1、第三講整式1.1.了解了解: :代數式和整式的概念代數式和整式的概念. .2.2.理解理解: :單項式、多項式和同類項的概念單項式、多項式和同類項的概念. .3.3.掌握掌握: :合并同類項的法則、去括號的法則、冪的運算性質以合并同類項的法則、去括號的法則、冪的運算性質以及乘法公式及乘法公式. .4.4.會會: :整式的混合運算以及化簡求值整式的混合運算以及化簡求值. .5.5.能能: :根據實際問題列代數式根據實際問題列代數式. .一、代數式的初步知識一、代數式的初步知識1.1.代數式的分類代數式的分類: : 有理式有理式代數式代數式 無理式無理式單項式單項式_分式分式整式整式多項式多項式2

2、.2.單項式和多項式單項式和多項式: :(1)(1)只含有數或字母的只含有數或字母的_的代數式叫做單項式的代數式叫做單項式. .單獨的一個單獨的一個_是單項式是單項式. .一個單項式中一個單項式中, ,單項式的系數是指單項式的系數是指_,_,單項式的次數單項式的次數是指所有字母的是指所有字母的_._.(2)(2)幾個單項式的幾個單項式的_叫做多項式叫做多項式. .一個多項式中一個多項式中, ,多項式的次多項式的次數是指數是指_的次數的次數. .積積字母或數字母或數數字因數數字因數指數和指數和和和次數最高的項次數最高的項二、整式的加減運算二、整式的加減運算1.1.同類項同類項: :所含字母相同所

3、含字母相同, ,并且并且_也相同的項也相同的項. .2.2.合并同類項的法則合并同類項的法則: :把同類項的把同類項的_相加相加, ,字母和字母的字母和字母的_不變不變. .3.3.去括號的法則去括號的法則: :括號前面是括號前面是“+”,+”,把括號和它前面的把括號和它前面的“+”+”去掉去掉, ,原括號里各項的符號都原括號里各項的符號都_._.括號前面是括號前面是“-”,-”,把把括號和它前面的括號和它前面的“-”-”去掉去掉, ,原括號里各項的符號都要原括號里各項的符號都要_._.4.4.整式加減的步驟整式加減的步驟:(1)_.(2)_.:(1)_.(2)_.相同字母的指數相同字母的指數

4、指數指數不改變不改變改變改變去括號去括號合并同類項合并同類項系數系數三、整式的乘除運算三、整式的乘除運算1.1.冪的運算性質冪的運算性質: :(1)a(1)am maan n=_(m,n=_(m,n都是正整數都是正整數).).(2)a(2)am ma an n=_(a0,m,n=_(a0,m,n都是正整數都是正整數, ,且且mn),mn),特別規定特別規定:a:a0 0=_(a0),a=_(a0),a-p-p=_(a0,p=_(a0,p是正整數是正整數).).(3)(a(3)(am m) )n n=_(m,n=_(m,n都是正整數都是正整數).).(4)(ab)(4)(ab)n n=_(n=_

5、(n是正整數是正整數).).(5)( )(5)( )n n=_(b0,n=_(b0,n是正整數是正整數).).p1aa am+nm+nabnnaba am-nm-n1 1a amnmna an nb bn n2.2.乘法公式乘法公式: :(1)(1)平方差公式平方差公式(a+b)(a-b)=_.(a+b)(a-b)=_.(2)(2)完全平方公式完全平方公式(a(ab)b)2 2=_.=_.四、整式的混合運算四、整式的混合運算運算順序運算順序: :先先_,_,后后_,_,再再_,_,有括號的先算括號有括號的先算括號里面的里面的, ,同時應注意運算律的運用同時應注意運算律的運用. .a a2 2-

6、b-b2 2a a2 22ab+b2ab+b2 2乘方乘方乘除乘除加減加減1.1.在下列代數式在下列代數式: ab, ,ab: ab, ,ab2 2+b+1, ,x+b+1, ,x3 3+x+x2 2-3-3中中, ,多項式有多項式有( )( )A.2A.2個個B.3B.3個個C.4C.4個個D.5D.5個個2.2.下列計算正確的是下列計算正確的是( )( )A.2xA.2x3 33x3x4 4=5x=5x7 7 B.3x B.3x3 34x4x3 3=12x=12x3 3C.2aC.2a3 3+3a+3a3 3=5a=5a6 6 D.4a D.4a3 32a2a2 2=8a=8a5 512a

