1、快速解決巧解外接球問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內接多面體，這個球稱為多面體的外接球有關多面體外接球 的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點考查學生的空間想象能力 以及化歸能力研究多面體的 外接球問題，既要運用多面體的知識，又要 運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在 解題中往往會起到至關重要的作用一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關問題【例1】（上海中學）若棱長為 3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 .【例2】（交大附中）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上

2、，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為2、求長方體的外接球的有關問題【例3】（復興高級中學）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3，則此球的表面積為.【例4】（七寶中學）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16，則這個球的表面積為 （）.A. 16二B. 2 二C. 24二D. 32:3. 求多面體的外接球的有關問題【例5】（上海實驗中學）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一9個球面上，且該六棱柱的體積為8，底面周長為3,則這個球的體積為 .二、構造法（補形法）1、構造正方體【例6】（2015年上海高考題）若

3、三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為3，則其外接球的表面積是.【例7】（上海中學） 若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為則其外接球的表面積是【小結】 一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑設其外接球的半徑為 R，則有2R 二. a2 b2 c2 .出現墻角”結構利用補形知識，聯系長方體。【原理】長方體中從一個頂點出發的三條棱長分別為?，：，則體對角線長為川亠 廣，幾何體的外接球直徑為“體對角線長即-【例8】：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為?，若該四面體的四個

4、頂點在一個球面上，求這個球的表面積。圖A. 3 二B. 4 D. 6二【例11】（交大附中）已知球O的面上四點A、B、C、D，DA 丄平面 ABC，AB 丄 BC，DA=AB=BC= 暑【例10】（華二附中）在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2， DAB=60 0，E為AB的中點，將 ADE與BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）.4 3HA. 27.6 .6 6JTJEJEB. 2C. 8D. 24精品文檔則球0的體積等于 2、構造長方體【例12】（2012年上海高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB 一平面BCD , BC

5、_ DC，若AB =6,AC=2 J3,AD=8，則球的體積是 .AD本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三多面體幾何性質法【例13】（大同中學）已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是（）A.16二B. 20二C. 24二D. 32二【小結】本題是運用正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質來求解的四尋求軸截面圓半徑法【例14】（西南位育中學）正四棱錐S - ABCD的底面邊長和各側棱長都為 2，點S、A B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為 【小結】 根據題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面

6、圓，于是該圓 的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質就是 通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究.這種等價轉化的數學思想方法值得我們學習.五確定球心位置法【例15】（上海第二中學）在矩形ABCD中，AB =4,BC =3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B - AC - D，則四面體ABCD的外接球的體積為（）125125125125njinnA. 12B. 9C. 6D. 3【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。【例16】（復旦附中）已知三棱錐的四個頂點都在球-的球面上，吒一且f，1，亠-