1、§3。4磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用3.4.1、洛倫茲力載流導(dǎo)線所受的安培力，我們可看為是磁場(chǎng)作用給運(yùn)動(dòng)電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導(dǎo)體晶格的碰撞而傳遞給導(dǎo)線的。根據(jù)安培定律FTBALsin8，而電流強(qiáng)度與運(yùn)動(dòng)電荷有關(guān)系I=qnvs,9角圖3-4-1既是電流元IAL與B的火角，也可視為帶電粒子的速度V與B之間的火角,AL長(zhǎng)導(dǎo)線中有粒子數(shù)N=nMS,則每個(gè)電子受到的力即洛倫茲力為rFqnvSBLsinm.f=qvBsinN洛倫茲力總是與粒子速度垂直，因此洛倫茲力不作功，不能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1可以看出，它一定與磁場(chǎng)（B）的

2、方向垂直，也與粒子運(yùn)動(dòng)（V）方向垂直，即與v、B所在的平面垂直，具體方向可用左手定則判定。但應(yīng)注意，這里所說(shuō)的粒子運(yùn)動(dòng)方向是指正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，它恰與負(fù)電荷沿相反方向運(yùn)動(dòng)等效。3.4.2、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關(guān)具體如下：如果帶電粒子原來(lái)靜止，它即使在磁場(chǎng)中也不會(huì)受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向恰與磁場(chǎng)方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個(gè)速度在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)帶電粒子速度方向與磁場(chǎng)方向垂直，帶電粒子在垂直丁磁場(chǎng)方向的平面內(nèi)以入射速度v作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的四個(gè)基

3、本公式。圖3-4-2fOeiA(2)軌道半徑公式:(3)周期、-mvR=Bq頻率和角頻率公式，即:2vqvB=m向心力公式：RBq2r:mT2何，(4)動(dòng)能公式:Ek=1mv22_2(BqR)2m2m如圖3-4-2所示,在洛倫茲力作用下，一個(gè)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的粒子，不論沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)還是沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，均具有下述特點(diǎn):(1)軌道圓心(O)總是位丁A、B兩點(diǎn)洛倫茲力(f)的交點(diǎn)上或AB弦的中垂線OO與任一個(gè)f的交點(diǎn)上。(2)粒子的速度偏向角甲等丁回旋角a，并等丁AB弦與切線的火角(弦切角9)的兩倍，即=a=2_.十。磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向一般是任意的，但任何一個(gè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的速

4、度(v)都可以在垂直丁磁場(chǎng)方向和平行丁磁場(chǎng)方向進(jìn)行分解，得到v_L和v/兩個(gè)分速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，這樣的帶電粒子一方面以v在磁場(chǎng)方向上作勻vv±速運(yùn)動(dòng)，一方面乂在垂直丁磁場(chǎng)的方向上作速率為v_l的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上粒子作螺旋線運(yùn)動(dòng)（如圖3-4-3）,這種螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期和螺距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運(yùn)動(dòng)的周期T=2?im/qB,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律:mvsinnr=螺旋運(yùn)動(dòng)回旋半徑：qB螺旋運(yùn)動(dòng)螺距：h=vT=2mvcosu/qB3.4.3、霍爾效應(yīng)h將一載流導(dǎo)體放在磁場(chǎng)中，由丁洛倫茲力的作用，會(huì)使帶電粒子（或別的載流子）發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，在磁場(chǎng)和電流二者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電

5、勢(shì)差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。如圖3-4-4所示，電流I在導(dǎo)體中流動(dòng)，設(shè)導(dǎo)體橫截面高h(yuǎn)、寬為d勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直與導(dǎo)線前、后兩表面向外，磁感強(qiáng)度為B,導(dǎo)體內(nèi)自由電子密度為n,定向移動(dòng)速度vI=nevhd由丁洛倫茲力作用，自由電子向上表面聚集，下表面留下正離子，結(jié)果上下表面問(wèn)形成電場(chǎng)，存在電勢(shì)差U,這個(gè)電場(chǎng)對(duì)電子的作用力方向向下，大小為F=eE=eh當(dāng)F與洛倫磁力f相平衡時(shí)，上、下表面電荷達(dá)到穩(wěn)定，則有=evBUehned圖3-4-5如果導(dǎo)電的載流子是正電荷，則上表面聚集正電荷，下表面為負(fù)電勢(shì)，電勢(shì)差正、負(fù)也正好相反。下面來(lái)分析霍爾電勢(shì)差，求出霍爾系數(shù)。在圖3-4-5中，設(shè)大塊導(dǎo)體的長(zhǎng)和寬分別為L(zhǎng)和

