1、(2) y loga(4-x)(a0且 a 1).(1) x|x 0 ； (2) x| x 4.由對數函數的定義知：x2 0 , 4 x 0,解出不等式就可求出定義域x2 0,即x 0,所以函數y loga x2的定義域為x|x 0；4 x 0，即x 4，所以函數y loga(4-x)的定義域為x|x 4.應首先保證f(x) 0 .舉一反三：【變式1】求以下函數的定義域.3廠(1) y=lo叮x1)(2) yln (ax11,k R).【答案】(1) (1 ,1)3(,2) ; ( 2)略2【解析】(1)因為log 1 (x 1)2log-1 (x 1)23所以函數的定義域為(1, 3)2所以

2、(2)因為ax kg2x(-,2).2xa所以2k 0時，定義域為 k 當 當(i)假設a 2，那么函數定義域為0時,+O )；(ii)假設 0a 2，且 a 1,(log a k ,2那么函數定義域為(-OO(iii)假設 a2，那么當0 kloga k)；21時，函數定義域為 R ；當k 1時,此時不能構成函數，否那么定義域為【變式2】【答案】函數y f(2x)的定義域為卜1 , 2，求y f (logzx)的定義域.2 , 16.【答案】由1 12，可得y f (x)的定義域為? , 4，再由 log2 x 4得y f (log2 x)的定對數函數及其性質編稿：丁會敏 審稿：王靜偉【典型

3、例題】類型一、函數的定義域求含有對數函數的復合函數的定義域、值域，其方法與一般函數的定義域、值域的求法類似，但要注意 對數函數本身的性質(如定義域、值域及單調性)在解題中的重要作用例1.求以下函數的定義域：(1) y log a x2 ；【答案】【解析】(1) 因為(2) 因為【總結升華】與對數函數有關的復合函數的定義域：求定義域時，要考慮到真數大于0,底數大于0,且不等于1 假設底數和真數中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都 有意義一般地，判斷類似于y loga f (x)的定義域時，義域為.2 , 16.類型二、對數函數的單調性及其應用利用函數的單調性可以

4、：比擬大小；解不等式；判斷單調性；求單調區間；求值域和最值 要求同學們：一是牢固掌握對數函數的單調性；二是理解和掌握復合函數的單調性規律；三是樹立定義域 優先的觀念.例2.比擬以下各組數中的兩個值大小：(1) log3 3.6,log3 8.9 ； logo.2l.9,log 0.2 3.5 ； log 2 5 與 log7 5 ； log3 5 與 log 6 4 .(5) loga4.2,log a 4.8 ( a 0且a 1).【思路點撥】禾U用函數的單調性比擬函數值大小。【答案】(1)； (2) ； (4) ； (5)略.【解析】由數形結合的方法或利用函數的單調性來完成(1)解法1：畫

5、出對數函數 y log3x的圖象，橫坐標為 3.6的點在橫坐標為 8.9的點的下方，所以,log3 3.6 log3 8.9 ；解法2:由函數y(2) 與第小題類似，(3) 函數y log2 x和y log 7 x的圖象如下圖. 在y log7x的圖象上方，這里 Q log3 5 log 3 31log 3 5 log6 4(5)注：底數是常數，但要分類討論log3x在r+上是單調增函數，且 3.68.9，所以log33.6 y log 0.2 x在R上是單調減函數，且當x 1時，y loglog3 8.9 ；x 5,log 6 6log2 5 log 7 5 .log 6 4,1.93.5解

6、法1：當a 1時，y loga x在(0 ,a的范圍，再由函數單調性判斷大小.+8)上是增函數，且 5.15.9，所以，log a 4.2 loga4.8當 0 a 1 時，y=log ax 在(0 , +)上是減函數，且 4.24.8，所以，log a 4.2 loga 4.8 解法2：轉化為指數函數，再由指數函數的單調性判斷大小，令 b log a 4.2，那么 ab1 =4.2，令 b2loga 4.8，那么 a 4.8,當a 1時，y ax在R上是增函數，且 4.24.8 ,所以，b1b2,即即 loga4.2 loga4.8當時0 a 1 , y ax在R上是減函數，且 4.2b2,

7、即 loga 4.2log a4.8.【總結升華】比擬兩個對數值的大小的根本方法是：(1) 比擬同底的兩個對數值的大小，常利用對數函數的單調性.(2) 比擬同真數的兩個對數值的大小，常有兩種方法：先利用對數換底公式化為同底的對數，再利 用對數函數的單調性和倒數關系比擬大小；利用對數函數圖象的互相位置關系比擬大小.(3) 假設底數與真數都不同，那么通過一個恰當的中間量來比擬大小.【高清課堂：對數函數369070例3】、 1 1例 3比擬 logab,log ba,loga _,logb 1 其中 0a11 的大小. b a【答案】log a b logb alogb1 loga； a b1【解析

