1、選修選修4 4系列系列選修選修4444坐標系與參數方程坐標系與參數方程知識梳理-3-知識梳理雙基自測234165知識梳理-4-知識梳理雙基自測2341652.極坐標系與極坐標(1)極坐標系:如圖所示,在平面內取一個O,叫做極點,自極點O引一條Ox,叫做極軸;再選定一個單位,一個單位(通常取)及其正方向(通常取方向),這樣就建立了一個極坐標系.(2)極坐標:設M是平面內一點,極點O與點M的叫做點M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數對叫做點M的極坐標,記為.定點 射線 長度 角度 弧度 逆時針 距離|OM| xOM (,) M(,) 知識梳理-5-知識梳

2、理雙基自測2341653.極坐標與直角坐標的互化(1)設點P的直角坐標為(x,y),它的極坐標為(,),(2)把直角坐標轉化為極坐標時,通常有不同的表示法(極角相差2的整數倍).一般取0,0,2).知識梳理-6-知識梳理雙基自測2341654.直線的極坐標方程(1)若直線過點M(0,0),且與極軸所成的角為,則直線的方程為:sin(-)=.(2)幾個特殊位置的直線的極坐標方程直線過極點:=0和;直線過點M(a,0),且垂直于極軸:;0sin(0-) =+0 cos =a sin =b 知識梳理-7-知識梳理雙基自測2341655.圓的極坐標方程(1)若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為

3、.(2)幾個特殊位置的圓的極坐標方程圓心位于極點,半徑為r:=;圓心位于M(a,0),半徑為a:=;r 2acos 2asin 知識梳理-8-知識梳理雙基自測234165參數方程 參數 y0+tsin 知識梳理-9-知識梳理雙基自測234165a+rcos b+rsin acos bsin 2pt2 2pt 知識梳理2-10-知識梳理雙基自測3415 答案 答案關閉(1)(2)(3)(4)(5)知識梳理-11-知識梳理雙基自測23415 答案解析解析關閉 答案解析關閉知識梳理-12-知識梳理雙基自測23415 答案解析解析關閉 答案解析關閉知識梳理-13-知識梳理雙基自測234154.(201

4、8北京,理10)在極坐標系中,直線cos +sin =a(a0)與圓=2cos 相切,則a=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉知識梳理-14-知識梳理雙基自測23415 答案解析解析關閉 答案解析關閉-15-考點1考點2考點3考點4考點5考向一直角坐標方程化為極坐標方程例1在平面直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若直線C3的極坐標方程為 (R),設C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.思考如何把直角坐標方程化為極坐標方程? -16-考點1考點2考點3考點4

5、考點5-17-考點1考點2考點3考點4考點5考向二極坐標方程化為直角坐標方程例2在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為 以極點O為直角坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系.(1)求曲線C的直角坐標方程;(2)設曲線C與x軸、y軸的正半軸分別交于點A,B,P是曲線C上一點,求ABP面積的最大值.思考如何把極坐標方程化為直角坐標方程?-18-考點1考點2考點3考點4考點5-19-考點1考點2考點3考點4考點5-20-考點1考點2考點3考點4考點5解題心得1.直角坐標方程化為極坐標方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入化簡即可.2.極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形,構造形如co

6、s ,sin ,2的形式,進行整體代換.其中方程的兩邊同乘(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法.對點訓練對點訓練1(1)在平面直角坐標系xOy中,圓C1:(x-3)2+y2=9,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C2的圓心的極坐標為 ,半徑為1.求圓C1的極坐標方程;設圓C1與圓C2交于A,B兩點,求|AB|.-21-考點1考點2考點3考點4考點5(2)在極坐標系下,已知圓O:=cos +sin 和直線l: 以極點為直角坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系.求圓O和直線l的直角坐標方程;當(0,)時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標.-22-考點1考點2考點3

7、考點4考點5-23-考點1考點2考點3考點4考點5-24-考點1考點2考點3考點4考點5(1)寫出橢圓C的參數方程及直線l的普通方程;(2)設A(1,0),若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等,求點P的坐標.思考參數方程與普通方程的互化的基本方法是什么?-25-考點1考點2考點3考點4考點5-26-考點1考點2考點3考點4考點5解題心得1.參數方程化為普通方程的基本方法就是消參法,常用的消參技巧有代入消元、加減消元、平方后再加減消元等.對于與角有關的參數方程,經常用到公式sin2+cos2=1;在將曲線的參數方程化為普通方程時,還要注意其中的x,y的取值范圍,即在消去參數的過

8、程中一定要注意普通方程與參數方程的等價性.2.直線、圓、圓錐曲線的普通方程有其較為固定的參數方程,只需套用公式即可.-27-考點1考點2考點3考點4考點5對點訓練對點訓練2(2018江西六校聯考)在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為 (其中t為參數).在以原點O為極點,以x軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為=4sin .(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程;(2)設M是曲線C上的一動點,OM的中點為P,求點P到直線l的距離的最小值.-28-考點1考點2考點3考點4考點5-29-考點1考點2考點3考點4考點5(1)寫出曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程;(2)

9、若射線OM:=0(0)平分曲線C2,且與曲線C1交于點A,曲線C1上的點B滿足AOB= ,求|AB|.思考在極坐標系中,如何求兩點之間的距離?-30-考點1考點2考點3考點4考點5-31-考點1考點2考點3考點4考點5解題心得1.在極坐標系中求兩點間的距離,可以結合極坐標系刻畫點的位置、圖形中點的對稱等均可求得兩點間的距離;也可以利用點的極坐標與直角坐標的互化公式,將點的極坐標轉化為直角坐標,然后利用平面直角坐標系中兩點間的距離公式求A,B兩點間的距離.2.在極坐標系中,經過極點的直線上兩點A(1,),B(2,)的距離|AB|=|2-1|.-32-考點1考點2考點3考點4考點5對點訓練對點訓練

10、3在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;-33-考點1考點2考點3考點4考點5解:(1)設P的極坐標為(,)(0),M的極坐標為(1,)(10). 由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程=4cos (0).因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設點B的極坐標為(B,)(B0).由題設知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面積-34-考點1考點2考點3考點4考點5例5(2018全國,理22)

11、在平面直角坐標系xOy中,O的參數方程于A,B兩點.(1)求的取值范圍;(2)求AB中點P的軌跡的參數方程.思考如何利用直線的參數方程求直線與曲線相交的弦長?-35-考點1考點2考點3考點4考點5解:(1)O的直角坐標方程為x2+y2=1. -36-考點1考點2考點3考點4考點5解題心得求直線與圓錐曲線相交所得的弦長,可以利用直線參數方程中t的幾何意義,即弦長=|t1-t2|.-37-考點1考點2考點3考點4考點5對點訓練對點訓練4已知直線l在直角坐標系xOy中的參數方程為 (t為參數,為傾斜角),在以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標中,曲線C的極坐標方程為=4cos .(1)寫出曲線C的直角坐標方程;(2)若曲線C與直線l相交于不同的兩點M,N,設P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范圍.-38-考點1考點2考點3考點4考點5-39-考點1考點2考點3考點4考點5-40-考點1考點2考點3考點4考點5(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:(cos +sin )- =0,M為l3與C的交點,求M的極徑.思考求解參數方程與極坐標方程綜合問題的一般思路是什么?-41-考點1考點2考點3考點4考點5解:(1)消去參數t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); -42-考點1考點2考點3考點4考點5解題心得求解極坐標