6、d,單位體積自由電荷密度為n,電荷定向移動(dòng)速率為v,則電流I=nqLdv。假定形成電流的電荷是正電荷，其定向移動(dòng)方向就是電流方向。根據(jù)左手定則，正電荷向上積聚，下表面附近缺少正電荷則呈現(xiàn)負(fù)電荷積聚，上正下負(fù)電壓UaaF=qE=q為Uaa，正電何受到跟磁場(chǎng)力反向的電場(chǎng)力L的作用。BI1電場(chǎng)對(duì)正電荷向上的偏移積聚起阻礙作用，當(dāng)最后達(dá)到平衡時(shí)Uaa1nqLddnq。可見(jiàn)，理論推導(dǎo)的結(jié)果跟q=qBvUaa=BLv=BLL，可得k=實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致，系數(shù)nq。既然k跟n有關(guān)，n表征電荷濃度，那么通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定k值可以確定導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電荷濃度n,半導(dǎo)體的n值比金屆導(dǎo)體小得多，所以k值也大得多。此外根據(jù)左手

7、定則還可知，即使電流I就是圖3-4-6中的流向，如果參與流動(dòng)的是正電荷，那么電壓就是上正下負(fù)；如果參與定向移動(dòng)的是自由電子，那么電壓就是上負(fù)下正了。霍爾電勢(shì)的高低跟半導(dǎo)體是p型的還是n型的有如此的關(guān)系：上正下負(fù)的是p型半導(dǎo)體，定向載流子是帶正電的空穴：上負(fù)下正的是n型半導(dǎo)體，如果k值小得多就是金屆導(dǎo)體，定向載流子是自由電子。3.4.4、磁聚焦運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中的螺旋運(yùn)動(dòng)被應(yīng)用丁“磁聚焦技術(shù)”如圖3-4-7,電子束經(jīng)過(guò)a、b板上包定電場(chǎng)加速后，進(jìn)入c、d極板之間電場(chǎng),c、d板上加交變電壓，所以飛出c、d板后粒子速度v方向不同，從A孔穿入螺線管磁場(chǎng)中，由丁V大小差不多，且v與B夾ib©&#

8、169;©©©©©©©i圖3-4-7角e很小，則V/=vcosU:vv=vsin【v【由丁速度分量vM同，在磁場(chǎng)中它們將沿不,2二mv2二mvh=同半徑的螺旋線運(yùn)動(dòng)。但由丁它們速度v/分量近似相等，經(jīng)過(guò)qBqB后乂相聚丁A,點(diǎn)，這與光束經(jīng)透鏡后聚焦的現(xiàn)象有些類似，所以叫做磁聚焦現(xiàn)象。磁聚焦原理被廣泛地應(yīng)用丁電真空器件如電子顯微鏡。3.4.5、復(fù)合場(chǎng)中離子的運(yùn)動(dòng)1.電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域獨(dú)立磁場(chǎng)與電場(chǎng)不同，磁場(chǎng)中，洛倫磁力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)主要表現(xiàn)為：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、螺旋運(yùn)動(dòng)、勻速直