7、b25xB BD D3.3.下列多項式中是完全平方式的是下列多項式中是完全平方式的是( )( )A.2xA.2x2 2+4x-4+4x-4 B.16x B.16x2 2-8y-8y2 2+1+1C.9aC.9a2 2-12a+4-12a+4 D.x D.x2 2y y2 2+2xy+y+2xy+y2 24.4.單項式單項式 的系數與次數分別是的系數與次數分別是_，_._.5.5.多項式多項式x x3 3-x-x2 2y y2 2-2-25 5中最高次項是中最高次項是_,_,常數項是常數項是_._.6.6.化簡化簡(x+2)(x+2)2 2-(x+1)(x-1)-(x+1)(x-1)的結果為的結

8、果為_._.C C23x y2323 3-x-x2 2y y2 2-2-25 54x+54x+5熱點考向熱點考向 一一 整式的有關概念及加減運算整式的有關概念及加減運算【例【例1 1】(1)(2013(1)(2013涼山州中考涼山州中考) )如果單項式如果單項式-x-xa+1a+1y y3 3與與 y yb bx x2 2是同類項是同類項, ,那么那么a,ba,b的值分別為的值分別為( () )A.a=2,b=3A.a=2,b=3 B.a=1,b=2 B.a=1,b=2C.a=1,b=3C.a=1,b=3 D.a=2,b=2 D.a=2,b=2(2)(2012(2)(2012廣州中考廣州中考)

9、 )下面的計算正確的是下面的計算正確的是( () )A.6a-5a=1A.6a-5a=1 B.a+2a B.a+2a2 2=3a=3a3 3C.-(a-b)=-a+bC.-(a-b)=-a+b D.2(a+b)=2a+b D.2(a+b)=2a+b12【思路點撥】【思路點撥】(1)(1)本題考查了同類項的概念本題考查了同類項的概念, ,根據相同字母的根據相同字母的指數相同即可求出指數相同即可求出a,b.a,b.(2)(2)本題考查了合并同類項法則和去括號法則本題考查了合并同類項法則和去括號法則. .在計算時在計算時, ,先判先判斷是否是同類項斷是否是同類項, ,若是則系數相加若是則系數相加,

10、,字母及字母的指數不變字母及字母的指數不變. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選C.C.根據題意得根據題意得: :解得解得a=1,b=3.a=1,b=3.(2)(2)選選C.6a-5a=a;aC.6a-5a=a;a與與2a2a2 2不是同類項不能合并不是同類項不能合并;-(a-b)=;-(a-b)=-a+b;2(a+b)=2a+2b,-a+b;2(a+b)=2a+2b,只有選項只有選項C C正確正確. .a+1=2,a+1=2,b=3b=3，【名師助學】【名師助學】理解整式的有關概念時應注意的問題理解整式的有關概念時應注意的問題1.1.當單項式的前面有負號時找單項式的系數時要帶上它前面

11、當單項式的前面有負號時找單項式的系數時要帶上它前面的符號的符號; ;當單項式中含有當單項式中含有時時,是數字因數而不是字母是數字因數而不是字母. .2.2.同類項與系數無關同類項與系數無關, ,與字母的排列順序無關與字母的排列順序無關; ;幾個常數項也幾個常數項也是同類項是同類項. .熱點考向熱點考向 二二 冪的運算與乘法公式冪的運算與乘法公式【例【例2 2】(1)(2013(1)(2013晉江中考晉江中考) )計算計算:2x:2x3 3xx2 2等于等于( () )A.2A.2 B.xB.x5 5 C.2xC.2x5 5 D.2xD.2x6 6(2)(2012(2)(2012南通中考南通中考

