1、微分幾何課程教學大綱課程名稱微分幾何課程編碼131510009課程類型（學院內）跨專業課程適用范圍數學與應用數學學分數3先修課程數學分析、線性代數、空間解析幾何、常微分方程學時數48其中實驗學時其中實踐學時考核方式考試制定單位數學與信息科學學院執筆者 審核者00一、教學大綱說明（一）課程的性質、地位、作用和任務該課程是本科數學專業的專業選修課。要求掌握全縣曲面論基本理論和活動標架法，培養幾何素養。為今后學習現代微分幾何等下基礎。（二）教學目的和要求目的：培養學生的幾何素養，為今后學習現代微分幾何打好基礎，病使之具備一定的科學研究能力。要求學生掌握：空間曲線、一般螺線與曲面的概念及性質。曲面的第

2、一和第二基本形式，可展曲面。理解：曲線和曲面的基本理論。了解：測地線、常高斯曲率的曲面。（三）課程教學方法與手段采用理論與習題相結合的教學方法。（四）課程與其它課程的聯系本課程是后續專業課，它需要具備解析幾何、數學分析、微分方程等課程的基本知識、基本理論，和與本課程平行開設拓撲學有一定聯系。本課程是學生將來進行專業學習時學習整體微分幾何、微分流形等課程的基礎；又是現代實、復分析的重要基礎。（五）教材與教學參考書教材：梅向明、黃敬之， 微分幾何 (第四版)， 高等教育出版社，2008年5月參考書： 1、吳大任，微分幾何講義2、陳維桓等，微分幾何講義2006年6月二、課程的教學內容、重點和難點教學

3、內容：三維空間中經典的曲線和曲面的局部理論。教學重點：本課程的重點是空間曲線和曲面論的基本概念、技巧、方法和理論。教學難點：抽象性及用微分方程解決幾何問題。第一章 曲線論第一節 向量函數1、教學內容向量函數的極限、連續、微分、Taylor展式及積分、向量函數具有固定長的充要條件等。2、教學重點向量函數的微積分學。3、教學難點向量函數的微積分學的基本運算及其性質。 第二節 曲線的概念1、教學內容曲線的基本概念、切線和法面的求法，曲線的弧長，自然參數的引進。2、教學重點基本概念及其幾何意義，切線、法面、弧長的計算。3、教學難點掌握曲線方程的各種表達形式、弧長的計算。第三節 空間曲線1、 教學內容曲

4、線的密切面、基本三棱形，曲率、撓率、Frenet公式，曲線的局部結構和基本定理。2、教學重點密切面、曲率、撓率的計算，Frenet公式的運用。 3、教學難點Frenet公式的運用，曲線的局部結構和基本定理的理解。 第二章 曲面論第一節 曲面的概念1、教學內容簡單曲面的參數表示，曲面的法線、切面，曲面的曲線（族）網。2、教學重點簡單曲面及其上面曲線族（網）的特征，曲面的法線、切面的求法等。 3、教學難點簡單曲面及其上面曲線族（網）的特征，曲面的法線、切面的求法等。 第二節 曲面的第一基本形式1、教學內容曲面的第一基本形式，曲面上曲線的弧長、兩相交曲線的交角、曲面域面積的計算，等距（角）變換等。2

5、、教學重點曲面第一基本形式及相關量的計算。 3、教學難點曲面第一基本形式相關量的計算，第一基本形式幾何意義的理解等。 第三節 曲面的第二基本形式1、教學內容曲面的第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸進（線）方向、共扼方向、主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部結構等。2、教學重點理解曲面第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸進（線）方向、共扼方向、主方向和曲率線。 3、教學難點曲面主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意義，會進行它們的計算。 第四節 直紋面與可展曲面1、教學內容直紋面、可展曲面。2、教學重點直紋面和可展曲面的定義與基本特征及判定定理，包絡線（面）的求法。3、教學難點可展曲面包絡線（面）的求法。 第五節 曲面論的基本定理1、 教學內容曲面論的基本定理及相關概念。2、教學重點曲面的第一、二類基本量滿足的方程。 3、教學難點曲面的曲率張量等符號的記法與特點，曲面論的基本定理的內容等。 第六節 曲面上的測地線（自學）第七節 常Gauss曲率的曲面（自學）三、學時分配教