1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題（三）第一試、選擇題（共36分）1.化簡cos2- + cos 4- + cos 6-的值為2.A. 1B.11C.-2Sn和Tn分別是等差數(shù)列an和bn的前n項和，且對任意的自然數(shù)an 那么丁bn4A. 37B.43C.21D.2Sn 7n + 4n都滿足Tn=4nG7，78D.713.直線xcos 0 +y+m= 0（式中0是ABC的最大角），則此直線的傾斜角變化范圍是 （4.5.6.1A.( arctanC.0，7 設(shè)實數(shù)m, 十 （）a a+ b a.-2-如圖，平面n,x,nyy滿足m+ n2= a,的B. ab_兀B.0 ，7)_兀D.0 ，-7x2+ y2

2、= b,其中 a, 最c 2abC.a + b2兀（石，兀）b為正常數(shù)且aw b,那么D .a+b2中有 ABC和4人七。分別在直線 m的兩側(cè)，它們與于m成軸對稱，現(xiàn)將 定的平面?zhèn)€數(shù)為A.14A.3、填空題（共54分）mx為C, A1,A,B,aB.11B.4m無公共點，并且關(guān)B1, G六個點可以確沿m折成一個直二面角，則（）邊形的各邊為直徑作圓, 個圓面所覆蓋，則 n已知0vxv/,log sinx cosx與log cosx/anx的首數(shù)均為零，尾數(shù)和為1，則x=7.設(shè)=2a1+2a2+2an,其中a1,a2,，an是兩兩不等的非負(fù)整數(shù)，則aa?十+ an =8.已知不等式a< 4x

3、2 3x + 4< 6的解集為x|a < x< b,其中 0vavb,則 b =9 .已知 f(x) =x2+(lga +2)x+lgb ,且 f( 1)= 2, f(x) >2x 對一切 xC R都成立，則 a + b =.10 .正四棱臺 ABCD- A1B1C1D1的高為2& AB= 8, AB = 4,則異面直線 AB與BC的距離為 .11 .方程(x2-x- 1)x+2 = 1的解集為 .三、解答題(共at 60分)12 .(設(shè) f(x) =(1 +x+x2) n= Co+ex + C2x2+ C2nx2n,則 C0+C3+C6+=C1+C4 + C7

4、 += C2+C5 + C8 += 3n 1.13 .(已知滿足不等式lg(x 2) >lg(a x) + 1的整數(shù)x只有一個，試求常數(shù)a的取值范圍.14 .(設(shè)y = f(x)是定義在R上的實函數(shù)，而且滿足條件：對任意的a, bC R,有faf(b)=ab,試求 |f()|.第二試(50分)如圖，D, E, F分別為 ABC的邊BC CA AB上 的點，且/ FDE= / A, D DEF= / B,又設(shè) AFE, BDF 和 DEF均為銳角三角形，他們的垂心分別為Hi, H2, H3.求證：(1) / HDH=/ FHE;(2) HH2HDEF.(50分)設(shè)G, C, G,是坐標(biāo)平面

5、上的一族圓(周)，其定義如下：(1)Co是單位圓 x2+y2=1;(2)任取nCZ且n>0,圓G+i位于上半平面 y>0內(nèi)及G的上方，與 G外切并且與雙 曲線x2-y2= 1相切于兩點，G的半徑記為r n(n C Z且n > 0)證明：rnCZ；(3) 求 rn.三、(50分)稱自然數(shù)為“完全數(shù)”，如果它等于自己的所有 (不包括自己)的正約數(shù)的和,例如，6= 1+2+3,如果大于6的“完全數(shù)”可以被 3整除，證明，它一定可以被9整除.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題（三）參考答案 第一試 一、選擇題1. C2兀4兀6無1 62k仃162k仃2k仃cos + cos+ cos = -Z

6、 cos2k=-ReZ (cos里+isin紳)7772 k472kJ 77令 z = cos -7-+ isin -7-, 于是 z7= 11 1則上式=2(z + z + z + z + z + z )=-2. Aan 21an S21 7X21 + 4 4b11 21b11 T21 4X21 + 27 33. D0 t-, Tt ) , cos 0 C ( 1, H ,則斜率 kC 1)3224. B由柯西不等式 ab= (m2+ n2)(x 2 + y2) > (mx+ ny) 2,當(dāng)mx= ny時取等號，所以 mx+ ny< ab5. B三點確定一個平面，但需除去三組四點