12、) )已知已知x x2 2+16x+k+16x+k是完全平方式是完全平方式, ,則常數則常數k k等等于于( () )A.64A.64 B.48 B.48 C.32 C.32 D.16 D.16(3)(2013(3)(2013益陽中考益陽中考) )下列運算正確的是下列運算正確的是( () )A.2aA.2a3 3a=6a=6B.(abB.(ab2 2) )2 2=ab=ab4 4C.(a+b)(a-b)=aC.(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2D.(a+b)D.(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2【思路點撥】【思路點撥】(1)(1)根據同底數冪的乘法公式可得根據同底數冪的乘法

13、公式可得. .(2)(2)根據完全平方公式根據完全平方公式(a(ab)b)2 2=a=a2 22ab+b2ab+b2 2可求出可求出k k的值的值. .(3)(3)綜合考查同底數冪的除法綜合考查同底數冪的除法, ,冪的乘方和乘法公式冪的乘方和乘法公式. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選C.2xC.2x3 3xx2 2=2x=2x3+23+2=2x=2x5 5. .(2)(2)選選A.xA.x2 2+16x+k=x+16x+k=x2 2+2+2x x8+k8+k是完全平方式是完全平方式, ,所以所以k=8k=82 2=64.=64.(3)(3)選選C.2aC.2a3 3a a應該等于應

14、該等于2a2a2 2, ,所以所以A A錯錯,(ab,(ab2 2) )2 2應該等于應該等于a a2 2b b4 4, ,所以所以B B錯錯,(a+b),(a+b)2 2應該等于應該等于a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2, ,所以所以D D錯錯. .【互動探究】【互動探究】(2)(2)中的一次項系數若改為未知數中的一次項系數若改為未知數, ,即已知即已知x x2 2+mx+64+mx+64是完全平方式是完全平方式, ,則常數則常數m m等于多少等于多少? ?提示提示: :當上式為完全平方和公式時當上式為完全平方和公式時,x,x2 2+mx+64=(x+8)+mx+64=(x+8)2

15、2, ,所以所以m=16;m=16;當上式為完全平方差公式時當上式為完全平方差公式時,x,x2 2+mx+64=(x-8)+mx+64=(x-8)2 2, ,所以所以m=-16.m=-16.所以常數所以常數m m為為1616或或-16.-16.【名師助學】【名師助學】冪的運算的四種技巧冪的運算的四種技巧1.1.冪的乘法運算轉化為指數的加法運算冪的乘法運算轉化為指數的加法運算. .2.2.冪的乘方運算轉化為指數的乘法運算冪的乘方運算轉化為指數的乘法運算. .3.3.冪的除法運算轉化為指數的減法運算冪的除法運算轉化為指數的減法運算. .4.4.冪的運算法則既可以正用冪的運算法則既可以正用, ,也可

16、以逆用也可以逆用. .二、填空題(每小題6分，共24分) 1 1、 x xa a=4,x=4,xb b=3,=3,則則x xa-2ba-2b=_.=_.如果如果 2 2a a3 ,23 ,2b b6 ,26 ,2c c12, 12, 那么那么 a a，b b，c c的關系是的關系是 . .若若4 48 8m m1616m m 2 29 9 ，則則m m . .8.8.已知已知16x16x2 22(m2(m1)xy1)xy49y49y2 2是一個完全平方式，則是一個完全平方式，則m=_m=_答案：29或27【知識拓展】【知識拓展】平方差公式的幾種變形平方差公式的幾種變形平方差公式平方差公式(a+

17、b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2在整式的運算中應用非常廣泛在整式的運算中應用非常廣泛, ,靈活運用該公式不僅可以提高運算的準確性靈活運用該公式不僅可以提高運算的準確性, ,還可以提高運算還可以提高運算的速度的速度, ,所以我們要掌握它的各種變化形式所以我們要掌握它的各種變化形式: :(1)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a(1)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2. .(2)(-a+b)(-a-b)=(-a)(2)(-a+b)(-a-b)=(-a)2 2-b-b2 2=a=a2 2-b-b2 2. .(3)(a+b+c

