1、網絡課程 內部講義解三角形教 師：司馬紅麗愛護環境，從我做起，提倡使用“名師” 資料室資料任你二、正弦定理、余弦定理【知識要點歸納】2.1 解三角形【經典例題】例 1 解下列三角形（1）已知在 ABC中，c = 10, A = 45°, C = 30°, 求a, b和B（2）在 ABC中，b = 3, B = 60°, c = 1, 求a和A, C（3） ABC中，c = 6, A = 45°, a = 2, 求b和B, C例 2 解下列三角形（1） ABC中，a = 2 3, c = 6 + 2,B = 45°, 求b和A 第 1 頁 址：（

2、9：0021：00 everyday）所有 北京天地精華教育科技公式公式變形功能正弦定理余弦定理三角形內角和定理銳角三角函數“名師” 答疑室 隨時隨地提問互動（2）（2009 年文）已知 ABC 中， ÐA, ÐB, ÐC 的對邊分別為 a, b, c 若 a = c =6 +2 且ÐA = 75D ，則b = （）D 6 -2B4 2 3C4 2 3A2例 3:（2009 遼寧卷文理）如圖，A，B，C，D 都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面 A 處測得 B 點和 D 點的仰角分別為75° ， 30&

3、#176; ，于水面 C 處測得 B 點和 D 點的仰角均為60° ，AC0.1km.試探究圖中 B，D 間距離與另外哪兩點距離相等，然后求 B，D的距離（計算結果精確到 0.01km， 2 » 1.414， 6 » 2.449）例 4:（2009海南卷理）為了測量兩山頂 M，N 間的距離，飛機沿水平方向在 A，B 兩點進量，A，B，M，N 在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有俯角和 A，B 間的距離，請設計一個方案，包括：指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出）；用文字和公式寫出計算 M，N 間的距離的步驟.注：上課時將 B 點對 N 點的

4、俯角標志錯了，正確的圖形應該如下圖所示： 第 2 頁 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精華教育科技“名師” 資料室資料任你例 5:如圖，某市擬在長為 8km 的道路 OP 的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段 OSM，該曲線段為函數 y=Asin w x（A> 0， w > 0） xÎ0，4的圖象，且圖象的最高點為 S（3，23 ）；賽道的后一部分為折線段 MNP，為保證參賽運動員的安全，限定Ð MNP=120 o（I） 求 A ， w 的值和 M，P 兩點間的距離；（II） 應如何設計，才能使折線段賽道 MNP 最長？x2y

5、2例 6: （2009 北京文數）橢圓+= 1的焦點為 F1, F2 ，點 P 在橢圓上，若| PF1 |= 4 ，則92| PF2 |=； ÐF1PF2 的大小為. 第 3 頁 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精華教育科技“名師” 答疑室 隨時隨地提問互動1 + sin 2B例 7：在 ABC 中，A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，若 b2=ac，求 y =的取值范圍.sin B + cos B2.2 三角形中的邊角互化例 1：在 ABC 中，內角 A、B、C 的對邊長分別為 a 、b 、c ，已知 a2 - c2 = 2b ，且sin A cos

6、C = 3cos Asin C, 求 b例 2：設ABC 的內角 A、B、C 的對邊長分別為 a、b、c， cos( A - C) + cos B = 3 ， b2 = ac ，求2B.sin A + sin B例 3： ABC 中， A, B, C 所對的邊分別為 a,b, c ， tan C =， sin(B - A) = cos C .cos A + cos B（1） 求 A, C ；（2）若 SDABC = 3 + 3 ，求 a, c .例 4：根據已知條件，（1）bcosAacosB下列三角形的形狀 第 4 頁 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精華教育科技“

