1、化學(xué)計(jì)算中“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理和應(yīng)用一. “十字交叉法”簡(jiǎn)介“十字交叉法”是二元混合物（或組成）計(jì)算中的一種特殊方法，若已知兩組分量和這兩個(gè)量的平均值，求這兩個(gè)量的比例關(guān)系等，多可運(yùn)用“十字交叉法”計(jì)算。十字交叉法在化學(xué)計(jì)算中是一種常用的方法，在很多習(xí)題中采用十字交叉法可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，提高計(jì)算效率。下面先從一道簡(jiǎn)單的例題來介紹何為十字交叉法。例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？采用十字交叉法計(jì)算的格式如下：設(shè)混合后溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為x%，則可列出如下十字交叉形式所得的等式：50g(10%的溶液質(zhì)量)10%的溶液 10 30 x 150

2、(30%的溶液質(zhì)量) X = 30%的溶液 30 x 10 由此可得出 x = 25，即混合后溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為25%。以上習(xí)題的計(jì)算過程中有一個(gè)十字交叉的形式，因此通常將這種方法叫做“十字交叉法”。然而怎樣的計(jì)算習(xí)題可以采用這種方法？且在用“十字交叉法”時(shí)，會(huì)涉及到最后差值的比等于什么的問題，即交叉后所得的差值之比是實(shí)際中的質(zhì)量之比還是物質(zhì)的量之比？這些問題如果不明確，計(jì)算中便會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 針對(duì)以上問題，在以前的教學(xué)中，可能往往讓學(xué)生從具體的習(xí)題類型死記差值之比的實(shí)際意義。由于十字交叉法常用于：核素“豐度”與元素相對(duì)原子質(zhì)量的計(jì)算；混合氣體不同組分體積之比和混合氣體平均相對(duì)分子質(zhì)量的計(jì)算

3、；不同濃度的同種溶液混合后質(zhì)量分?jǐn)?shù)與組分溶液質(zhì)量之比的計(jì)算等類型的習(xí)題中。因此可以簡(jiǎn)單記憶為前兩種類型中，差值之比為物質(zhì)的量之比，第三種類型差值之比為質(zhì)量之比。這種記憶方法束縛了學(xué)生的思維，同時(shí)也限制了“十字交叉法”的使用范圍。實(shí)質(zhì)上“十字交叉法”的運(yùn)用范圍很廣，絕不僅僅只能在以上三種類型的習(xí)題中才可運(yùn)用。然而不同情況下，交叉后所得的差值之比的實(shí)際意義是什么？該怎樣確定其實(shí)際意義？是我們應(yīng)該探討和明了的問題。要解決此問題，就要明了“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理，然后再?gòu)脑淼慕嵌热シ治觯隳艽_定差值之比在何時(shí)為組分的質(zhì)量之比，何時(shí)為組分的物質(zhì)的量之比。 二、“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理若用A、B分別表示

4、二元混合物兩種組分的量，混合物總量為A+B（例如mol）若用M1、M2分別表示兩組分的特性數(shù)量（例如相對(duì)分子質(zhì)量），x表示混合物的特性數(shù)量（例如平均分子量）則有：M1×A M2×B x ×（A + B）將此數(shù)學(xué)表達(dá)式變形即可轉(zhuǎn)化為下式： A/B = （x - xb）/ (xa - x）此式又可由十字交叉法推導(dǎo)得出。A組分 xa x - M2 A X = 即：B組分 xb M1 - x B兩組份物質(zhì)的量之比等于各自摩爾質(zhì)量與平均摩爾質(zhì)量之差的比 由此我們可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演變而來的，這就是“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理。即運(yùn)用“十字交叉法”計(jì)算的習(xí)題必

5、須具備的條件，是此習(xí)題能列出二元一次方程。也可以說只要能用二元一次方程解決的習(xí)題就能用“十字交叉法”計(jì)算。由于我們?cè)诹卸淮畏匠虝r(shí)，要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，因此轉(zhuǎn)化為“十字交叉法”時(shí)，所涉及的最后差值的比的意義就與所設(shè)未知數(shù)的意義有了緊密的關(guān)系。也就是說用二元一次方程計(jì)算時(shí)，所設(shè)未知數(shù)的物理意義是什么，則最后差值的比就等于該物理量之比。因此在運(yùn)用“十字交叉法”計(jì)算時(shí)，特別要注意避免不明化學(xué)涵義而濫用。否則會(huì)由于不明確差值之比的物理意義，而使計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。我們可以根據(jù)下面例題來體會(huì)明確差值之比物理意義的重要性。例2、由CO2和CO組成的混合氣體，經(jīng)分析測(cè)知含氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為70%，則該混合氣體中CO和C

6、O2的體積比為多少？解法一：利用CO和CO2中氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)列十字交叉式。(注意物理意義表述的質(zhì)量)在CO中氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為4/7，CO2中氧的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為8/11，則 7 CO 4/7 8/11 7/10 33 7/10 = CO2 8/11 7/10 4/7 至此若即得出CO和CO2的體積比為7 ：33，則為錯(cuò)誤結(jié)果，原因是不明了如此計(jì)算所得的比值的物理意義。而實(shí)際上由此得出的比值是兩種氣體的質(zhì)量之比，而非物質(zhì)的量之比，也不是體積之比。這一點(diǎn)我們可以從下面二元一次方程的解法去理解。解法二：設(shè)混合氣體中CO2質(zhì)量為x，CO質(zhì)量為y，根據(jù)氧元素的質(zhì)量固定可得出下列方程： 不難解得 x : y = 3