18、)(a+b-c)=(a+b)(3)(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2 2-c-c2 2. .(4)(a+b+c)(a-b-c)=a(4)(a+b+c)(a-b-c)=a2 2-(b+c)-(b+c)2 2. .熱點考向熱點考向 三三 整式的化簡求值整式的化簡求值【例例3 3】(1)(1)已知已知x x2 2- x=6,- x=6,則則2x2x2 2-5x+6-5x+6的值為的值為( () )A.9A.9B.12B.12C.18C.18D.24D.24(2)(2013(2)(2013邵陽中考邵陽中考) )先化簡先化簡, ,再求值再求值:(a-b):(a-b)2 2+a(2b-a).+a(

19、2b-a).其中其中a=- ,b=3.a=- ,b=3.【思路點撥思路點撥】(1)(1)先把先把x x2 2- x=6- x=6變形變形, ,求出求出2x2x2 2-5x-5x的值的值, ,然后把然后把2x2x2 2-5x-5x看成一個整體代入求值看成一個整體代入求值. .(2)(2)去括號去括號合并同類項合并同類項代入求值代入求值. .521252【自主解答】【自主解答】(1)(1)選選C.C.因為因為x x2 2- x=6,- x=6,所以所以2x2x2 2-5x=12,-5x=12,所以所以2x2x2 2-5x+6=12+6=18.-5x+6=12+6=18.(2)(a-b)(2)(a-

20、b)2 2+a(2b-a)=a+a(2b-a)=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2+2ab-a+2ab-a2 2=b=b2 2, ,當當a=- ,b=3a=- ,b=3時時, ,原式原式=3=32 2=9.=9.5212【名師助學】【名師助學】整式的化簡求值的兩個步驟整式的化簡求值的兩個步驟1.1.將所求的整式化為最簡將所求的整式化為最簡. .2.2.將其中的字母的取值代入將其中的字母的取值代入, ,計算數值計算數值. .但是有時也會利用分但是有時也會利用分解因式或配方法將已知條件或所求代數式變形解因式或配方法將已知條件或所求代數式變形, ,再進行整體代再進行整體代入入, ,使運算更為簡便

21、使運算更為簡便. .1.(20131.(2013淄博模擬淄博模擬) )化簡化簡m+n-(m-n)m+n-(m-n)的結果為的結果為( () )A.2mA.2m B.-2mB.-2m C.2nC.2n D.-2nD.-2n【解析】【解析】選選C.m+n-(m-n)=m+n-m+n=2n.C.m+n-(m-n)=m+n-m+n=2n.2.(20132.(2013南通模擬南通模擬) )計算計算(m(m3 3) )2 2的正確結果為的正確結果為( () )A.mA.m5 5 B.m B.m9 9 C.m C.m6 6 D.9m D.9m【解析】【解析】選選C.(mC.(m3 3) )2 2=m=m3

22、32 2=m=m6 6. .3.(20133.(2013河南模擬河南模擬) )下列運算正確的是下列運算正確的是( () )A.(-a+2b)(-2b-a)=aA.(-a+2b)(-2b-a)=a2 2-4b-4b2 2B.aB.a3 3+a+a3 3=2a=2a6 6C.(a-3)C.(a-3)2 2=a=a2 2-9-9D.(-3aD.(-3a3 3) )2 2=9a=9a9 9【解析解析】選選A.(-a+2b)(-2b-a)=(-a+2b)(-a-2b)=aA.(-a+2b)(-2b-a)=(-a+2b)(-a-2b)=a2 2-4b-4b2 2; ;a a3 3+a+a3 3=2a=2a

23、3 3;(a-3);(a-3)2 2=a=a2 2-6a+9;(-3a-6a+9;(-3a3 3) )2 2=9a=9a6 6. .4.(20134.(2013靜安模擬靜安模擬) )化簡化簡:6a:6a6 63a3a3 3= =. .【解析解析】6a6a6 63a3a3 3=(6=(63)3)(a(a6 6a a3 3)=2a)=2a3 3. .答案答案: :2a2a3 35.(20135.(2013雅安模擬雅安模擬) )多項式多項式與與m m2 2+m-2+m-2的和是的和是m m2 2-2m.-2m.【解析解析】(m(m2 2-2m)-(m-2m)-(m2 2+m-2)=m+m-2)=m2

