1、中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式【考綱要求】1. 了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)單的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1分式設(shè)A、B表示兩個(gè)整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于零的整式）.3最簡(jiǎn)分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式如果分子分

2、母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).要點(diǎn)詮釋：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷（4）分式有無(wú)意義的條件：在分式中， 當(dāng)B0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，B0 當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)分式無(wú)意義時(shí)，B=0 當(dāng)B0且A = 0時(shí)，分式的值為零考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算1基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,具體運(yùn)算法則如下:（1）加減運(yùn)算

3、77;= 同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減. ；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.（2）乘法運(yùn)算 兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算 兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方2零指數(shù) .3負(fù)整數(shù)指數(shù) 4分式的混合運(yùn)算順序 先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的5約分 把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分約分需明確的問題：(1)對(duì)于一個(gè)分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個(gè)

4、因式，使約分前后分式的值相等；(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時(shí)確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積6通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分通分注意事項(xiàng)：(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積 (2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉 (3)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.要點(diǎn)詮釋

5、：分式運(yùn)算的常用技巧（1）順序可加法：有些異分母式可加,最簡(jiǎn)公分母很復(fù)雜,如果采用先通分再可加的方法很繁瑣.如果先把兩個(gè)分式相加減,把所得結(jié)果與第三個(gè)分式可加減,順序運(yùn)算下去,極為簡(jiǎn)便.(2)整體通分法：當(dāng)整式與分式相加減時(shí),一般情況下,常常把分母為1的整式看做一個(gè)整體進(jìn)行通分,依此方法計(jì)算,運(yùn)算簡(jiǎn)便.(3)巧用裂項(xiàng)法：對(duì)于分子相同、分母是相鄰兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積的分式相加減，分式的項(xiàng)數(shù)是比較多的，無(wú)法進(jìn)行通分，因此，常用分式進(jìn)行裂項(xiàng).(4)分組運(yùn)算法: 當(dāng)有三個(gè)以上的異分母分式相加減時(shí),可考慮分組,原則是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù),且值相同或?yàn)楸稊?shù)關(guān)系,這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便.(5)化簡(jiǎn)分式

6、法：有些分式的分子、分母都異常時(shí)如果先通分，運(yùn)算量很大.應(yīng)先把每一個(gè)分別化簡(jiǎn)，再相加減.（6）倒數(shù)法求值（取倒數(shù)法）.（7）活用分式變形求值.(8)設(shè)k求值法(參數(shù)法)(9)整體代換法.(10)消元代入法.考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程 3分式方程的增根問題(1)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會(huì)出現(xiàn)不適合原方程的根-增根；

7、(2)驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗(yàn)、解釋結(jié)果的合理性要點(diǎn)詮釋： 解分式方程注意事項(xiàng)：（1）去分母化成整式方程時(shí)不要與通分運(yùn)算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否

8、為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：(1)審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；(2)設(shè)合理設(shè)未知數(shù)；(3)列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗(yàn)檢驗(yàn)增根；(6)答答題考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)1.；2.；3.；4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.6.若，則.要點(diǎn)詮釋： 與的異同點(diǎn)：（1）不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)但與都是非負(fù)數(shù)，即，因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，

9、=；時(shí)，無(wú)意義，而.考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算1二次根式的乘除運(yùn)算(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個(gè)要求：應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；分母中不含根號(hào).(2)注意知道每一步運(yùn)算的算理；(3)乘法公式的推廣：2二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3二次根式的混合運(yùn)算(1)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.1.

10、明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過程中，對(duì)于各個(gè)根式不一定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，但最后結(jié)果一定要化簡(jiǎn).例如，沒有必要先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，通過約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的；(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公

11、式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.4分母有理化把分母中的根號(hào)化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.【典型例題】類型一、分式的意義1若分式的值為0，則x的值等于 【答案】1；析:由分式的值為零的條件得1=0，x+10，由1=0，得x=1或x=1，由x+10，得x1，x=1，故答案為1【總結(jié)升華】

12、若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0這兩個(gè)條件缺一不可舉一反三：【變式1】如果分式的值為0，則x的值應(yīng)為 .【答案】由分式的值為零的條件得3x2-27=0且x-30，由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，x=-3或x=3，由x-30，得x3綜上，得x=-3，分式的值為0故答案為：-3【變式2】若分式不論x取何實(shí)數(shù)總有意義，則m的取值范圍是 【答案】若分式不論x取何實(shí)數(shù)總有意義，則分母0，設(shè)，當(dāng)0即可，.答案m1.類型二、分式的性質(zhì)2已知求的值. 【答案與解析】 設(shè),所以所以所以即或當(dāng),所求代數(shù)式,當(dāng),所求代數(shù)式.即所求代數(shù)式等于或.【總結(jié)升華】當(dāng)已知