8、】由0a11，得a , bb11log a 匚loga a1, logblogbb 1balogb 1log a1ablog ba 1loga b1，即logb alogablog balogablogablogb a.1.1logb_ loga -ab【總結升華】假設底數與真數都不同，那么通過一個恰當的中間量來比擬大小，中間變量常常用“ 0和“1.用0和“ 1把所給的數先分兩組，然后組內再比擬大小.舉一反三：【變式1】a5log23.4,b5呱3.6 clog3 0.3: )I5,那么(A. a b cB. ba cC.ac bD. cab【答案】C【解析】另mlog 2 3.4 , nlo

9、g 4 3.6 ,llog103在同一坐標系下作出三個函數圖像，由圖像可 a c b應選C.【高清課堂：對數函數369070例2】【變式2】比擬a log3 ,b Iog2、3,c log. 2的大小.【答案】c b a【解析】Qlog3 ,2 Iog3 3 log. 3 1 Iog3 3 Iog3c b a例4求函數y log 1 ( x2 2x 1)的值域和單調區間.2【思路點撥】先解不等式X2 2x 1 0 ,保證原式有意義，然后再在定義域范圍內求內函數t x2 2x 1的單調區間，然后根據復合函數的單調性就是內函數與外函數的單調性“同增異減來求 解.【答案】-1 , +R );增區間為

10、1,12 ;減區間為1.2,1 .【解析】設tx2 2x 1，那么t (x 1)2 2. v y= log1 t為減函數，且0 t 2 ,二 y logi 21 ,即函數的值域為-1 , + g ).再由：函數logi( x2 2x 1)的定義域為2 2x2 2x 10，即 1.2 x 1.2.二t x2 2x 1在12,1上遞增而在 1,1,2上遞減，而y= log 1 t為減函數.2二函數y log1 ( x2 2x 1)的增區間為1,1、2，減區間為1 x 2,1 .2【總結升華】對數型復合函數一般可分為兩類：一類是對數函數為外函數，即y loga f (x)型；另一類是內函數為對數函數

11、，即y f (log a X)型.對于y loga f(x)型的函數的單調性，有以下結論：函數y loga f (x)的單調性與函數u f(x) f(x) 0的單調性，當a 1時相同，當0 a 1時相反.研究y f (log a x)型復合函數的單調性，一般用復合法來判定即可.復合函數的單調性就是內函數與 外函數的單調性“同增異減.研究對數型復合函數的單調性，一定要注意先研究函數的定義域，也就是要堅持“定義域優先的原那么.舉一反三：【變式1】求函數y log2 x24的值域和單調區間.【答案】2,；減區間為，0，增區間為 0,【解析】設t x224，那么 t x 44 ,y= log2t為增函

12、數,2log2t log2(x4) log 2 4 2y log2 x2 4的值域為2,.2再由：y log 2(x4)的定義域為R2t x 4 在 0,上是遞增而在,0上遞減，而y= log2t為增函數函數 y=log2(x24)的減區間為,0，增區間為 0,.【變式2】求函數ylog a (a ax)的單調區間【答案】減區間是：,1 和 1,【解析】假設a 1,那么y logat遞增,且tX_ ,a a遞減，而aax 0 ,即 ax a,x 1 ,y loga(a ax)在 ,1 上遞減.假設0 a 1，那么y logat遞減，且t a ax遞增，而a ax 0，即ax a, x 1, y

13、 loga(a a )在1,上遞減.綜上所述，函數y loga(a ax)的單調遞減區間是：，1和1,.類型三、函數的奇偶性例5.判斷以下函數的奇偶性.(1) f (x) ln ; (2) f (x) lgC 1 x2 -x).2 x【思路點撥】判斷函數奇偶性的步驟是：(1)先求函數的定義域，如果定義域關于原點對稱，貝U進行(2), 如果定義域不關于原點對稱，那么函數為非奇非偶函數。(2)求f( x)，如果f( X)f (x)，那么函數是偶函數，如果f( x)f (x)，那么函數是奇函數。【答案】(1 )奇函數；(2 )奇函數.【解析】首先要注意定義域的考查，然后嚴格按照證明奇偶性根本步驟進行

14、(1)由0可得-2 x 22 x所以函數的定義域為：(-2 , 2)關于原點對稱2x2 x 1又 f( x) lnln( )2x2 x2- x所以函數f(x)In是奇函數；2 x【總結升華】此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數解析式恒等變形需利用對數的運算性質判斷對數形式的復合函數的奇偶性，不能輕易直接下結論，而應注意對數式的恒等變形(2)【解析】由.1 x2 - x 0可得x R所以函數的定義域為 R關于原點對稱又 /、I / 彳 2、I(1X2X)(、1x2-x)又 f(-x)lg(、.1x x)lg 271 x2 x2 x -In2 xf (x),即仁 x) f(x)-lg(、1x2.