9、線運(yùn)動(dòng)。而電場(chǎng)中，電荷受到電場(chǎng)力作用，電場(chǎng)力可能對(duì)電荷做功，因而改變速度大小和方向，但電場(chǎng)是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。處理獨(dú)立的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電荷問(wèn)題，是分開(kāi)獨(dú)立處理例：如圖3-3-8所示，在xoy平面內(nèi)，y。區(qū)域有勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿-y方向,大小為E,y。區(qū)域有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，大小為B,一帶電+q、質(zhì)量為m的粒子從y軸上一點(diǎn)P由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過(guò)x軸上Q點(diǎn)，Q坐標(biāo)為(L,O),試求粒子最初釋放點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：解決上述問(wèn)題關(guān)鍵是明確帶電粒子的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。從y軸上釋放后，只受電場(chǎng)力加速做直線運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，然后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半圈后可能恰好擊中Q點(diǎn)，也可能返

10、回電場(chǎng)中，再減速、加速做直線運(yùn)動(dòng)，然后乂返回磁場(chǎng)中，再經(jīng)半圓有可能擊中Q點(diǎn)，。那么擊中Q點(diǎn)應(yīng)滿足n，2R=L的條件。(1) 2.空間區(qū)域同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)正交如圖3-4-9所示，空間存在著正交的電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)平行丁紙面平面f洛XXXX.BX、XXXX1XrX,XE圖3-4-9向下，大小為E,磁場(chǎng)垂直丁紙面向內(nèi)，磁感強(qiáng)度為B,一帶電粒子以初速v0進(jìn)入磁場(chǎng)，v0_LE,v0_LB，設(shè)粒子電量+q,則受力:=qv°B方向向上，ft=qE方向向下。若滿足：qv0B=qEv0=E/B則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)速度選擇器模型若粒子進(jìn)入正交電磁場(chǎng)速度v,v0，

11、則可將v分解為v=v0*v1,粒子的運(yùn)動(dòng)可看成是v0與v1兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是qv0B與qv1B的合力，而qv0B與電場(chǎng)力qE平衡，粒子在電場(chǎng)中所受合力為quB,結(jié)果粒子的運(yùn)動(dòng)是以v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度V1所做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。例：如圖3-4-10正交電磁場(chǎng)中，質(zhì)量m、帶電量+q粒子由一點(diǎn)P靜止釋放,分析它的運(yùn)動(dòng)。分析：粒子初速為零釋放，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的曲線。初速為零，亦可看成是向右的v0與向左-v0兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，其中v0大小為：v0=E/B所以+q粒子可看成是向右&勻速直線運(yùn)動(dòng)和逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。電場(chǎng)方向

12、上向下最大位移dm=2Rmv°_mER一2qBqB2mEdm-2-qB一個(gè)周期向右移動(dòng)距離L即PPi之距為L(zhǎng)=v°T十2mT=qB,2二mEL=2-代入，得：qB(2) 最低點(diǎn)Q點(diǎn)速度vq=2v0圖3-4-10電場(chǎng)和磁場(chǎng)平行如圖3-4-11所示的空間區(qū)域有相互平行的電場(chǎng)和磁場(chǎng)E、B一帶電+q粒子以初速V。射入場(chǎng)區(qū)v0上E（或B）。則帶電粒子在磁場(chǎng)力作用下將做圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力作用下向上做加速運(yùn)動(dòng)，由丁向上運(yùn)動(dòng)速度分量V1始終與B平行，故粒子受洛倫磁力大小包為qvoB，結(jié)果粒子運(yùn)動(dòng)是垂直丁E（或B）平面的半徑R=mVo/qB的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和沿E方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，即一個(gè)

13、螺距逐漸增大的螺旋運(yùn)動(dòng)。（3）電場(chǎng)力、洛倫磁力都與v。方向垂直，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。例如電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子質(zhì)量m,電量為e,現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為B,而電子軌道半徑不變，已知電場(chǎng)力3倍與洛倫磁力，試確定電子的角速度。在這里電子繞核旋轉(zhuǎn)，電場(chǎng)力、洛倫磁力提供運(yùn)動(dòng)所需向心力，即f電+f洛=mv2/r而f洛可能指向圓心，也可能沿半徑向外的，因而可能是23evBevB二mv/r23evB-evB=mv/r2eB4eB'1=,、，2=m或m典型例題例1.在如圖3-4-12所示的直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn),ybQOO固定電量為Q的正點(diǎn)電荷，另有指向y軸正方向（豎

