1、關(guān)于二項式定理各種題型歸納現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁，共39頁 二項式定理二項式定理222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC11二項式展開的通項二項式展開的通項rr -nrnrbaCT1復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知第第 項項1r現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁，共39頁性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)性質(zhì)1 1在二項展開式中，與首末兩端等在二項展開式中，與首末兩端等 距離的任意兩項的二項式系數(shù)相等距離的任意兩項的二項式系數(shù)相等. .性質(zhì)性質(zhì)2 2：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一 項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的 冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的

2、二項式系冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系 數(shù)最大；數(shù)最大；nnnknnnnCCCCC2210 性質(zhì)性質(zhì)3 3：性質(zhì)性質(zhì)4 4：( (a+b)a+b)n n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系的展開式中，奇數(shù)項的二項式系 數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和. .現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁，共39頁題型一題型一 利用利用 的二項展開式解題的二項展開式解題na b解法解法1 1413xx4043Cx例例1 1 求求 的展開式的展開式413xx31413Cxx22241(3) ()Cxx3341(3)()Cxx4441()Cx221218110854xxxx直接用二項直接用二項式定理展開式定

3、理展開現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁，共39頁題型一題型一 利用利用 的二項展開式解題的二項展開式解題na b例例1 1 求求 的展開式的展開式413xx解法解法2 2413 xx4231xx04421(3 )Cxx134(3 )Cx224(3 )Cx34(3 )C x44C43221(8110854121)xxxxx221218110854xxxx化簡后再展開化簡后再展開現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁，共39頁例題例題2 2 若若,( 2 1)2,nnnn Nab(,)nna bZnb,則則 的值的值( )A A 一定為奇數(shù)一定為奇數(shù)C C 一定為偶數(shù)一定為偶數(shù)B B 與與n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 與與

4、n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:2(12)nnnab0nC12nC22( 2)nC33( 2)nC( 2)nnnCnb0nC22( 2)nC44( 2)nC所以所以 為奇數(shù)為奇數(shù) 故選故選( (A)A)nb思考思考 能用特殊值法嗎能用特殊值法嗎? ?偶偶奇A現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁，共39頁熟記二項式定理熟記二項式定理, ,是解答與二項式定理有關(guān)是解答與二項式定理有關(guān)問題的前提條件問題的前提條件, ,對比較復(fù)雜的二項式對比較復(fù)雜的二項式, ,有時有時先化簡再展開更便于計算先化簡再展開更便于計算. .例題點評例題點評現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁，共39頁題型二利用通項求符合要求的項或項的系數(shù)例例3 3 求求

5、 展開式中的有理項展開式中的有理項93xx解:1132919( ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr 或3344492734( 1)846rrTC xx 99331092793( 1)6rrTC xx 原式的有理項為原式的有理項為: :4484Tx310 xT現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁，共39頁例例4(044(04全國卷全國卷) )81()xx的展開式中的展開式中 的的系數(shù)為系數(shù)為_5x解解: : 設(shè)第設(shè)第 項為所求項為所求1r 12818()rrrrTC xx288( 1)rrrrC xx 3288( 1)rrrC x 38522

6、rr由可得5x228( 1)28C的系數(shù)為的系數(shù)為現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁，共39頁.)2(. 510和第四項的系數(shù)項式系數(shù)的展開式中第四項的二求例xx 分析：第 k+1 項的二項式系數(shù) - 第 k+1 項的系數(shù)-具體數(shù)值的積。cnk解解：.9608c- .120,)2()() 1(310310373103134第四項的系數(shù)是數(shù)是所以第四項的二項式系因為cxxcTT現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁，共39頁求二項展開式的某一項求二項展開式的某一項, ,或者求滿足某種條或者求滿足某種條件的項件的項, ,或者求某種性質(zhì)的項或者求某種性質(zhì)的項, ,如含有如含有x x 項項的系數(shù)的系數(shù), ,有理項有理項, ,常數(shù)項等常

7、數(shù)項等, ,通常要用到二項通常要用到二項式的通項求解式的通項求解. . 注意注意(1)(1)二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別. . (2) (2) 表示第表示第 項項. .3rrnrnrbaCT1r例題點評例題點評現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁，共39頁題型3 二項式定理的逆用011222112122nnnn nnnnnCCCC原 式(1 2)3nn 例例6 6 計算并求值計算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):將原式變形將原式變形現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁，共39頁題型3 二項式定理的逆用例例7 7 計