15、說明-x) -f(x)即f(-x)=-f(x) ；所以函數f (x) lgC.1 x2-x)是奇函數要求掌握.【總結升華】此題定義域確實定可能稍有困難，函數解析式的變形用到了分子有理化的技巧,類型四、反函數例6.求出以下函數的反函數 y logx ； (2)6x1 。e【答案】(1)y(2)y logxe【解析】(1 )對數函數log-x，它的底數為6x11-,所以它的反函數是指數函數y66(2)指數函數y的反函數是對數函數log-1 x.e【總結升華】特別是當反函數的定義域與由反函數解析式有意義所確定反函數的定義域都由原函數的值域來確定的， 的自變量的取值范圍不一致時，一定要注明反函數的定義

16、域.舉一反三：【高清課堂:對數函數369070 例 5】【變式1】假設函數yf (x)是函數y ax (a 0,且 a* 1)的反函數，且 f(2)1，貝U f(x)()(A) log 2 x1(B)歹(C) log 1 x2x 2(D)2【答案】A【解析】解法1: Q函數y f (x)是函數y ax (a 0 ,且1)的反函數f (x) loga x，又 f (2)1log a 21 a 2應選A.解法2： Q函數y f (x)是函數y ax (a 0 ,且a 1)的反函數，且f (2)1點(1, 2)在函數y ax的圖象上， a 2應選A.類型五、利用函數圖象解不等式X1例7 假設不等式2

17、 loga x 0，當x 0,1時恒成立，求實數 a的取值范圍.2【思路點撥】畫出函數 y的圖象與函數y logaX的圖象，然后借助圖象去求借。21 丁【答案】- a 12【答案】要使不等式2x1 1loga x 0在x 0,時恒成立，即函數y logax的圖在 0, 內恒在函2數y 2x圖象的上方，而loga x遞減又 loga 2 罷 loga a722 21 21 亍a -.所求的a的取值范圍為 a 1.2 2【總結升華】“數是數學的特征，它精確、量化，最有說服力；而“形那么形象、直觀，然這里Ov av 1，二函數2x圖象過點.由右圖可知,2能簡化思維過程，降低題目的難度，簡化解題過程，

18、把它們的優點集中在一起就是最正確組合本例中，利用圖形的形 象直觀快速地得到答案，簡化了解題過程正因為如此，數形結合成為中學數學的四個最根本的數學思想 方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運用它來分析和解決問題.在涉及方程與不等式的問題時，往往構造兩個函數 f (x)與g(x)，那么f (x) = g(x)的實數解等價于兩個函數y f (x)與y g(x)的圖象的交點的橫坐標；而 f(x) g(x)的的解等價于函數 y f(x)的圖象在y g(x)的圖象下方的點的橫坐標的取值范圍利用圖象的形象性、直觀性，可使問題得到順利地解決, 而且分散了問題解決的難度、簡化了思維過程因此，

19、我們要善于用數形結合的方法來解決方程與不等式 的問題.舉一反三：【變式1】當x( 1, 2)時，不等式(X 1)2 loga x恒成立，求a的取值范圍.【答案】1 v a 1時，如圖2-2-5所示，要使在(1,2) 上, f1(x)的圖象在f2(x) loga x的下方，只需 fi(2)f2(2),2即(2 1) log a 2 , log a 21，二 11; ( 2) 0 w a w 1. 【解析】(1) f (x)的定義域為R, 當a=0時，此不等式變為 2x+10,a 0當0時，有a1. a的取值范圍為a1.4 4a 0a=0或0 a 1,f(x)的值域為R,即u=ax2+2x+1能取

20、遍一切正數4 4a 0 a的取值范圍為0w a 1.例9函數f (x) lg ax bx (常數a 1 b 0).(1) 求y f (x)的定義域；(2) 在函數y f (x)的圖象上是否存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸；(3) 當a，b滿足什么關系時，f (x)在1, 上恒取正值.【思路點撥】此題為對數指數問題的綜合題，求定義域首先保證對數的真數為正，再利用指數運算性質求出定義域.(2)中證明是否存在要由單調性來確定，假設單調遞增或遞減，就不存在兩點兩線平行于x軸.【答案】(1)0,(2)不存在(3) a b 1【解析】(1 )由x abxx0，得 a1 ,b由a 1 ba0，得1，故x 0,即函數f (x)的定義域為b0,.(2)設X1x0,Q a 1 b 0,x aX2 abx2bx10,故 ax1 bx1 ax2 bx20,lg a51 bx1lg ax2 b