14、直向上方向），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，因而另一個(gè)質(zhì)量為m、電量力為q的正點(diǎn)電荷微粒恰好能以y軸上的O'點(diǎn)為圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道平面（水平面）與xoz平'面平行，角速度為切，試求圓心O'的坐標(biāo)值。分析：帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以確定在只有洛倫磁力和庫(kù)侖力的情況下除非O'與。不重合，必須要考慮第三個(gè)力即重力。只有這樣，才能使三者的合力保證它繞O'在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。解：設(shè)帶電微粒作勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R,圓心的。縱坐標(biāo)為y,圓周上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線和y軸火角為6,那么有帶電粒子受力如圖3-4-13所示，列出動(dòng)力學(xué)方程為mg=F電cos。(1

15、)2f洛-F電sin0=mR(2)f=qRB將(2)式變換得f洛-m切2R=f電sin將代入，且(1)+(4)得mg=y2一一qRB-m，RR消去R得y=mgqB-m，2例2.如圖3-4-14所示，被1000V的電勢(shì)差加速的電子從電子槍發(fā)射出來(lái)，沿直線a方向運(yùn)動(dòng)，要求電子擊中在a方向、距離槍口5cm的靶M,對(duì)以下兩種情形求出所用的均勻磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B.(1) 磁場(chǎng)垂直丁由直線a與點(diǎn)M所確定的平面。(2) 磁場(chǎng)平行丁TM。解：(1)從幾何考慮得出電子的圓軌道的半徑為(如圖3-4-15)dr=2sina按能量守包定律,電荷Q通過(guò)電勢(shì)差U后的速度v12,小-mv=UQ2a圖3-4-1M作用在電荷Q

16、上的洛倫磁力為F=QBv這個(gè)力等丁向心力2mvr-QBv故所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為-mvB=rQ用上面的半徑和速度值，得到2sira2UmB：:md:Q3119.由丁m=9.11勺0kg,。=1.6乂10C,所以B=0.0037T(2)在磁場(chǎng)施加的力與速度f(wàn)t直，所以均勻包定磁場(chǎng)只改變電子速度的方向，不改變速度的大小。我們把電子槍發(fā)射的電子速度分解成兩個(gè)直線分量：沿磁場(chǎng)B方向的vcosa和垂直磁場(chǎng)的vsina，因?yàn)関cosa在磁場(chǎng)的方向上，磁場(chǎng)對(duì)它沒(méi)有作用力(圖3-4-16）。電子經(jīng)過(guò)d/vcosa時(shí)間后到達(dá)目標(biāo)M。由丁磁場(chǎng)B22mvsina=BQvsina和垂直的速度分量vsina,電子在圓軌道上

17、運(yùn)動(dòng)，由得到圓半徑為mvsinarQB電子在目標(biāo)M的方向上也具有速度vcosa，結(jié)果是電子繞B方向作螺旋線運(yùn)動(dòng)。電在在d/vcosa時(shí)間內(nèi)，在繞了k圈后擊中目標(biāo)。K是一個(gè)整數(shù)。圓的周長(zhǎng)為2二r=2二mvsina/QB2：mvsina2二m由丁繞圓周運(yùn)動(dòng)的速度是vsina，故繞一周的時(shí)間是QBvsinaQBd2二m,=k這個(gè)值乘上整數(shù)k,應(yīng)等丁d/vcosavcosaQBB=k2mcosa因此，所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度為Qd,2二cosav=kdk=1時(shí)，電子轉(zhuǎn)一圈后擊中目標(biāo)：k=2時(shí)，電子轉(zhuǎn)兩圈后擊中目標(biāo)，等等只要角度a相同，磁場(chǎng)方向相反與否，無(wú)關(guān)緊要。用給出的數(shù)據(jù)代入，得B=kX0.0067T例3.

