1、(22)，221.0,04xmymm若原點在圓的內部，則實數 的取值范圍是22422.mmm解析依題意，得所：，以(1)(4) ，22224380.xykxykk已知方程表示一個圓，則實數 的取值范圍是222244 38434041.kkkkkk 由，解得或解析：222xy3.0,020.xy以原點為圓心，且與直線相切的圓的方程為22| 2|212122.rxy， 所求圓的方程為解析：225610 xy4,96,3.4.PQPQ已知兩點，則以線段為直徑的圓的方程為225,664394362|102PQPQMMPQPQr 因為為直徑，所以的中點為該圓的圓心，即， 又因為， 所以解 析:，2232

2、25xy1,1(22)10.5CABlxyC 已知圓心為 的圓經過和，且圓心在直線 ：上，則圓 的標準方程是222222(1)11 1212353225.aaaaaaarxy 設圓心坐標為 ，則有，解得，所以，故圓的方程是解析：圓的標準方程圓的標準方程 【例1】求經過點A(0,5)，且與直線x2y0和2xy0都相切的圓的方程 2222222222()()15(5),3152255 555(1)(3)5(5)(15)125.xaybraaabrrbbababrrxyxy由于已知條件與圓心、半徑有關，故設圓的標準方程，從而求出圓的方程設所求圓的方程為 ， 則解得或所以圓的方程為 或 【解析】 在用

3、待定系數法求圓的方程時，要善于根據已知條件來選擇圓的方程如果已知圓心、半徑或圓心到直線的距離，通常可用圓的標準方程；如果已知圓經過某些點，通常采用圓的一般式方程 3017yxyyx一個圓與 軸相切，圓心在直線 上，且在直線 上截得的【變式練弦長為2，求習】此圓的方程22222222222().303 .(3 )()32 7| 2 |79721133.(3)(1)9(3)(1O abrxyabyraxbybbyxyxbdrbbbaaxyxy設圓的圓心坐標為， ，半徑為因為圓心在直線 上，所以 又圓與 軸相切，所以 所以所求圓的方程可設為 因為圓在直線 上截得的弦長為所以圓心到直線 的距離解得 或

4、 ，則 或 所以所求圓的方程為 或 【析】解2)9.圓的一般方程圓的一般方程 【例1】已知過A(0,1)和B(4，a)且與x軸相切的圓只有一個，求a的值及圓的方程 2222220.104160(0)0401(1)41604xyDxEyFABEFDaEFaxyDFEFa DDaa設所求圓的方程為 因為點 、 在此圓上，所以 ， ，又知該圓與 軸 直線 相切，所以由 ， ，由、消去【、 可得解析】： ，2222145410081716.01.081716014540.aDEFaaDEFaaxyxyaxyxy由題意方程有唯一解，當 時， ， ， ；當時，由 可解得 ，這時 ， ， 綜上可知，所求 的

5、值為 或當 時，圓的方程為 ；當 時，圓的方程為 與坐標軸相切時圓的方程求解及其參數的求解問題，方程形式選用要靈活如果已知圓心、半徑或圓心到直線的距離，通常可用圓的標準方程；如果已知圓經過某些點，通常采用圓的一般式方程 【變式練習2】已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示的圖形是一個圓(1)當圓的面積最大時，求圓的方程；(2)若點P(3,4m2)恒在所給的圓內，求實數m的取值范圍 2224222222212(3)2(14)1690(3)(14)761.761316 7()77xymxmymxmymmmrmmm將方程 化為 要使圓的面積最大，需半徑最大 而 【解析】，222

6、11731677241316()()7497mmrxy它是一個一元二次函數，其圖象的開口向下因為，所以當 時， 取得最大值此時圓的方程為 22222422346(3)2(14) 41690386004mmmmmmmmP當且僅當 即，即時，點 在圓內與圓有關的軌跡問題與圓有關的軌跡問題 12121214()23OOOOPOOPMPN MNPMPNP如圖，與的半徑都是 ， ，過動點 分別作、的切線、 分別為切點 ，使得，試建立適當的坐標系，求動點 的軌【例 】跡方程12121222(2,0)2,022OOOOOxOOPMPNPMPN以的中點 為原點，所在的直線為 軸，建立平面直角坐標系，則，由已【

7、知，得解析】，22122222222222112(1)()(2)12(2)1(6)33(6)33(1230)POPOP xyxyxyxyxyxyx因為兩圓的半徑均為 ，所以 設， ，則 ，即 ，所以所求軌跡方程為 或 求軌跡方程的步驟通常可以簡化為(1)建系，設點；(2)列式；(3)化簡坐標系的選取決定著方程化簡的繁簡，設點時，通常求哪個點的軌跡方程，就假設那個點的坐標為(x，y)，同時，解題中還需區分軌跡方程與軌跡 【變式練習3】已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數，求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 22222(,0),0()|ABaAaB aM xyMAMBxayxay

