1、第九章 計數(shù)原理-2-9.1分類加法計數(shù)原理 與分步乘法計數(shù)原理-4-知識梳理雙基自測1.兩個計數(shù)原理 n類不同的方案 n個步驟 -5-知識梳理雙基自測2.兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)在分類加法計數(shù)原理中,某兩類不同方案中的方法可以相同. ()(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事. ()(3)在分步乘法計數(shù)原理中,只有各個步驟都完成后,這件事情才算完成. ()(4)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的. ()(5)如果完成一件事情有n個不同的步驟,在每一步中都有若干種

2、不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法. ()-7-知識梳理雙基自測234152.書架的第1層放有4本不同的語文書,第2層放有5本不同的數(shù)學書,第3層放有6本不同的體育書.從第1,2,3層各取1本書,則不同的取法種數(shù)為()A.3B.15C.21D.120D解析 由分步乘法計數(shù)原理,從1,2,3層各取1本書,不同的取法總數(shù)為456=120(種).故選D.-8-知識梳理雙基自測234153.如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18C.12 D.9B

3、解析 由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B.-9-知識梳理雙基自測234154.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,演出開始前又增加了2個新節(jié)目,如果將這2個新節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種類為()A.42B.30C.20D.12A解析 在已排好的5個節(jié)目產(chǎn)生的6個空檔中,第一個節(jié)目有6種排法,在6個節(jié)目產(chǎn)生的7個空檔中,第二個節(jié)目有7種排法,共67=42種.-10-知識梳理雙基自測234155.如圖,從A城到B城有3條路,從B城到D城有4條路;從A城到C城有4條路,從C城到

4、D城有5條路,則某旅客從A城到D城共有條不同的路線.32解析 不同路線共有34+45=32(條). -11-考點1考點2考點3例1(1)滿足a,b-1,0,1,2,且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為()A.14B.13C.12D.9(2)三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被傳遞給甲,則不同的傳遞方式共有種.思考使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則是什么?B6-12-考點1考點2考點3解析 (1)由于a,b-1,0,1,2,則當a=0時,有 為方程的實根,則b=-1,0,1,2,有4種;當a0時,方程有實根,=4-4ab0.

5、ab1. (*)()當a=-1時,滿足(*)式的b=-1,0,1,2,有4種;()當a=1時,滿足(*)式的b=-1,0,1,有3種;()當a=2時,滿足(*)式的b=-1,0,有2種.故由分類加法計數(shù)原理,滿足條件的有序數(shù)對(a,b)共有4+4+3+2=13(個).-13-考點1考點2考點3(2)分兩類:甲第一次傳遞給乙時,滿足條件的有3種方法(如圖), 同理,甲先傳遞給丙時,滿足條件的也有3種方法.由分類加法計數(shù)原理,共有3+3=6(種)傳遞方法.-14-考點1考點2考點3解題心得使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則:分類的劃分標準可能有多個,但不論是以哪一個為標準,都應遵循“標準要明確,不重不

6、漏”的原則,且完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類.-15-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練1(1)把甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五參加某項志愿者活動,要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面,則不同的安排方案共有()A.20種 B.30種C.40種 D.60種(2)小王同學在書店發(fā)現(xiàn)三本有價值的書,若決定買一本,則購買的方式有種;決定至少買一本,則購買的方式有種.A37-16-考點1考點2考點3例2(1)從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù),則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為()A.56B.54C.53D.52(2

7、)從集合1,2,3,4,10中,選出5個數(shù)組成子集,使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11,則這樣的子集個數(shù)為()A.32B.34C.36D.38思考應用分步乘法計數(shù)原理解決問題時如何分步?對分步有何要求?DA-17-考點1考點2考點3解析 (1)在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)共有87=56個對數(shù)值;但在這56個對數(shù)值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49, log32=log94,即滿足條件的對數(shù)值共有56-4=52個.(2)把集合中的數(shù)字分成5組:1,10,2,9,3,8,4,7,5,6.因為選出的5個數(shù),任意兩個數(shù)的和都不等于11,所以從每組中任選一個數(shù)

8、字即可,故共可組成22222=32個這樣的子集.-18-考點1考點2考點3解題心得利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時,要按事件發(fā)生的過程合理分步,并且分步必須滿足兩個條件:一是完成一件事的各個步驟是相互依存的,二是只有各個步驟都完成了,才算完成這件事.-19-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練2(1)有5盆菊花,其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆,現(xiàn)把它們擺放成一排,要求2盆黃菊花必須相鄰,2盆白菊花不能相鄰,則這5盆花不同的擺放種數(shù)是()A.12B.24C.36D.48(2)在運動會比賽中,8名男運動員參加100 m決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號

9、跑道上,則安排這8名運動員比賽的方式共有種.B2880-20-考點1考點2考點3解析 (1)由題意,第一步將2盆黃菊花捆綁在一起,有2種方法,第二步將捆綁在一起的黃菊花看作一個整體,與紅菊花擺放有2種方法,第三步將2盆白菊花插入三個空中,有32=6種方法,故不同的擺放種數(shù)為226=24,故選B.(2)分兩步安排這8名運動員.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四條跑道可安排.故安排方式有432=24種.第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排,所以安排方式有54321=120種.故安排這8人的方式共有24120=2 880種.-21-考點1考點2考點3例3(

10、1)某校在暑假組織社會實踐活動,將8名高一年級學生平均分配給甲、乙兩家公司,其中2名英語成績優(yōu)秀的學生不能分給同一個公司;另3名電腦特長學生也不能分給同一個公司,則不同的分配方案有()A.36種B.38種C.108種D.114種(2)如圖所示,用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A,B,C,D中,要求相鄰的矩形涂色不同,則不同的涂法有()A.72種B.48種C.24種D.12種AA-22-考點1考點2考點3解析 (1)由題意可得,有2類分配方案,第1類方案:甲公司要2名電腦特長學生有3種情況;要1名英語成績優(yōu)秀的學生有2種情況;再從剩下的3個人中選一人,有3種情況.故共有323=18種分配方案.第2

11、類方案:甲公司要1名電腦特長學生有3種情況;要1名英語成績優(yōu)秀的學生有2種情況;再從剩下的3個人中選2個人,有3種情況,故共323=18種分配方案.由分類計數(shù)原理,可得不同的分配方案共有18+18=36種,故選A.-23-考點1考點2考點3(2)方法一:首先涂A有4種涂法,則涂B有3種涂法,C與A,B相鄰,則C有2種涂法,D只與C相鄰,則D有3種涂法,所以共有4323=72(種)涂法.方法二:按要求涂色至少需要3種顏色,故分兩類:一是4種顏色都用,這時A有4種涂法,B有3種涂法,C有2種涂法,D有1種涂法,共有4321=24(種)涂法;二是用3種顏色,這時A,B,C的涂法有432=24(種),

12、D只要不與C同色即可,故D有2種涂法,所以不同的涂法共有24+242=72(種).-24-考點1考點2考點3解題心得在綜合應用兩個原理解決問題時,一般是先分類再分步.分類后分別對每一類進行計數(shù),在計算每一類時可能要分步,在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.-25-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練3(1)現(xiàn)有a,b,c,d,e共5人,從中選1名組長和1名副組長,但a不能當副組長,則不同選法的種數(shù)是()A.20B.16C.10D.6(2)如圖,用6種不同的顏色給圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則涂色方法共有種(用數(shù)字作答).B480-26-考點1考點2考點3解析 (1)當a當組長時,共有14=4(種)選法;當a不當組長時,因為a不能當副組長,則共有43=12(種)選法.因此共有4+12=16(種)選法.(2