7、共面重復(fù)的個數(shù)，共確定平面?zhèn)€數(shù)為c3 -3C3 +3= 11個6. B注意到：當(dāng)且僅當(dāng)/ O 90°時， ABC能被以AB為直徑的圓覆蓋.從而易證n<4,當(dāng) n=4時，正方形滿足條件.二、填空題7.arcsin1log sinx cosx + log cosxJtanx = 1 3 log sinx cosx = 2sinx = cos2xsin 2+ sinx 1=05-1sinx =22一（負(fù)值舍去）8.44 ;=21°+ 29+ 28+ 27+26+ 24分情況討論得：a=%, b= 4310.110 ;f( 1) = 1 + lgb (2 + Iga) =-

8、2Iga = lgb + 1,而(Iga) 2 4lgb < 0 (lgb -1)2<0.1. lgb =1b=10, a= 10011 .過B1作AB的平行線交AB于E,轉(zhuǎn)化為求B點到平面BCE的距離.12 . -2, - 1, 0, 2若 x2x1=1,則 x=2, 1若x2-x- 1= - 1且x+ 2為偶數(shù)，得x = 0若 x+2=0 且 x2 x1W0 得 x=2三、人1313 .令 3= £ + 2 1 ?則有f (1)= 00+ C1 + C2+ 04+ C5+ c2n=3f( CO ) =C0+ COC1+ CO C2+C3+ COC4+COC5+COC2

9、n= 0-f( 3 ) = C0 + 3 C1 + 3 C2+ C3+ CO C4+ 3 C5 +CO C2n = 0 + + 得 3(c 0 + C3 + C6 +)=3, - c 0+ C3+ C6+= 3.一得 C1+C4+C7+= C2+C5+C8+于是 C1 + C4+ C7+=C2+ C5+ C8 += C0+ C3+ C6+=3 ,14 . 丁 x 2>0,|x| < 1, x=1 或 0 或 11x = 1 時，lg15 > lg(a + 1) + 1, 1 v a vqx = 0 時，lgga +1. . 0 v av 2x=1 時，lg15 >lg(

10、a -1) +l 0<a<|又因為滿足條件的整數(shù)x只有一個，一15a 的取值范圍是(一1, 0Uq, 1U2, q)15 .令 a=1,則 f(f(b)=b,f(f(x)=x f(f(f2(x)=f 2(x) f(f(f2(a)=f 2(a)再令 a = f(b),則 f(f 2(b) = bf(b) f(f(f2(b)=f(bf(b) =b2. f(f(f2(a)=a2.f 2(a) =a2,|f(a)|=|a|,1 f()=第二試一、; Hi為AAEF的垂心，/EHF=180° / A= / B+/ C/ H2DH=180° -Z H2DB- / HDC=

11、180° (90 ° -Z B) - (90 ° / C) = / B+ Z C /EHF=/HDH連結(jié) FH2, EH,貝U FH2XBD, EH31 BCFH2/EH 由中所證/ EHF+ Z EOF= 180° = E , D, F, H 四點共圓.同理，E,D,Hi,H2四點共圓，H,D,F,H3四點共圓，E,D,F, H, H,H3六點共圓.二圓內(nèi)接四邊形 EHHF中，EH/FH,EF= H2H3,同理，DE= H1H3, DF= HiH2,HH2H30 DEF.二、由對稱性可知 rn的圓心在y軸上，設(shè)rn的方程為x+(y Sn) = r n ,其中 Sn=0+2(r1+2+ r n- 1) + r n.將 x = y + 1 代入其中得 y +1 + y+ Sn 2ys n rn =0 = 4sn28sl2+8rn28=0 = 2r n2=S2+2從而易得 r n= 6r n1 r n-2 ,r 0=1, r 1 = 3,對任意 nCN,有 rn N(2)由特征根方程可得rn= A(3 + 2/2)n+ B(32姆)n,將r°=1, n=3代入其中，得1rn=Q(3 +2*)n+(32*)n