18、一根邊長(zhǎng)為a、b、c(a>>b>>c)的矩形截面長(zhǎng)棒，如圖3-4-17所示，由半導(dǎo)體錦化錮制成，棒中有平行丁a邊的電流I通過(guò)，該棒放在垂直丁c邊向外的磁場(chǎng)B中,電流I所產(chǎn)生的磁場(chǎng)忽略不計(jì)。該電流的載流子為電子，在只有電場(chǎng)存在時(shí)，電子在半導(dǎo)體中的平均速度v=E，其中卜為遷移率。(1) 確定棒中所產(chǎn)生上述電流的總電場(chǎng)的大小和方向。(2) 計(jì)算夾c邊的兩表面上相對(duì)兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差。如果電流和磁場(chǎng)都是交變的，且分別為1TMin況，B=B°sin例+中)，求(2)中電勢(shì)差的直流分量的表達(dá)式。已知數(shù)據(jù)：電子遷移率”=7.8m2/Vs，電子密度n=2.51022/m3,1=

19、1.0A,B=0.1T,b=1.0cm,c=1.0mm,e=1.6X10-19C分析：這是一個(gè)有關(guān)霍爾效應(yīng)的問(wèn)題，沿電流方向，導(dǎo)體內(nèi)存在電場(chǎng)，乂因?yàn)榛魻栃?yīng)，使得電子偏轉(zhuǎn)，在垂直電流方向產(chǎn)生電場(chǎng)，兩側(cè)面間有電勢(shì)差的存在解：(1)因?yàn)镮=nevbc1v=25m/snebc所以電場(chǎng)沿a方向分量E=v/=3.2V/m沿c方向的分量qvB=qE【E=vB=2.5V/m總電場(chǎng)大小：EfE；E：|=4.06V/mtg（了）=tg（共）=38電場(chǎng)方向與a邊火角a,a=E/3.2(2)上、下兩表面電勢(shì)差U=E_c=2.5103(3)加上交變電流和交變磁場(chǎng)后，有前面討論的上、下表面電勢(shì)差表達(dá)式IBnec,可得:

20、U=-B=Bsintsin(t)一necnec-B01cos(2t:)1cos:=necIL22°cos因此U_L的直流分量為U_L直=2nec例4.如圖3-4-18所示，空間有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B,E沿+y方向，B沿+z方向，一個(gè)帶正電+q、圖3-4-18質(zhì)量為m的粒子(設(shè)重力可以忽略)，從坐標(biāo)圓點(diǎn)。開(kāi)始無(wú)初速出發(fā)，求粒子坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，以及粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖3-4-19分析：正離子以O(shè)點(diǎn)起無(wú)初速出發(fā)，受包定電場(chǎng)力作用沿+y方向運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗俣葀的大小、方向都改變，洛倫茲力僅在xOy平面上起作用，粒子軌跡一定不會(huì)離開(kāi)xOy平面且一定以。為起點(diǎn)。既然粒子僅受的兩個(gè)力中一

21、個(gè)是包力一個(gè)是變力，作為解題思路，利用獨(dú)立性與疊加原理，我們?cè)O(shè)想把洛倫茲力分解為兩個(gè)分力，使一個(gè)分力跟包電場(chǎng)力抵消，就把這個(gè)實(shí)際受力簡(jiǎn)化為只受一個(gè)洛倫茲力分力的問(wèn)題。注意此處不是場(chǎng)的分解和抵消，而是通過(guò)先分解速度達(dá)到對(duì)力進(jìn)行分解和疊加。我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強(qiáng)復(fù)合電磁場(chǎng)能起速度選擇器作用。受其原理啟發(fā)，設(shè)想正離子從。點(diǎn)起（此處V。=0）就有一個(gè)沿x軸正方E-.V。向、大小為B的始終不變的速度，當(dāng)然在。點(diǎn)同時(shí)網(wǎng)有一個(gè)沿-x萬(wàn)向的大E_小也是B的速度，保證在O點(diǎn)v。=。，則qBVc=qE,qBvc沿-y方向，qE沿+y方向，彼此抵消，可寫(xiě)成fB（Vc）=-F（E）。因任一時(shí)刻邊=Vc+v，所以fB（Vt）=fB（Vc）+fB（V），或改寫(xiě)成