1、絕密啟用前2017 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學本試卷 5 頁， 23 小題，滿分150 分。考試用時120 分鐘。注意事項：1 答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用 2B 鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2 作答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使

2、用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。12 小題，每小題5 分，共 60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合A x|x 1 ， B x|3x 1 ，則AAB x |x0BABRCAB x | x1DAB2如圖，正方形ABCD 內的圖形來自中國古代的太極圖. 正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱. 在正方1 A4形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是BC 128D43設有下面四個命題p1 ：若復數z 滿足 1 R ，則 z R ；zp2 ：若復數z 滿足z2R ，則 z R

3、；p4：若復數z R，則 z R .p3：若復數z1, z2滿足z1z2R ，則z1z2 ；其中的真命題為Ap1, p3Bp1, p4Cp2 , p3Dp2, p44記Sn 為等差數列an 的前n 項和若a4a524 ，S648 ，則 an 的公差為A 1B 2C 45函數f (x) 在 (,)單調遞減，且為奇函數若D 8f (1)1 ，則滿足1 f (x 2) 1x 的取值范圍是A 2,2B 1,1C 0,46(112)(1 x)6展開式中x2的系數為xA 15B 20C 30D 1,3D 357某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯

4、視圖為等腰直角三角形面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為A 10B 12C 14D 168右面程序框圖是為了求出滿足3n 2n 1000 的最小偶數 n ， 那么在和 兩個空白框中，可以分別填入AA1000和nn1BA1000和nn2CA1000和nn1DA1000和nn229已知曲線C1 : y cosx,C2 : y sin(2 x ) ，則下3面結論正確的是A 把 C1 上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍， 縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個6單位長度，得到曲線C2B把C1 上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線C21

5、C 把 C1 上各點的橫坐標縮短到原來的1 倍， 縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移 個26單位長度，得到曲線C21D把C1 上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移1212個單位長度，得到曲線C2210已知F 為拋物線C : y2 4x 的焦點，過F 作兩條互相垂直的直線l1, l2，直線l1與 C 交于 A、 B 兩點，直線l 2 與C 交于 D、E 兩點，則| AB|+| DE| 的最小值為A 16B 14C 12D 1011 設 xyz為正數，且2x3y5z，則A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z12幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應

6、用軟件。為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動 . 這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4， 1，2，4， 8， 1，2，4，8，16，其中第一項是 20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21, 22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數N : N 100且該數列的前N 項和為 2 的整數冪。那么該款軟件的激活碼是A 440B 330C 220D 110二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13已知向量a， b 的夾角為60°，| a|=2， | b|=1 ，則 | a +2 b |= .x

7、2y 114設x, y滿足約束條件2x y 1 ，則 z 3x 2y的最小值為.xy0x2 y215已知雙曲線C : x2 y2 1(a 0,b 0)的右頂點為A，以A為圓心，b 為半徑做圓A，ab圓 A 與雙曲線C 的一條漸近線交于M、 N 兩點。若MAN 60 ，則 C 的離心率為。16如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。 D、E、 F 為圓O上的點，DBC，ECA，FAB分別是以BC， CA， AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB 為折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當ABC的邊長變化時，所

8、得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為三、解答題：共70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60 分。a217 （ 12 分）ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為a3sin A（ 1）求 sin Bsin C ;（ 2）若 6cos BcosC 1,a 3，求ABC的周長.18 （ 12 分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且BAP CDP 90 .（ 1）證明：平面PAB平面PAD；（ 2）若PA=PD=AB=DC，APD 90 ，求二

9、面角A- PB-C的余弦值.19（12 分）為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16 個零件，并測量其尺寸（單位：cm）根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N （ , 2）（ 1） 假設生產狀態正常，記 X表示一天內抽取的16 個零件中其尺寸在（3 ,3 ）之外的零件數，求P（X 1）及 X 的數學期望；（ 2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（3 ,3 ） 之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查（）試說明上述監控生產過程方法的合理性；（）下面是檢驗員在一天內抽取的1

10、6 個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 161 16經計算得x 1xi 9.97， s 1(xi x)216i1 i16i1 i116 22 2( xi2 16x2)20.212，16 i1 i其中xi 為抽取的第i 個零件的尺寸，i 1,2, ,16用樣本平均數x 作為 的估計值? ，用樣本標準差s 作為 的估計值? ，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除（ ? 3 ?, ? 3 ?） 之外的數據，用剩下的數據估計 和 （精確到0.01 ）附：若隨機變量

11、Z 服從正態分布N （ , 2） ，則 P（ 3 Z 3 ） 0.997 4 ，0.997 416 0.959 2 ，0.008 0.0920. ( 12 分)C：x2y2=1 (a>b>0)，四點P1(1,1 ) ，P2(0,1 ) ，P3(1，3 ) ，P4(1，a2 b223 ）中恰有三點在橢圓C上 .21）求C的方程；1 ，證明：l 過定點 .21. ( 12 分)f (x) ae2x (a 2)ex x1）討論f （x） 的單調性；2）若f （x） 有兩個零點，求a的取值范圍.10 分。請考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第22 選修4 4：坐標

12、系與參數方程 （ 10 分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為x 3cos , （ 為參數），直線l 的參數方y sin ,x a 4t程為（ t為參數） .y 1 t,1 ）若a=- 1 ，求C與l 的交點坐標；2）若C上的點到l 的距離的最大值為17 ，求a.23 選修4 5：不等式選講（ 10 分）f (x) x2 ax 4, g(x) | x 1| | x 1|2）設直線l 不經過P2點且與C相交于A， B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1 ）當 a 1 時，求不等式f （ x）g（ x）的解集；2）若不等式f（ x）g（x）的解集包含 1， 1，求 a的取值范圍201