7、3 : 7由此我們可以看出在解法一中所得的CO和CO2的比值7 ：33是兩種氣體的質(zhì)量之比。再?gòu)膬蓺怏w的質(zhì)量比求物質(zhì)的量之比就很容易了。n(CO) /n(CO2) = V(CO)/V(CO2) = m(CO)/28 : m(CO)/44 =7/28 : 33/44 = 1:3那么能否用“十字交叉法”直接計(jì)算出兩種氣體的體積之比呢？要解決此問題，應(yīng)該利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)求出混合氣體的平均分子式或平均分子量，然后再利用“十字交叉法”進(jìn)行計(jì)算。解法三：設(shè)：混合氣體的平均分子式為COx，則：利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量相等可以列出下列方程。16x/(12+16x) = 7/10，解得：x =

8、7/4。即我們可以認(rèn)為混合氣體的平均分子式為CO7/4，然后依據(jù)“十字交叉法”原理可列出下面式子計(jì)算。CO 1 8/4 7/4 1 V(CO) 7/4 = = CO2 2 7/4 4/4 3 V(CO2)求出平均分子式后，還可繼續(xù)求出平均分子量，然后再利用“十字交叉法”進(jìn)行計(jì)算。解法四：因?yàn)榛旌蠚怏w的平均分子式為CO7/4，故混合氣體的平均分子量為12+16×7/4 = 40CO 28 44 40 1 V(CO) 40 = = CO2 44 40 28 3 V(CO2)利用這種方法求出的差值之比之所以能確定是兩種氣體的物質(zhì)的量之比，或者說能確定是兩種氣體的體積之比，我們可以利用下面方

9、程來進(jìn)行證明。方法五：設(shè)：混合氣體中CO2物質(zhì)的量為x，CO物質(zhì)的量為y，則: 利用混合氣體中氧元素的質(zhì)量相等可以列出下列方程。32x +16y = (44x + 28y) ×7/10，解得x :y = 3 : 1 因此：混合氣體中CO和CO2的體積之比為1 : 3。為了將“十字交叉法”理解透徹，我們?cè)倏聪铝幸恍├}，認(rèn)真體會(huì)“十字交叉法”解計(jì)算題的類型和原理。例3 K35ClO3與 K37Cl 在酸性溶液中反應(yīng)生成 Cl2，則該Cl2的相對(duì)分子質(zhì)量為多少？解：因?yàn)镵35ClO3中Cl的化合價(jià)為+5價(jià)， K37Cl中Cl的化合價(jià)為-1價(jià)，所以生成 Cl2時(shí)， K35ClO3與 K37

10、Cl的物質(zhì)的量之比為1/5，即生成的 Cl2分子中35Cl與37Cl的原子個(gè)數(shù)之比為1/5。設(shè)生成的 Cl2的相對(duì)分子質(zhì)量為M，則6 × M= (35 g/mol + 37 g/mol × 5)× 2 M 73.33 g/mol 由：6 × M= 35 g/mol × 2 + 37 g/mol × 2 × 5 可以推出5×M+M = 70 g/mol + 74 g/mol × 5 5×（ 74 g/mol - M ）= 1 ×（ M - 70 g/mol ） （ 74 g/mol -

11、M ）/ （ M - 70 g/mol ）= 1/5 因此對(duì)于此題我們可以直接利用右邊的式子進(jìn)行計(jì)算，即十字交叉法37Cl2 74g/mol M - 70g/mol 5 M = 35Cl2 70g/mol 74g/mol - M 1 例4已知自然界中銥有兩種質(zhì)量數(shù)分別為191和193的同位素，而銥的平均原子量為192.22，這兩種同位素的原子個(gè)數(shù)比應(yīng)為 A3961 B6139 C11 D3911此題可列二元一次方程求解，但運(yùn)用十字交叉法最快捷： 銥-191 191 0.78 39 192.22 = 銥-193 193 1.22 61 解得這兩種核素的原子個(gè)數(shù)比為39 ：61，正確答案是A。例5

12、一定量的乙醇在氧氣不足的情況下燃燒，得到CO、CO2和水的總質(zhì)量為27.6g，若其中水的質(zhì)量為10.8g，則CO的質(zhì)量是 A1.4g B2.2g C4.4gD在2.1g和4.4g之間此題考查有機(jī)物的不完全燃燒，可運(yùn)用十字交叉法：CO與CO2總質(zhì)量：27.6 g - 10.8 g = 16.8 g，生成水的物質(zhì)的量為：10.8 g ÷ 18 g/mol = 0.6 mol，則燃燒的乙醇為：0.6 mol × 1/3 = 0.2 mol。因此生成CO、CO2的物質(zhì)的量共 0.2 mol × 2 = 0.4 mol則CO和CO2混合氣體的平均分子量為：16.8 g /

13、0.4 mol = 42CO 28 44 42 1 n(CO) 42 = = CO2 44 42 28 7 n(CO2)所以，n(CO) = 0.4 mol × 1/ 8 = 0.05 molm（CO）=28 g/mol × 0.05 mol = 1.4 g正確答案是A例6右圖中橫坐標(biāo)表示完全燃燒時(shí)耗用可燃?xì)怏wX（X=A、B、C）的物質(zhì)的量n（X），縱坐標(biāo)表示消耗O2的物質(zhì)的量n（O2），A、B是兩種可燃性氣體，C是A和B的混合氣體，則C中n（A）n（B）為（ ） A 21B12 C11D任意比 仔細(xì)地觀察圖示，分析圖象可以看出：1 mol A完全燃燒消耗0.5 mol O21 mol B完全燃燒消耗2 mol O21 mol C（C是A、B混合氣）完全燃燒消耗1 mol O2可以利用1mol氣體燃燒耗O2進(jìn)