jù)定理1，性質(zhì)3：若行列式中有兩行（列）元素完全相同，則行列式值等于零。證明： 設(shè)行列式 將i行與j行交換，由性質(zhì)2得 D=D，于是2D=0，即D=0。 由行列式的定義可直接證

7、得：性質(zhì)4：以數(shù)k乘行列式的某一行（列）中所有元素，就等于用k去乘此行列式。即或者說，若行列式的某一行（列）中所有元素有公因子，則可將公因子提取到行列式記號外面。性質(zhì)5：若行列式中有一行（列）的元素全為零，則行列式的值等于零。根據(jù)性質(zhì)3、性質(zhì)4可推出：性質(zhì)6：若行列式中有兩行（列）的元素成比例，則行列式的值等于零。由行列式定義可證得：性質(zhì)7：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則這個行列式等于兩個行列式之和。即 根據(jù)性質(zhì)4、6、7可證得：性質(zhì)8：若在行列式的某一行（列）元素上加上另一行（列）對應(yīng)元素的k倍，則行列式的值不變。即 在計算行列式時，為了便于檢查運算的正確性，一般注明每一步運算

8、的依據(jù)。為此我們約定采用如下的記號：用ri+krj表示在行列式的第i行元素上加上（減去）第j行對應(yīng)元素的k倍。用ci+kcj表示在行列式的第i列元素上加上（減去）第j列對應(yīng)元素的k倍。（三） 例1計算 解：例2 計算 解：這個行列式的特點是各列4個數(shù)之和都是7，所以有 例3 計算行列式 解：根據(jù)行列式的性質(zhì)有例4 計算行列式 解：例5 解下列方程（1）；（2）解：（1）這是一個用n階行列式表示的方程，在這個方程中，未知量x的最高次是n，所以方程有n個根。解這類方程的基本思路是先用行列式的性質(zhì)將其化簡，寫出未知中量x的多項式，然后再求出它的根。這個方程左端是一個n階字母行列式設(shè)為Dn，計算時需要

9、一些技巧。先化簡行列式。于是原方程式為 x+（n1）b（xb）n-1=0解得原方程的解為 x1=（1n）b，x2=x3=xn=b 。（2） 因為 于是原方程式為 5（x4）（x+5）=0，解得x1=4，x2=-5。練習(xí)用行列式的性質(zhì)證明：（1） （2） 3. 小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了n級排列、逆序逆序數(shù)奇排列偶排列n 階行列式定義及行列式的計算，n階行列式的基本性質(zhì)，應(yīng)掌握利用行列式的性質(zhì)計算行列式的方法§1.3 n階行列式的按行(列)展開教學(xué)目的：使學(xué)生了解和掌握n階行列式的按行(列)展開 教學(xué)重點：n階行列式的按行(列)展開教學(xué)難點：n階行列式的按行(列)展開一、 導(dǎo)入二、 新授（一）造

10、零降階法1. 定義：在n階行列式 中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后所留下的n-1 階行列式稱作元素aij的余子式，記作Mij，并記 Aij =（-1）i+j MijAij稱作元素aij的代數(shù)余子式。2. 例1 在四階行列式 中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為 A23 = （1）2+3M23 =M23 在三階行列式 中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為 A31=（1）3+1M31=3（二）. 定理1：一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都為零，則這個行列式等于元素aij與它的代數(shù)余子式Aij的乘積，即 D=aij Aij證明：分兩種情形來證。首先證明位于第1行第1列的情形，此時行

11、列式為 由行列式定義，并注意到第可1行中除第1列外其余列元素全為零。可將Dn表示為 而按行列式定義 又有 于是 Dn = a11 M11 又 A11 = （1）1+1M11 = M11從而 Dn = a11 A11 再證一般情形。此時行列式可設(shè)為把Dn行列作如下的調(diào)換：把Dn的第i行依次與第i-1行、第i-2行、第1行對調(diào)，這樣aij就調(diào)到原來a1j的位置上，調(diào)換的次數(shù)為i-1。再把第j列依次與第j-1列、第j-2列、第1列對調(diào)，這樣元素就調(diào)到左上角a11位置，調(diào)換次數(shù)為j-1。最終經(jīng)過i+j-2次調(diào)換，把元素調(diào)到a11位置，而所得的行列式應(yīng)為 D1=（1）i+j-2D= （-1）i+jD由于