8、算并求值計算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁，共39頁 例題點評例題點評逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)的難點的難點, ,也是重點也是重點, ,只有熟練掌握公式的正只有熟練掌握公式的正用用, ,才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁，共39頁題型題型4 4 求多項式的展開式中特

9、定的項求多項式的展開式中特定的項( (系數(shù)系數(shù)) )例例8 82345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展開式中的展開式中, , 的系數(shù)等于的系數(shù)等于_2x解解: :仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得 的系的系 數(shù)是數(shù)是2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 解法解法2 2運(yùn)用等比數(shù)列求和公式得5(1)1 (1) 1 (1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展開式中的展開式中,含有含有 項的系數(shù)為項的系數(shù)為6(1)x3x3620C 所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為-202x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁，共39頁ttxC)3(1212382

10、4)31 ()21 ()1 (xxxxxx例例9 9求求 展開式中展開式中 的系數(shù)。的系數(shù)。4xrrxC)(44x解解: :可逐項求得可逐項求得 的系數(shù)的系數(shù)8)21 (x的展開式通項為的展開式通項為ssxC)2(8當(dāng)當(dāng) 時時2s112428C系數(shù)為系數(shù)為12)31 (x的展開式通項為的展開式通項為1t當(dāng)當(dāng) 時時363112C系數(shù)為系數(shù)為所以所以 展開式中展開式中的系數(shù)為的系數(shù)為123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展開式通項為的展開式通項為當(dāng)當(dāng) 時時3r系數(shù)為系數(shù)為-4-4現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁，共39頁求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項求復(fù)雜的代數(shù)式

11、的展開式中某項( (某項某項的系數(shù)的系數(shù)),),可以逐項分析求解可以逐項分析求解, ,常常對所常常對所給代數(shù)式進(jìn)行化簡給代數(shù)式進(jìn)行化簡, ,可以減小計算量可以減小計算量例題點評例題點評現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁，共39頁題型題型5 5 求乘積二項式展開式中特定的項求乘積二項式展開式中特定的項( (特特 定項的系數(shù)定項的系數(shù)) )例題例題10:10:求求 的展開式中的展開式中 項項 的系數(shù)的系數(shù). .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通項是的通項是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通項是的通項是1622556( 1)

12、 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通項是的通項是65(1) (21)xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁，共39頁由題意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252) 1(CC所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例題點評例題點評對于較為復(fù)雜的二項式與二項式乘積利用兩對于較為復(fù)雜的二項式與二項式乘積利用兩個通項之積比較方便運(yùn)算個通項之積比較方便運(yùn)算現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁，共39頁（題型題型6 6）求展開式中各項系數(shù)和求展開式中各項系數(shù)和解：設(shè)解：設(shè)展開式各項系數(shù)和為展開式各項系數(shù)和為1例題點評

13、例題點評求展開式中各項系數(shù)和常用賦值法：令二項求展開式中各項系數(shù)和常用賦值法：令二項 式中的字母為式中的字母為1 1naaaa210上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=1x=1時，時， (2-1) (2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例例11. 11. 的展開式的各項系數(shù)和為的展開式的各項系數(shù)和為_nx) 12(2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁，共39頁題型題型7 7：求奇數(shù)：求奇數(shù)( (次次) )項偶數(shù)項偶數(shù)( (次次) )項系數(shù)的和項系數(shù)的和776016712(31)xa xa x

14、a xa例已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf設(shè)解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁，共39頁題型題型7 7：求奇數(shù)：求奇數(shù)( (次次) )項偶數(shù)項偶數(shù)( (次次) )項系數(shù)的和項系數(shù)的和7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf設(shè)解7210) 1 (aaaaf7321

15、0) 1(aaaaaf是負(fù)數(shù)因為7531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7) 4() 1( f（3）74776016712(31)xa xa xa xa例已知現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁，共39頁例題點評例題點評求二項展開式系數(shù)和，常常得用求二項展開式系數(shù)和，常常得用賦值法賦值法，設(shè)，設(shè)二項式中的字母為二項式中的字母為1或或-1，得到一個或幾個等，得到一個或幾個等式，再根據(jù)結(jié)果求值式，再根據(jù)結(jié)果求值現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁，共39頁題型題型8 8 三項式轉(zhuǎn)化為二項式三項式轉(zhuǎn)化為二項式展開式中的常數(shù)項求例8)11(13xx解：三項式不能用二項式定理解：三項式不能用二項式定理