7、名師” 資料室資料任你（2）sinB·sinCcos2 A2（3）（a+b+c）（a+bc）=3ab，且 2cosAsinB=sinC【課堂練習】1. 在ABC 中，若 a2b2+c2，則ABC 為；若 a2=b2+c2，則ABC 為；若a2b2+c2 且 b2a2+c2 且 c2a2+b2，則ABC 為 2. 在ABC 中，sinA=2cosBsinC，則三角形為 3.如右圖，ABC 三個頂點坐標為（6，5）、（2，8）、（4，1），求 cosA4.在ABC 中，證明下列各式：（1）（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB0cos 2 Acos 2B11-=-.（2）a 2

8、b2a 2b25. 在ABC 中，BC=a， AC=b，a，b 是方程 x 2 - 2 3x + 2 = 0 的兩個根，且 2cos（A+B）=1求：（1）角 C 的度數 （2）AB 的長度（3）ABC 的面積6.（2010 遼寧文數）在 ABC 中， a、b、c 分別為內角 A、B、C 的對邊，且2a sin A = (2b + c) sin B + (2c + b) sin C（）求 A 的大小；（）若sin B + sin C = 1 ，是 ABC 的形狀.7.（2010 浙江文數）在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，設 S 為ABC 的面積，滿3足 S（a2b2

9、c2）.4（）求角 C 的大小;（）求 sinAsinB 的最大值. 第 5 頁 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精華教育科技“名師” 答疑室隨時隨地提問互動8.（2010文數）在ABC 中， AC = cos B .ABcos C（）證明 B=C：（）若cos A = 1 ，求 sin æ 4B + p ö 的值.ç3 ÷3èø：1、鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形2、等腰三角形3、解法一： |AB| 6 - (-2)2 + (5 - 8)2 =73|BC| (-2 - 4)2 + (8 - 1)2 =8

10、5|AC| (6 - 4)2 + (5 - 1)2 = 2522cos A =365 A84°解法二： AB （8，3）， AC （2，4）AB · AC(-8) ´ (-2) + 3 ´ (-4)2= cosA=， A84°73 ´ 2 53654、證明：（1）左邊（a2b2c2） sin A + (a 2 - b 2 + c 2 ) sin Bcos Acos B2aca2bcb= (a 2 - b2 - c 2 ) ××+ (a 2 - b2 + c 2 ) ××+ c 2 - a 22R

11、 a 2 + c 2 - b22Rb22abc é- (b + c 2 - a 2 ) + a 2 + c 2 - b2 ù2=êú+ c 2 - a 2+ c - b2Rb2a 222ëû= abc (-1 + 1) = 0 = 右邊R故原命題得證 第 6 頁 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精華教育科技AB×ACAB2 +AC2 -BC2AB×AC“名師” 資料室資料任你1 - 2 sin 2 A1 - 2 sin 2 B(2)左邊 =-a 2b2112 sin 2 A2 sin 2

12、B= (-) -a 2b2+(2R)2 sin 2 A(2R)2 sin 2 B112211=-+=-= 右邊a 2b 2故原命題得證(2R)2(2R)2a 2b 2125、解：（1）cosC=cosp-（A+B）=-cos（A+B）=-C=120°ìa + b = 2 3（2）由題設： íîa - b = 2AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC = a 2 + b 2 - 2ab cos120D= a 2 + b2 + ab = (a + b)2 - ab = (2 3)2 - 2 = 1010即 AB=111（3）S=ab sin C =ab

13、sin120D =× 2 ×3232=ABC2226、133 .因為 0<C< ，所以 C=.37、解：（）由題意可知 absinC=，2abcosC.所以 tanC=24 第 7 頁 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精華教育科技“名師” 答疑室 隨時隨地提問互動2（）解：由已知 sinA+sinB=sinA+sin（ -C-A）=sinA+sin（-A）331=sinA+A+sinA= 3 sin（A+） 3 .226當ABC 為正三角形時取等號，所以 sinA+sinB 的最大值是 3 .sin Bcos B8、證明：（）在ABC 中，由正弦定理及已知得=.于是 sinBcosCcosBsinC=0，即 sinsin Ccos C（BC）=0.因為-p < B - C < p ，從而 BC=0.所以 B=C.1解：（）由 A+B+C= p 和（）得 A= p 2B，故 cos2B=c