24、 2-2m-m-2m-m2 2-m+2=-3m+2.-m+2=-3m+2.答案答案: :-3m+2-3m+26.(20136.(2013石家莊模擬石家莊模擬) )如果如果a-3b=-3,a-3b=-3,那么代數式那么代數式5-a+3b5-a+3b的值的值是是. .【解析解析】5-a+3b=5-(a-3b)=5-(-3)=5+3=8.5-a+3b=5-(a-3b)=5-(-3)=5+3=8.答案答案: :8 87.(20137.(2013湛江模擬湛江模擬) )計算計算:(a+1)(a-1)-a(a-2).:(a+1)(a-1)-a(a-2).【解析解析】原式原式=a=a2 2-1-a-1-a2

25、2+2a=2a-1.+2a=2a-1.8.(20138.(2013昆山模擬昆山模擬) )已知已知x x2 2-4=0,-4=0,求代數式求代數式x(x+1)x(x+1)2 2-x(x-x(x2 2+x)+x)-x-7-x-7的值的值. .【解析解析】因為因為x x2 2-4=0,-4=0,所以所以x x2 2=4.=4.所以原式所以原式=x(x=x(x2 2+2x+1)-x+2x+1)-x3 3-x-x2 2-x-7-x-7=x=x3 3+2x+2x2 2+x-x+x-x3 3-x-x2 2-x-7-x-7=x=x2 2-7=4-7=-3.-7=4-7=-3.1.(20131.(2013衢州中

26、考衢州中考) )下列計算正確的是下列計算正確的是( () )A.3a+2b=5abA.3a+2b=5ab B.aa B.aa4 4=a=a4 4C.aC.a6 6a a2 2=a=a3 3 D.(-a D.(-a3 3b)b)2 2=a=a6 6b b2 2【解析解析】選選D.AD.A選項中選項中3a3a與與2b2b不是同類項不能合并不是同類項不能合并,B,B選項應選項應為為aaaa4 4=a=a5 5,C,C選項應為選項應為a a6 6a a2 2=a=a4 4, ,故故A,B,CA,B,C選項錯誤選項錯誤, ,而而(-a(-a3 3b)b)2 2=a=a6 6b b2 2, ,故選故選D.

27、D.2.(20132.(2013棗莊中考棗莊中考) )圖圖(1)(1)是一個長為是一個長為2a,2a,寬為寬為2b(ab)2b(ab)的長方的長方形形, ,用剪刀沿圖中虛線用剪刀沿圖中虛線( (對稱軸對稱軸) )剪開剪開, ,把它分成四塊形狀和大把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形小都一樣的小長方形, ,然后按圖然后按圖(2)(2)那樣拼成一個正方形那樣拼成一個正方形, ,則中則中間空的部分的面積是間空的部分的面積是( () )A.2ab B.(a+b)A.2ab B.(a+b)2 2C.(a-b)C.(a-b)2 2 D.a D.a2 2-b-b2 2【解析解析】選選C.C.中間空的部分的

28、面積中間空的部分的面積= =正方形的面積正方形的面積- -長方形的長方形的面積面積, ,(a+b)(a+b)2 2-2a-2a2b=a2b=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2-4ab=a-4ab=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=(a-b)=(a-b)2 2. .3.(20123.(2012河源中考河源中考) )若代數式若代數式-4x-4x6 6y y與與x x2n2ny y是同類項是同類項, ,則常數則常數n n的值為的值為. .【解析】【解析】由題意得由題意得2n=6,n=3.2n=6,n=3.答案答案: :3 34.(20124.(2012涼山州中考涼山州中考) )整式整式A A與與m m2 2-2mn+n-2mn+n2 2的和是的和是(m+n)(m+n)2 2, ,則則A=A=. .【解析】【解析】A=(m+n)A=(m+n)2 2-(m-(m2 2-2mn+n-2mn+n2 2)=m)=m2 2+2mn+n+2mn+n2 2-m-m2 2+2mn-n+2mn-n2 2=4mn.=4mn.答案答案: :4mn4mn5.(20135.(2013珠海中考珠海中考) )已知實數已知實數a,ba,b滿足