12、aij位于D1的左上角，利用前面的結(jié)果，有 D1 =aijMij于是Dn = （-1）i+jD1 =（-1）i+jaijMij = aij Aij 。 例2 計算行列式 解：利用定理1，先對第三行進行造零，則有 例3 計算行列式 解：這個行列式從第二行開始，每一行元素之和都等于零，故此將第2、3、4、5列分別加到第1列上得例4 計算行列式 解：本行列式具有每一行（列）元素之各都相同，因此把第2、3、n-1列都加到第一列上，可得到例5 證明范德蒙（vandermonde）行列式： 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=2時，有命題成立。假設(shè)命題對n-1階范德蒙行列式成立。下面證明命題對n-1階范德蒙行列

13、式也成立。 由命題假設(shè) 代入上式，得 .（三）行列式按某一行（列）展開定理定理2：n階行列式Dn的值等于它任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 （i=1，2，n）或者 （j=1，2，n）證明：類似地，可證明 Dn=a1j A1j + a2j A2j +anj Anj （j=1，2，n） 定理2叫做行列式按行（列）展開法則。利用這一法則并結(jié)合行列式性質(zhì)，可以化簡行列式的計算。例6 計算行列式 解：根據(jù)行列式的特點，對第一列用定理2的方法展開可得推論：n階行列式Dn的任一行（列）元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即 ai1Aj1 +ai2Aj2 +ainAjn

14、 =0 （ij） a1iA1j +a2iA2j +aniAnj =0 （ij）綜合定理1和推論可得出如下表達式：或 §1.4克拉默法則教學(xué)目的：克拉默法則及其應(yīng)用、n元齊次線性方程組教學(xué)重點：克拉默法則及其應(yīng)用教學(xué)難點：克拉默法則的證明一、導(dǎo)入二、新授（一）定理1.4(克萊姆法則)：如果線性方程組 （1.6）的系數(shù)行列式不等于零，即則方程組（1.6）有唯一解 ， (1.7) 其中Dj (j=1,2,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式,即證明：用系數(shù)行列式D中第j列元素的代數(shù)余子式A1j ,A2j ,Anj依次乘方程組(1.6)的n個方程,再

15、把它們相加,得根據(jù)定理3的推論可知,上式中xj 的系數(shù)等于D,而其余的系數(shù)均為零,等式右端即為Dj 。于是有 Dxj = Dj （j=1，2，n） (1.8)當(dāng)D0時，方程組（1.6）有唯一的一個解(1.7)。由于方程（1.8）與方程(1.6)是同解方程,故此,方程(1.6)的解一定是方程(1.8)的解。而方程（1.8）僅有一個解（1.7），故方程（1,6）如果有解只可能是解（1.7）。下面驗證解（1.7）是方程（1.6）的唯一解。取一個兩行相同的n+1階行列式 （i =1，2，n）它的值為0，把它按第一行展開，得0=biD ai1D1ainDn 由于D0，所以 （i=1，2，n） 。（二）

16、例1 解線性方程組解：利用克拉默法則求方程組的解。 所以方程組有唯一解；又 于是方程組的解是 。 例2 一個土建師，一個電氣師，一個機械師，組成一個技術(shù)服務(wù)隊，假設(shè)在一段時間內(nèi)，每人收入1元人民幣需要 其它兩人的服務(wù)費用和實際收入如表一，問這段時間內(nèi)，每人的總收入分別是多少？ 被服務(wù)者 服務(wù)者 土建師范 電氣師 機械師 實際收入土建師 0 0.2 0.3 500電氣師 0.1 0 0.4 700機械師 0.3 0.4 0 600 （表一）解：設(shè)土建師、電氣師、機械師的總收入分別是x1，x2，x3。根據(jù)題意，列出下列方程組： 即 , , .答：這段時間內(nèi)，土建師的總收入是1256.48元，電氣師的總收入是1448.13元,機械師的總收入是556.20元。（三）n元齊次線性方程組1. 在線性方程組（1.6）中,當(dāng)常數(shù)項b1,b2,bn全都為零時,即 (1.9) 稱為n元齊次線性方程組。零解：當(dāng)系數(shù)行列式D不等于零時， x1=0，x2=0，xn=0 。（或稱為平凡解）非零解：（或稱為非平凡解）2. 定理1.5：含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組(1.9)有非零解的充分且必要條件是：方程組的系數(shù)行列式D=0。證明：如果D0，則方程組(1.9)只有唯一解是零解，因而沒有非零解。反之，如果D=0則方程組(1.9)不是有唯一解，那么