13、7 年普通高等學校招生全國統一考試理科數學參考答案12 小題，每小題5 分，共 60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. A2B3B4C5D6C18. （ 12 分）解：7B8D9D10A11 D12A二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13 2 314 -5152316 4 15cm370 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據要求作答。60 分。2a17 （12 分）ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為a3sin A（ 1）求si

14、n Bsin C;（ 2）若6cosBcos C=1， a=3，求ABC的周長.解： （ 1 ）1 a21a由題設得ac sin B，即 csin B2 3sin A23sin A1 sin A由正弦定理得1sinCsinB sinA2 3sin A2故 sin BsinC 。312 ，即1 cos(B C)2)由題設及(1 )得cosBcosC sin Bsin C2所以 B C 2 ，故 A331 a2由題設得bc sin A，即 bc 82 3sin Ab2 c2 bc 9，即 (b c)2 3bc 9，得 b c 33故ABC的周長為3 331 )由已知BAP CDP 90 ，得 AB

15、 AP ， CD PD由于AB / / CD ，故AB PD ， 從而 AB 平面 PAD又 AB 平面PAB ，所以平面PAB 平面 PAD2)在平面PAD 內作 PF AD ，垂足為F由(1)可知，AB 平面 PAD ，故 AB PF ，可得 PF 平面 ABCD以 F 為坐標原點，FA的方向為x軸正方向，| AB | 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系F xyz1)及已知可得A( 2 ,0,0), P(0,0, 2), B( 2,1,0), C( 2 ,1,0)2222, CB ( 2,0,0), PA所以 PC (2,0,2 ), AB (0,1,0)設 n (x,y, z) 是平

16、面PCB的法向量，則PC 0, n CB 022即 2 x y 2 z 0, y0n (0, 1,2)設 m (x, y, z)是平面PAB的法向量，則m PA 0,2 x 2 z 0m , 即 2 x 2 z 0,m AB 0y0m (1,0,1)則 cos n, mnm 3|n|m|3319(1 )抽取的一個零件的尺寸在3所以二面角A PB C 的余弦值為312分)解：(3 ,3 ) 之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率為0.0026 ，故 X B(16,0.0026) ，因此P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.9974160.0408X 的數學期望為E

17、X 16 0.0026 0.04162) ( i )如果生產狀態正常，一個零件尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率只有0.0026 ，一天內抽取的16 個零件中，出現尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件的概率只有0.0408 ，發生的概率很小。因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的。( ii )由 x 9.97, s 0.212，得 的估計值為? 9.97, 的估計值為? 0.212，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外，因此需對當天的生產過程進行檢查。剔除 (

18、 ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的數據9.22，剩下數據的平均數為1(16 9.97 9.22) 10.0215的估計值為10.0216222xi2 16 0.2122 16 9.972 1591.134i1剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的數據9.22，剩下數據的樣本方差為1 (1591.134 9.222 15 10.022) 0.00815的估計值為0.008 0.0920. ( 12 分)解：1)由于P3, P4兩點關于y軸對稱，故由題設知C 經過P3,P4兩點1113又由 2222 知， C 不經過點P1 ，所以點P2 在 C 上a2 b2 a2 4b212a2 4b2解

19、得 a2 41 b2 12故 C 的方程為xy2 142)設直線P2A與直線P2B 的斜率分別為k1,k2如果 l 與 x軸垂直，設l : x t，由題設知t 0，且 |t | 2 ，可得 A, B 的坐標分別為4 t24 t2(t, 42t),(t,42t)則k1k24 t2 24 t221 ，得 t 2 ，不符合題設2t2t2x2從而可設l : y kx m(m 1) ，將 y kx m代入y 1 得4222(4k2 1)x2 8kmx 4m2 4 016(4k2 m2 1) 0設 A(x1, y1), B(x2, y2)，則x1 x28km24m 42, x1 x224k2 1 1 24

20、k2 1k1k2 y1 1 y2 1x1x2kx1 m 1kx2 m 1x1x22 kx1x2 (m 1)(x1 x2 )x1x2k1k21 ，故(2k 1)x1x2 (m 1)( x1 x2) 0即 (2k 1)24m 48km2 (m 1)204k2 14k2 1m1解得 k m 12當且僅當m 1 時，0，于是l:ym1x m，2所以 l 過定點 (2, 1)21. ( 12 分)解：1 ) f (x) 的定義域為(,) ， f (x) 2ae2x(a 2)ex 1 (aex 1)(2ex1)i )若 a 0 ，則 f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在 (,) 單調遞減 ii )若

21、 a 0 ，則由 f (x) 0 的 x ln ax (, ln a) 時， f (x) 0； x ( ln a, ) 時， f (x) 0所以 f (x) 在 (, ln a)單調遞減，在( ln a, ) 單調遞增。( 2) ( i )若 a 0，由(1)知， f(x) 至多有一個零點( ii ) 若 a 0 ， 由 ( 1 ) 知 ， 當 x ln a 時 ， f(x) 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 為1f ( ln a) 1 ln aa 當 a 1 時，由于f ( ln a) 0 ，故 f ( x)只有一個零點；1 當 a (1,)時，由于 1 ln a 0，即 f ( ln a) 0 ，故 f(x) 沒有零a點；1 當 a (0,1)時， 1 ln a 0，即 f ( ln a) 0又 a又 f ( 2) ae 4 (a 2)e 2 2 2e 2 2 0，故 f(x) 在 (, ln a)有一個零點。3設正整