8、 建立坐標系如圖所示，設， 則，設，是軌跡上任意一點， 則由題設，得 ，坐標代入， 【解析】 得 ， 222222222222222(1)(1)2 (1)(1)0.110()2121210(0)1121xyaxaMAMBMxMyMxyaaxaMa 化簡得 當 時，即時，點的軌跡方程是 ，即點的軌跡是直線軸 ，當時，點的軌跡方程是 點的軌跡是以 ，為圓心，為半徑的圓與圓有關的最值問題與圓有關的最值問題 2222410.24(1)3xyxyxyxyxxy已知實數 、 滿足方程 求：的最大值和最小值； 的最大值和最小值； 的最大值【例 】和最小值 2222(2)32,031()(2)333xyyxy

9、xxyyx原方程化為 ，它表示圓心為，半徑為的圓表示圓上的點 ， 與原點連線的斜率過原點作圓 的切線，則兩切線的斜率分別是最大值和最小值通過畫圖可求得的最大值為，最小【析】值為解 2222222241022(2)10.()4(2)8(1)4(42)026262626yxmyxmxyxxmxmxymmmmmyx令 ， 則將 代入方程 ， 并化簡，得 因為點 ，在圓和直線上，即上述方程有實數解， 所以 ，解得 ，所以 的最大值為 ，最小值為 222233223(23)74 3(23)74 3ABOAOBxy過原點和圓心的直線與圓交于兩點 、 ，則 ， 所以 的最大值為 ，最小值為 涉及到圓上的點(

10、x，y)的最大值和最小值問題，可借助于圖形，了解所求量的幾何意義，用數形結合來解有下列幾類： 就是圓上的點(x，y)與點(a，b)的連線的斜率；yx就是直線yxm在y軸上的截距；yx是直線yxm在y軸上的截距；(xa)2(yb)2就是圓上的點(x，y)與點(a，b)的距離的平方 ybxa【變式練習4】求圓(x2)2(y3)24上的點到xy20的最近、最遠距離 22(2)(3)4(23)2.(23)20| 232|7 2227 2227 22.2xyrxy由圓的方程 易知圓心坐標為， ，半徑 而， 到直線 的距離為故圓上的點到直線的最遠距離為 ，最【近距離為】解析1.點P(2，1)是圓(x1)2

11、y225內弦AB的中點，則直線AB的方程為_xy301,0121111230.OPOABkkAByxxy【解析依題意，圓心坐標為，所以直線的斜率 -由點斜式得直線的】方程為 ，即 22111xy1.2xy圓心在第二象限，半徑為 ，并且與 、 軸都相切的圓的方程為221,11111.xy圓心為，半徑為 ，圓的方程為解析：3.若圓C：x2y22x4y10關于直線l：2axby20(a，bR)對稱，則ab的取值范圍是 _1(4 ，2( 1,2)11()241(4Cabababab圓 的圓心坐標為，則有 ，所以 ，即的取值【范圍是 ，解析】4.(1)求經過點A(5,2)，B(3,2)，圓心在直線2xy

12、30上的圓的方程；(2)求以O(0,0)，A(2,0)，B(0,4)為頂點的三角形OAB的外接圓的方程. 22222222221()23045(5)(2)(5)(2)10,(4)(5)10.20.02404160240.C abababababrxyxyDxEyFFDFEFxyxy設圓心， ，則有，解得所以半徑 則所求圓的方程為 設圓的方程為 將三個已知點的坐標代入得故所求圓的方程【解析為 】 2()(0)125.24C tttxtOAyOBOOAByxCMNOMONCR已知：以點，為圓心的圓與 軸交于點 ， ，與 軸交于點 ， ，其中 為原點求證：的面積為定值；設直線 與圓 交于點， ，若，

13、求圓 的方程V222222212124(1)24()()400002114|2422OABCOOCttCxtytttxyyyxxttSOA OBttOABVV因為圓 過原點 ，所以 設圓 的方程是 令 ，得 ， ；令 ，得 ， ，所以 ，即的面積【解析】為定值 2.1221.22122222,15MNOCOMONCMCNOCMNkkOCyxtttttCOC因為，所以的垂直平分線段為因為 ，所以 ，所以直線的方程是 所以 ，解得： 或 ，當 時，圓心 的坐標為，2212455242(21)592455242(2)(1)5.CyxdCyxtCOCCyxdCyxtCxy 此時 到直線 的距離 ， 圓

14、 與直線 相交于兩點 當 時，圓心 的坐標為 ， ， 此時 到直線 的距離 ， 圓 與直線 不相交，所以 不符合題意舍去 所以圓 的方程為 1在討論含有字母參變量的圓方程問題時，始終要把“方程表示圓的條件”作為首要條件，也可以理解為“定義域優先”的拓展 2圓的標準方程和一般方程都含有三個參數，因此，要具備三個獨立已知條件才能確定一個圓求圓的方程時，若能根據已知條件找出圓心和半徑，則可直接用標準形式寫出圓的標準方程；若已知條件與圓心、半徑關系不大，則用一般式方便如果通過點才方便解題或問題是求與圓上的點有關的最值問題，可考慮用圓的參數方程 3求圓的方程的方法： (1)幾何法，即通過研究圓的性質，以及點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關系，進而求得圓的基本量(圓心、半徑)和方程； (2)代數法，即用“待定系數法”求圓的方程，其一般步驟是：根據題意選擇方程的形式標準方程或一般方程(當然有時也可以選擇參數方程)；利用條件列出關于a，b，r或D，E，F