13、條件以此等式出現(xiàn)時(shí)，可用設(shè)k法求解.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案】因?yàn)?各式可加得所以，所以類型三、分式的運(yùn)算3已知且,求的值.【答案與解析】 因?yàn)?所以原等式兩邊同時(shí)乘以,得:即所以所以【總結(jié)升華】 條件分式的求值，如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點(diǎn)，這樣才能到事半功倍的效果，條件分式的求值問題體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.舉一反三：【變式1】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【變式2】已知xy=4，xy=12，求的值【答案】原式=將xy4，xy12代入上式，原式類型四、分式方程及應(yīng)用4a何值時(shí),關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根?【答案與解析

14、】 方程兩邊都乘以,得整理得.當(dāng)a = 1 時(shí),方程無(wú)解.當(dāng)時(shí),.如果方程有增根,那么,即或.當(dāng)時(shí),所以;當(dāng)時(shí),所以a = 6 .所以當(dāng)或a = 6原方程會(huì)產(chǎn)生增根.【總結(jié)升華】 因?yàn)樗o方程的增根只能是或，所以應(yīng)先解所給的關(guān)于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.5甲乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工：若甲乙 共同整理20分鐘后，乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工（1）問乙單獨(dú)整理多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的整理時(shí)間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【答案與解析】第14頁(yè) 共14頁(yè)（1）設(shè)乙單獨(dú)整理x分鐘完工，根據(jù)題意得：解得x80，經(jīng)檢驗(yàn)x80

15、是原分式方程的解答：乙單獨(dú)整理80分鐘完工（2）設(shè)甲整理y分鐘完工，根據(jù)題意，得解得：y25答：甲至少整理25分鐘完工【總結(jié)升華】分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵此題等量關(guān)系比較多，主要用到公式：工作總量工作效率×工作時(shí)間（1）將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時(shí)間完成列出分式方程解之即可；（2）設(shè)甲整理y分鐘完工，根據(jù)整理時(shí)間不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可舉一反三：【變式】小明乘出租車去體育場(chǎng)，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時(shí)的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用

16、10分鐘到達(dá)若設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得（ ）A BC D【答案】設(shè)走路線一時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)， 故選A類型五、二次根式的定義及性質(zhì)6要使式子有意義，則a的取值范圍為 【答案】a2且a0析:根據(jù)題意得：a+20且a0，解得：a2且a0故答案為：a2且a0【總結(jié)升華】本題考查的考點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)可以求出x的范圍類型六、二次根式的運(yùn)算7 【答案與解析】原式=30-12+5-2【總結(jié)升華】此題關(guān)鍵是變?yōu)?5-2.【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. 如果把分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值（ ）A擴(kuò)大到原來的3倍 B.不變 C

17、.縮小到原來的 D.縮小到原來的2分式有意義的條件是（ ）Ax2 B.x1 C.x1或x2 D.x1且x23使分式等于0的x的值是（ ）A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4計(jì)算的結(jié)果是（ ）5小玲每天騎自行車或步行上學(xué)，她上學(xué)的路程為2800米，騎自行車的平均速度是步行平均速度的4倍，騎自行車比步行上學(xué)早到30分鐘設(shè)小玲步行的平均速度為x米/分，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）A B C D6化簡(jiǎn)甲，乙兩同學(xué)的解法如下：甲：=乙：=對(duì)他們的解法，正確的判斷是（ ）A甲、乙的解法都正確 B甲的解法正確，乙的解法不正確C乙的解法正確，甲的解法不正確 D甲、乙的解法都不正確二、填空

18、題7若a2-6a+9與b-1互為相反數(shù)，則式子÷（a+b）的值為_.8若m=，則的值是 . 9. 下列各式：；其中正確的是 （填序號(hào)）.10當(dāng)x=_時(shí)，分式的值為0. 11（1）若，則的值為 . （2）若則的值為 .12讀一讀：式子“1+2+3+4+···+100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長(zhǎng)，書寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見，我們將其表示為，這里“”是求和符號(hào)通過對(duì)以上材料的閱讀，計(jì)算= 三、解答題13（1）已知,求的值.（2）已知和,求的值. 14. 化簡(jiǎn)15一項(xiàng)工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付工費(fèi)102000元；如果甲

19、、乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)公程，乙公司所用時(shí)間甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費(fèi)比甲公司每天的施工費(fèi)少1500元.（1）甲、乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？（2）若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，哪個(gè)公司施工費(fèi)較少？16.閱讀下列材料，然后回答問題. 在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如一樣的式子，其實(shí)我們可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn).；（一）；（二）；（三）以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化.還可以用以下方法化簡(jiǎn)：；（四）（1）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)參照（三）式得= ；參照（四）式得= ；（2）化簡(jiǎn)【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B；析:把x、y分別換成3x、3y 代入原式計(jì)算結(jié)果不變. 2.【答案】D；析:分式有意義，則且. 3.【答案】D令得，而當(dāng)時(shí)，所以該分式不存在值為0的情形. 4.【答案】D析:本題可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，將原式化為 故選D.5.【答案】A；析: