1、第四章中值定理與導數的應用本章的內容是微分學的應用，我們將利用導數逐步深入地去揭示函數的一些基本屬性為了便于研究，需要先闡明微分學的幾個中值定理，它是用導數來研究函數本身性質的重要工具，也是解決實際問題的理論基礎§4.1微分中值定理定義設 f ( x) 在x0 的某一鄰域U ( x0 ) 內有定義，若對一切xU ( x0 ) 有f ( x)f ( x0 )( f (x)f ( x0 ) ),則稱f ( x) 在x0 取得極小( 大) 值，稱x0 是f (x) 的極小 ( 大 ) 值點，極小值和極大值統稱為極值，極小值點和極大值點統稱為極值點定理 4.1.1 （費馬定理）若 f (x)

2、 在 x0 可導，且在 x0 取得極值，則 f ( x0 ) 0 證設 f ( x) 在 x0 取得極大值，則存在 x0 的某鄰域 U ( x0 ) ，使對一切 xU (x0 ) 有f (x)f ( x0 ) 因此當 x x0 時f ( x)f ( x0 )；x0x0而當 xx0 時f ( x)f (x0 )；x0x0由于 f ( x) 在 x0 可導，故按極限的不等式性質可得f ( x0 ) f ( x0 ) limf ( x)f (x0 )x0x x0x0及f ( x0 ) f ( x0 ) limf ( x)f ( x0 )，x0x x0x0所以 f ( x0 )0 若 f ( x) 在

3、 x0 取得極小值，則類似可證f (x0 )0 yox0xxx圖41費馬定理的幾何意義如圖4-1 所示：若曲線yf (x) 在 x0 取得極大值或極小值，且曲線在 x0 有切線，則此切線必平行于x 軸習慣上我們稱使得 f (x)0 的 x 為 f (x) 的駐點定理 4.1.1表明：可導函數 f ( x)在 x0 取得極值的必要條件是x0 為 f ( x) 的駐點定理 4.1.2 （羅 爾中 值定 理） 若 f ( x) 在 a,b 上連續，在 ( a,b) 內 可導 且f ( a)f (b) ，則在 ( a, b) 內至少存在一點，使得 f ( ) 0 證因為 f ( x) 在 a,b 上連

4、續，故在a,b 上必取得最大值M 與最小值 m 若m M ，則 f( x) 在 a,b 上恒為常數，從而 f ( x) 0 這時在 (a,b) 內任取一點作為，都有 f ( ) 0；若 mM ，則由 f (a) f (b) 可知，點 m 和 M 兩者之中至少有一個是f ( x) 在 (a, b) 內部 一點取得的 由于 f ( x) 在 (a,b) 內可導，故由費馬定理推知f ( ) 0 yoabx圖 42羅爾中值定理的幾何意義如圖4-2 所示：在兩端高度相同的一段連續曲線上，若除端點外它在每一點都有不垂直于x 軸的切線，則在其中必至少有一條切線平行于x軸例 1不用求出函數f (x)(x1)(

5、x2)( x3)( x4) 的導數，說明f (x)0 有幾個實根，并指出它們所在的位置解由于 f ( x) 是 (,) 內的可導函數，且 f (1) f (2) f (3) f (4)0 ，故 f ( x)在 區 間 1,2, 2,3, 3,4上分別滿足羅爾中值定理的條件，從而推出至少存在1 (1,2),2 (2,3),3(3,4) ，使得 f (i ) 0(i1,2,3) 又因為 f ( x) 0是三次代數方程，它最多只有3 個實根，因此 f ( x)0 有且僅有 3個實根，它們分別位于區間(1,2), (2,3), (3,4) 內例 2設 a0a1.an0，證明多項式 f ( x) a0

6、a1 x .an x n 在 (0,1)2n1內至少有一個零點證令 F ( x) a0 xa1x2.anx n 1 , 則 F ( x) f (x) ， F (0) 0 ，且由假設知2n 1F (1) 0 ，可見 F ( x) 在區間 0,1 上滿足羅爾中值定理的條件，從而推出至少存在一點(0,1) ，使得F ( )f ()0 即說明(0,1)是 f ( x) 的一個零點定理 4.1.3（拉格朗日中值定理）若 f (x) 在 a, b 上連續，在 (a,b) 內可導，則在(a,b) 內至少存在一點，使得f()f (b)f ( a) (1.1)ba從這個定理的條件與結論可見，若f (x) 在 a

7、, b 上滿足拉格朗日中值定理的條件，則當 f ( a)f (b) 時，即得出羅爾中值定理的結論，因此說羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形正是基于這個原因，我們想到要利用羅爾中值定理來證明定理證 作輔助函數F ( x) f ( x)f (b)f (a) x ，bayBCyf ( x)Aoyf (b)f (a) xababx圖 4-3容易驗證 F ( x) 在 a, b 上滿足羅爾中值定理的條件，從而推出在( a, b) 內至少存在一點，使得 F ( )0 ，所以 (4.1) 式成立拉格朗日中值定理的幾何意義如圖4-3 所示：若曲線 yf (x)在 (a,b) 內每一點都有不垂直于 x

8、 軸的切線，則在曲線上至少存在一點C ( , f ( ) ，使得曲線在 C 的切線平行于過曲線兩端點 A ， B 的弦這里輔助函數 F ( x) 表示曲線 yf ( x) 的縱坐標與直線yf (b)f ( a) x 的縱坐標之差，而這直線通過原點且于曲線過A ，B 兩端點的弦平行，ba因此 F ( x) 滿足羅爾中值定理的條件公式 (1.1) 也稱為拉格朗日公式在使用上常把它寫成如下形式f (b)f (a) f( )(ba) (1.2)它對于 b a 也成立并且在定理4.1.3 的條件下 ,(1.2)中的 a, b 可以用任意x1 , x2(a,b) 來代替，即有f (x1 )f (x2 )f

9、 ( )( x1 x2 ) ，(1.3)其中介于 x1 與 x2 之間在公式 (1.3)中若取 x1xx, x2x ，則得f ( xx)f (x)f ( ) x ，或f (xx) f ( x)f ( xx) x (01) ，它表示 f(xx) x 在 x 為有限時就是增量y 的準確表達式因此拉格朗日公式也稱有限增量公式例 3證明：若 f ( x) 在區間 I 內可導，且 f( x)0 ，則 f ( x) 在 I 內是一個常數證在區間 I 內任取一點 x0，對任意 xI , xx0 ，在以 x0與 x 為端點的區間上應用拉格朗日中值定理，得到f ( x)f ( x0 )f( )( x x0 )

10、其中 介于 x0 與 x 之間由假設知 f ( )0 ，故得 f ( x)f (x0 )0 ，即 f (x) f ( x0 ) 這就說明 f ( x) 在區間 I 內恒為常數 f ( x0 ) 例 4證明：若 f (x) 在 a,b 上連續，在 (a,b) 內可導，且 f( x) 0 ，則 f ( x) 在 a,b上嚴格單增證任取x1,x2,，且x1x2，對f ( x)在區間 x1 , x2 上應用拉格朗日中值定a b理，得到f (x2 )f ( x1 )f ( )( x2 x1 ) , x1x2 由假設知 f ()0 ，且 x2 x10，故從上式推出 f (x2 )f ( x1 )0 ，即

11、f (x2 ) f (x1 ) 所以 f ( x) 在 a, b 上嚴格單增類似可證：若 f ( x)0 ，則 f ( x) 在 a, b 上嚴格單減o例 5（導數極限定理）設 f ( x) 在 x0連續，在 U ( x0 ) 內可導，且 lim f ( x) 存在，則x x0f ( x) 在 x0可導，且 f (x0 )lim f(x) x x0o證任取 x U ( x0 ) ，對 f ( x) 在以 x0與 x 為端點的區間上應用拉格朗日中值定理，得到f ( x)f ( x0 )f ( ) ，xx0其中在 x0 與 x 之間，上式中令 xx0 ，則x0 由于 limf (x) 存在，取極限

12、便得x x0l i mf ( x)f ( x0 )l i mf ( x) xl i mf ( )x x0x0x x0x0所以 f ( x) 在 x0可導，且 f ( x0 ) lim f ( x) x x0例6證明不等式xln(1x)x1x對一切 x0成立證令 f ( x)ln(1x) ，對任意 x0 ， f ( x) 在 0, x 上滿足拉格朗日中值定理的條件，從而推出至少存在一點(0, x) ，使得f (x)f (0)f( ) x 由于 f (0)0 ， f ()1，上式即1ln1 ( x)1x又由 0x ，可得xxx 1x1因此當 x0時就有xl n1 ( x)x1x對于由參數方程xx(

13、t)(t)yy(t)所表示的曲線，它的兩端點連線的斜率為y()y() x()x( )若拉格朗日中值定理也適合這種情形，則應有dyty ()y()y() dxx ()x()x()與這個幾何闡述密切相聯的是柯西中值定理，它是拉格朗日定理的推廣定理 4.1.4（柯西中值定理）若 f (x) 與 g (x) 在 a, b 上連續，在 ( a, b) 內可導且g (x) 0 ，則在 (a,b) 內至少存在一點，使得f (b)f ( a)f ( ) (1.4)g(b)g(a)g ( )證，首先由羅爾定理可知g(b)g( a)0 ，因為如果不然，則存在(a,b) ，使 g ( ) 0 ，這與假設條件相矛盾作

14、輔助函數F ( x)f ( x)f (b)f (a) g( x) g(b)g( a)容易驗證 F (x) 在 a, b 上滿足羅爾定理的條件，從而推出至少存在一點(a,b) ，使得F( ) 0，即f ( )f (b)f (a) g ( ) 0 g(b)g (a)由于 g ( )0 ，所以 (1.4)式成立例7設 f (x) 與 g (x) 都是可導函數當 x a 時， f ( x) g (x) 試證當 xa 時，不等式f ( x)f (a)g( x)g (a)成立證因為當 x a 時， g (x)f ( x) 0 即 g (x)0 時，所以 g( x) 在 (a,) 內嚴格單增 (參見例 4)

15、故當 x a 時有 g (x)g(a) ，即 g(x)g(a)0對 f ( x) 和 g ( x) 在 a, x 上應用柯西中值定理，得到f ( x)f (a)f ( ) ,ax g( x) g(a)g ( )由此推出f (x)f ( a)f ( x)f (a)f ( )f( )g (x)g (a)g( x)g( a)g ( )1 g ( )因此當 xa 時有f ( x)f (a)g( x)g (a) §4.2洛必達法則柯西中值定理為我們提供了一種求函數極限的方法設 f ( x0 )g(x0 )0 ， f (x) 與 g( x) 在 x0 的某鄰域內滿足柯西中值定理的條件，從而有f

16、( x)f ()，g ( x) g ()其中 介于 x0 與 x 之間當 xx0 時，x0 ，因此若極限lif ()A ，m)x0g (則必有lif ( x)A，mxx0 g( x)這里 f ( x) 是 xx0 時兩個無窮小量之比，通常稱之為0型未定式一般說來，這種未g( x)0定式的確定往往是比較困難的，但如果limf ( x) 存在而且容易求出，困難便迎刃而x x0g ( x)解對于型未定式，即兩個無窮大量之比，也可以采用類似的方法確定我們把這種確定未定式的方法稱為洛必達法則定理 4.2.1 (洛必達法則 I )若(1)limf ( x)0， limg( x)0 ；x x0xx0(2)f

17、 ( x) 與 g( x) 在 x0的某去心鄰域內可導，且 g ( x)0 ；(3)limf ( x) 存在，（或為），則x x0g (x)limf ( x)limf ( x) x x0 g( x)xx0 g (x)證令F (x)f ( x),xx0G(x)g( x), xx00,xx0 ,0,xx0 ,由假設 (1)， (2)可知 F ( x)與 G (x) 在 x0 的某鄰域 U ( x0 ) 內連續，在 U (x0 ) 內可導，且G (x)g ( x)0 任取 xU ( x0 ) ，則 F ( x) 與 G ( x) 在以 x0與 x 為端點的區間上滿足柯西中值定理的條件，從而有F (x

18、)F ( x0 )F ()f () G(x)G(x0 )G ()g ()其中在 x0 與 x 之間由于 F (x0 )G( x0 )0 ，且當 xx0 時 F ( x) f ( x),G( x)g(x) ，可得f ( x)f () g ( x)g ()上式中令 xx0 ，則x0 ，根據假設 (3) 就有limf ( x)limf ()limf ( x) x x0 g( x)x0 g ( )x x0 g ( x)對于型未定式，也有類似于定理4.2.1 的法則，其證明省略定理 4.2.2 ( 洛必達法則 )若(1)limf ( x)， limg(x)；x x0xx0(2)f ( x) 與 g( x

19、) 在 x0的某去心鄰域內可導，且 g ( x)0 ；(3)limf ( x) 存在，（或為），則x x0g ( x)lim f ( x)lim f(x) xx0 g (x)xx0 g ( x)在定理 4.2.1 和 4.2.2 中，若把 xx0 換成 x x0， xx0 ， x， x或x 時，只需對兩定理中的假設 (2)作相應的修改，結論仍然成立例 1 求下列極限：(1)limxsin x;(2)limcosxx3;x 0xx222arctanxxxx(3)lim1;(4)limxx 1 1 xln xx解由洛比達法則可得(1)limxsin xlim 1cosxlim sin x1x 0x

20、3x 03x2x 0 6x6(2)limcosxsin xlim11xxx2221arctanxx2(3)lim2lim1x211limx2xx1x1xx 2xxx1x(ln x1)x x (ln x1) 2x x 1(4)limlimxlimx2x 1 1 x ln x x 111x 11xx2例2求下列極限：(1)lim(ln x)m( m 為正整數 )；x x(2)limxm( m 為正整數 )；exx(3)limln tan5x ；x 0ln tan 3x(4)limex2xarctan xexxx解(1)由于1limln xxlimm0，1lim11xx1xx m1 x mxmm所以

21、 lim(ln x) mlim( ln1x ) m0 xxxx m(2) 由于limxlim10 ，11xxx1 emxemm所以xmlim ( x1)mlimx0 xexemxln tan 5x5sec2 5x5 tan 3x1tan 2 5xlimtan5xlim(3) lim23 tan 5xlim21x 0 ln tan 3xx03sec 3xx 0x 0 1tan3xtan3x(4) 由于exex2 arctanx2x2xarctan x1 x2limxlimxxexxe2x1 2e x a r c t xa n2 e xlim1x，x1 e1x且ex)ex2a r c t xa n

22、 2(22x arctan xlimx1，limexxexxxx所以ex2x arctan xlimx1xex對于其它類型的未定式，如0 , 0 ,00,1 等類型，我們可以通過恒等變形或簡單變換將它們轉化為0 或 型，再應用洛比達法則0例3求下列極限：(1)limx ln x;(2)lim (sec x tan x);x 0x21(3)lim(1 x) x ;(4)lim x x ;xx 01(5)lim (cos x) x2x0ln x1解(1)limx ln xlimxlim ( )0 lim1xx 0x 01x 0x 0xx2(2)lim (secxtan x)1sin xlimcos

23、xlimcosx0xxxsin x222(3) 由于1ln( x 1)1lim 1 xlim ln(1 x) xlim0 ，xxxx1所以11lim (1 x) xlim eln(1 x ) xe01xx(4) 由(1)得lim ln xxlim x ln x0 ，x0x0所以lim x xlim eln xxe01 x 0x 0(5) 由于1lim ln(cos x)t a nx1 ，lim ln(cos x) x2limx 0x 0x 2x 02x2所以1lim (cos x) x2lim eln(cos x)x 0x 01x21e 2 我們已經看到，洛比達法則是確定未定式的一種重要且簡便

24、的方法使用洛比達法則時我們應注意檢驗定理中的條件，然后一般要整理化簡；如仍屬未定式，可以繼續使用使用中應注意結合運用其他求極限的方法，如等價無窮小替換，作恒等變形或適當的變量代換等，以簡化運算過程此外，還應注意到洛比達法則的條件是充分的，并非必要如果所求極限不滿足其條件時，則應考慮改用其它求極限的方法例4極限 lim xsin x 存在嗎 ?能否用洛比達法則求其極限 ?x x sin xxsin x11 s i nx解limlimx1，即極限存在但不能用洛比達法則求出其極xxsin xx11s i nxx限因為 limxsin x 盡管是型，可是若對分子分母分別求導后得1cos x ，由于xx

