1、精品文檔第15講泰勒公式授課題目泰勒公式教學內容1.帶佩亞諾余項和帶拉格朗口余項的泰勒公式；2.帶佩亞諾余項和帶拉格朗口余項的麥克勞林公式：3.六個常見函數的麥克蘇林公式；泰勒公式的應用.教學目的和要求通過本次課的教學，使學生能較好地了解帶佩亞諾余項和帶拉格朗口余項的泰勒公式和麥克勞體公式.熟iL六外常見函數的麥克芳林公式.用泰功公式il算某口-型板星和函數0的近似值.教學重點及難點教學重點：佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式，六個常見函數的麥克勞林公式：教學難點：佩亞諾余項和帶拉格朗口余項的泰勒公式、麥克勞林公式.教學方法及教材處理提示(1)從函數的多項式逼近的角度，引入函數

2、的泰勒多項式概念，進而引出帶佩亞諾余項本的泰勒公式、麥克勞林公式.(2)以例題的形式講授六個常見函數的麥克勞林公式，并要求學生熟記這六個式子.可以采用老師一邊講，學生一邊練的互動方式進行授課.(3)泰勒公式的應用十分廣泛，本講只應用泰勒公式來討論極限問題和函數的近似計算問題.(4)本節的難點是掌握帶佩亞諾余項和帶拉格朗口余項的泰勒公式、麥克勞林公式的證明.對較好學生可要求掌握證明的方法.作業布置作業內容：教材P14i：1(2,3),2(1),3(1,2),5(1).講授內容一、帶有佩亞諾型余項的泰勒公式由微分概念知：f在點X。可導，則有f(x)=f(%)+廣(%乂乂一%)+。(乂一5).即在點

3、Xq附近，用一次多項式f(、)+/(XqXxXo)逼近函數f(x)時，其誤差為(X、)的高階無窮小量.然而在很多場合，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求誤差為。(乂-5)其中11為多項式的次數.為此，我們考察任一n次多項式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+-+an(x-x0)n.(1)逐次求它在點A處的各階導數，得到Pn(Xo)=ao,pfM=altp：(x0)=2!a2,pn(n)(x0)=n!an,a0 = PnCX31=P：(') a _ Pn()7 ，d,- "1!2!n!精品文檔由此可見，多項式pn(x)的

4、各項系數由其在點孔的各階導數值所唯一確定.對于一般函數f,設它在點'存在直到n階的導數.由這些導數構造一個n次多項式Tn(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x<)2+-+f<°)(x-x0)n<2)1!2!n!稱為函數f在點Xq處的泰勒(Taylo】)多項式,<(x)的各項系數一產(k=l,2,，n)稱為泰勒系數.由k!上面對多項式系數的討論，易知f(x)與其泰勒多項式T<x)在點5仃相同的函數值和相同的直至n階導數值，即心)(.)=1noe)(%)上=0,1,2,11(3)下面將要證明£(乂)-缶)=。(乂-5尸)，即以(2)式所

5、示的泰勒多項式逼近f(x)時，其誤差為關于(x5尸的高階無窮小量.定理6.8若函數f在點X。存在直至n階導數，則有f(x)=Ta(x)+0(乂一)口),即f(x)=f(%)+fGXx-XoHf，)(乂一飛'+f)，)(乂一二+0(乂-尸).(4)2!n!證：設Rjx)="乂)一心9),(5)=(乂一5):現在只要證lim羋2=0.由關系式可知，xtQn(x)&(%)=&(%)=噓()=0,并易知0a(%)=0n(%)=&=(%)=0,0(%)=。!.因為fS)(x。)存在，所以在點A的某鄰域U(5)內f存在n-l階導函數f(x),于是，當xeUX、)且

6、X15時，允許接連使用洛必達法則ii-l次，得到由3=由3=inn軍舞=inn-%)%)Q(x)Qn(x)I、Q,"(x)xt天n(n1)2(x-Xq)"匕里士也2 n!f) x-%f(n)(Xo)=O.定理所證的(4)式稱為函數f在點Xo處的泰勒公式，K(x)=f(x)-Tn(x)稱為泰勒公式的余項，形如O(X-5廣)的余項稱為佩亞諾(Peano)型余項.所以(4)式又稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式.注1若f(x)在點、附近滿足f(x)=pa(x)+0(x-x0)n),(5)注2滿足(5)式要求(即帶有佩亞諾型誤差)的n次逼近多項式pn(x)是唯一的.以后用得較多的是泰勒