16、,必須轉(zhuǎn)化為二項式必須轉(zhuǎn)化為二項式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二項式定理逐項分析常數(shù)項得再利用二項式定理逐項分析常數(shù)項得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=1107現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁，共39頁的系數(shù)是的展開式中例xxx52)23(14_解：解：原式化為523)2(xx其通項公式為其通項公式為rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指數(shù)為要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系數(shù)為所以x240240例題點評括號里含有三項的情況可以把

17、某兩項合并為一項括號里含有三項的情況可以把某兩項合并為一項,合合并時要注意選擇的科學(xué)性并時要注意選擇的科學(xué)性.也可因式分解化為乘積二也可因式分解化為乘積二項式項式.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁，共39頁題型題型9 9 求展開式中系數(shù)最大求展開式中系數(shù)最大( (小小) )的項的項與最大二項式系數(shù)的比求其項的最大系數(shù)的展開式中在例，x20) 32(15解解: :設(shè)設(shè) 項是系數(shù)最大的項項是系數(shù)最大的項, ,則則1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r項系數(shù)最大的項是即二項式系數(shù)最大的項為第11項,即10

18、20C所以它們的比是137102012812203211532CC現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁，共39頁例例16 16 在在 的展開式中，系數(shù)的展開式中，系數(shù)絕對值絕對值最大的項最大的項 20)23 (yx解：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第解：設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1r+1項，則項，則1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以當(dāng)所以當(dāng) 時，系數(shù)絕對值最大的項為時，系數(shù)絕對值最大的項為8r812812820923yxCT現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第27頁，共39頁例例1717求求 的展開式中的展開式中數(shù)值

19、數(shù)值最大的項最大的項50)21 ( 211rrrrTTTT解：設(shè)第解：設(shè)第 項是是數(shù)值最大的項項是是數(shù)值最大的項1r展開式中展開式中數(shù)值數(shù)值最大的項是最大的項是29295030) 2(CT 115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28 r29r現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第28頁，共39頁211rrrrTTTT解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第 項是系數(shù)最項是系數(shù)最大的項，則有大的項，則有1r由此確定由此確定r r的取值的取值例題點評例題點評現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第29頁，共39頁題型題型10 10 整除或余數(shù)問題整除或余數(shù)問

20、題例例1818。的余數(shù)除以求1009192解解: :9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各項均能被前面各項均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能被100100整除整除929929192290929029291192929292) 1(1010101010) 110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余數(shù)是被可見余數(shù)為余數(shù)為正整數(shù)正整數(shù)注意現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第30頁，共39頁整除性問題，余

21、數(shù)問題，主要根據(jù)二項式整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的特點，進(jìn)行添項或減項，湊成能整定理的特點，進(jìn)行添項或減項，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項,再再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)例題點評例題點評現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第31頁，共39頁題型題型11 11 證明恒等式證明恒等式121123219nnnnnnnnCCCC求證例析析: :本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和. .因為因為 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnC

22、CCCCC110,nnnnnnnnnnCCnCCCCS13110) 1(320:設(shè)解nnnnnnnnCCCnCnnCS0)2() 1(1210兩式相加兩式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第32頁，共39頁例題點評例題點評利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等式是一種利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等式是一種最常見的方法最常見的方法,證明等式常用下面的等式證明等式常用下面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第33頁，共39頁例例2020證明證明： 3)11 (2nn1*

23、nNn且當(dāng)2111111)11 (22221 nCnCnCnnnnn證明證明!11!1!) 1() 1(1knknnkknnnnCkkkkkh 通項通項nnnnnnnCnCnCn1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn321121n3)11 (2nn所以所以題型題型12 12 證明不等式證明不等式現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第34頁，共39頁例題點評例題點評利用二項式定理證明不等式利用二項式定理證明不等式, ,將展開式將展開式進(jìn)行合理放縮進(jìn)行合理放縮現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第35頁，共39頁題型題型13 13 近似計算近似計算例例21.21.某公司的股票今天的指數(shù)為某公司的股票今天的指數(shù)為2,2,以后每天的指以后每天的指 數(shù)都比上一天的指數(shù)增加數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%,0.2%,則則100100天后這天后這 公司的股票股票指數(shù)為公司的股票股票指數(shù)為_(_(精確到精確到0.0010.001) )解解: :依題意有依題意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 1001002(10.002)012210