25、sin x1cos xlim 1cos x 不存在，故不能使用洛比達法則x 1 cos x§4.3泰勒公式對于一些復雜函數，為了便于研究，我們往往希望用一些簡單函數來近似表示，而多項式是各類函數中最簡單的一種因此用多項式近似表達函數是近似計算和理論分析中的一個重要內容先討論函數f ( x) 本身就是一個多項式的情形設f ( x) a0a ( x x0) a ( x x ) 2a (x x0)n120n逐次求導得f ( x)a12a2 (xx0 )nan( xx0 ) n1 ，f (x)2! a13! a3 ( xx0 )n( n1)an( xx0 )n2 ，f n (x)n! an

26、由此推出f ( x0 )a0 , f (x0 )a1, f (x0 )2!a2 , f (n ) ( x0 )n! an ，或a0 f ( x0 ), a1 f (x0 ), a2f (x0 ) , anf ( n) ( x0 ) 2!n!于是有f ( x) f ( x0 )f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) ( xx0 ) 2f ( n ) ( x0 )( x x0 ) n 2!n!對于任意一個函數f ( x) 來說，如果它存在直到n 階的導數，則按照它的導數總可以寫出相應于上式右邊的形式，它與函數f ( x) 之間有什么關系呢？定理泰勒定理 )若 f ( x) 在含有 x0

27、的某開區間 ( a, b) 內具有直到 n1階的導數，則對任意 x( a,b) ，至少存在一點介于 x0 與 x 之間，使得f ( x) f ( x0 ) f (x0 )( xx0 )f (x0 ) ( xx0 ) 22!f ( n ) ( x0 )nf(n 1) ( )(xx0 )n 1(3.1)( x x0 )(n1)!n!證取定 x(a,b) ，作輔助函數F (t)f (x) f (t ) f (t )( x t )f(t) (xt) 2.f ( n ) (t) (xt ) n 2!n!及G(t )( xt) n 1 由假設知 F (t ) 在 (a,b) 內可導，且Ff ( n 1)

28、(t )n(t )( xt)n!又 G (t)(n 1)( xt ) n ，當 tx 時 G (t )0 于是對任意 x(a,b) ，若 xx0 ，則取x0 ，（ 3.1）式成立若 xx0 ，則對函數 F (t ) 及 G (t ) 在以 x0 與 x 為端點的區間上應用柯西中值定理可得F ( x) F (x0 )F ( )f (n 1) ( )，(3.2)G( x) G( x0 )G (x)( n1)!其中介于 x0 與 x 之間由于F ( x) G ( x) 0 ，F (x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) ( xx0 ) 2f n

29、(x0 ) ( xx0 ) n ，2!n!G( x0 ) ( x x0 ) n 1 ，把它們代入 (3.2)整理后即得 (3.1)式(3.1)式稱為 f (x) 的泰勒公式，其中f (n1)( )x0 )n1稱為拉格朗日型余Rn ( x)(x(n1)!項當 n0時泰勒公式就成為拉格朗日公式因此也可以說泰勒定理是含有高階導數的中值定理我們還可以應用洛比達法則來證明比定理對 f ( x) 的要求稍弱一些的泰勒公式定理 4.3.2若 f( x) 在 x0的某鄰域 U ( x0 ) 內具有 n 1階導數，且 f ( n) ( x0 ) 存在，則f (x)f ( x0 )f ( x0 )( x x0 )

30、f ( x0 ) (xx0 ) 22!f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) no( x x0 ) n ) ，(3.3)n!其中 xU ( x0 ) 證令F ( x)f ( x ) f ( x0 )f ( x0 )( x x0 )f ( n) (x0 ) ( xx0 )n ,n!G( x )(x x0 )n 當 xU (x0 ) 時應用洛比達法則 n1次，并注意到 f ( n) (x0 ) 存在，可得limF ( x)lim F(n1)( x)( n1)xx0 G( x)所以當 xU (x0 ) 時xx0G(x)limf (n1) ( x)f ( n 1) ( x0 )f (n) (x0 )( xx0 )n!( x x0 )xx01f (n 1) ( x)f ( n 1) (x0 )f( n)(x0 )0 n!lim xx0xx0F (x)o(G(x) ( xx0 ) ，從而公式 (3.3)成立公式 (3.3)中泰勒公式余項Rn (x)o( xx0 )n ) 稱為皮亞諾型余項泰勒公式 (3.1)或(3.3)在 x00 時稱為麥克勞林公式，即f ( x) f (0) f (0) xf (0)x 2f ( n ) (0)xnRn ( x)(3.4)2!n!其中 Rn (x)f ( n 1) (x) x