7、公式(4)在=0時的特殊形式：f(x)=f(0)+f'(O)x+f”(0)f<n)(0)n/八X-41-X+O(X).2!11!(6)它也稱為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林(Maclaurin)公式.例1驗證下列函數的麥克勞林公式：2(1)ex=1+x+2!n!x3x5+cj(xn);(2)siiix=x+(-1嚴+<(x2m)；、"3!5!V(2111-1)!、)X?xx-mCOSX=1+一+(_l)m2!4!(2m)!+。5產；(4) hl(l+x)=X-+(-1)n-1+c7(xn);23n,、/。(。一1)。(。一1)(。-11+1)n/口、(5) (1+x

8、)=1+62X+-x-+-x+o(x);2!n!(6) =l+x+x2+-+xn+<7(xn).1-x證：這里只驗證其中兩個公式，其余請讀者自行證明.k萬設f(x)=sinx,由于f(k)(x)=sin(x+)，因此f3)(o)=O,八"7(0)=(_1)1上=1,2,n.2代人公式(6),便得到sinx的麥克勞林公式.由于這里有=12nl(x),因此公式中的余項可以寫作0(x22),也可以寫作。(x2m).關于公式3)中的余項可作同樣說明.(4)設f(x)=ta(l+x)f(x)=,.,f(k)(x)=(-l)k-1(k-l)!(l+x)-k,k=l,2,.,n因此1+X心)

9、(0)=(-1)1%-1)!#=1,2產”.代人公式(6),便得皿1+乂)的麥克勞林公式_x例2寫出f(X)=e'T的麥克勞林公式，并求f修)(0)與f(99)(0).x2-二x2x，X2n,解：用(一+)替換公式1)中的X,便得e2=1-+-+-(-l)n+c?(x2n).222,2!2ix!根據定理6.8注2,知道上式即為所求的麥克勞林公式.由泰勒公式系數的定義，在上述f(X)的麥克勞林公式中，X%與x99的系數分別為表f叫。)=田G，表產(。)=。由此得到戶吁品,產(。)=。.例3求Inx在x=2處的泰勒公式.v一7解：由于Inx=ln2+(x-2)=ln2+ln(l+),因此2

10、hix=hi2+；(x2)一2.22尸嚴強,例4求極限求】cosx：extOx解：本題可用洛必達法則求解(較繁瑣)，在這里可應用泰勒公式求解.考慮到極限式的分母為X。我們 用麥克勞林公式表示極限的分子(取n = 4,并利用例2)：+ 0(乂5).5-x4+o(x5)因而求得liinJ=liin=XT。X4xtox412二、帶有拉格朗日型余項的泰勒公式上面我們從微分近似出發，推廣得到用n次多項式逼近函數的泰勒公式(4)。它的佩亞諾型余項只是定性地告訴我們：當Xf5時，逼近誤差是較(x-AT高階的無窮小量.現在我們將泰勒公式構造一個定形式的余項，以便了對逼近誤差進行具體的計算或估計。定理6.9(泰

11、勒定理)若函數f在a,b上存在直至II階的連續導函數，在(a,b)內存在(n+1)階導函數，則對任意給定的x,、£a,b,至少存在一點Jw(a,b),使得f(x)=f(%)+(XoXx-XqHf，一2)2+，了(x-%)n+；(x-Xo)n+1.2!n!(n+1)!證：作輔助函數F=f(x)-f(t)+ f<t)(x1) +n!(xt) G(t) = (x-t)n+1.所要證明的式即為F(鼻)=1或32=f(n1)(c).不妨設V<X,則F(t)與G(t)(n+1)!G&)(n+1)!(n+D在Xo，x上連續，在(Xq,x)內可導,且F'(t) = -n!

12、(x-t)n, G'(t) = -(n + lXx-t)n * 0.又因F(x) = G(x) = O,所以由柯西中值定理證得F(Xo)F&AF。 F© NR)GGQ - G&AGlx) - G7) (n + 1)!，其中 gw(Xo，x)u(a,b)它的余項為 RJx)= f(x)-Tn(x) =(+1)(4)(n + D!（X-5）同，4 = 5 + /X 'X。夕 1）,稱為拉格朗日型余項.所以稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式.當=0時，得到f(x)=f(0)+f'(0)x+1n)(°)X+f'°"困

13、xn+i(0<、<).也2!n!(n+1)!稱為（帶有拉格朗日余項的）麥克勞林公式.例5把例1中六個麥克勞林公式改寫為帶有拉格朗日型余項的形式n! (n + 1)!x叫0<夕<1.(2) f(x) = sinx 由 f(*1)(乂) = sin(x+2m+ 1) = (-l)mCOSX,乂3 x，1CCS得到疝X=X3 + Ri +產礪尸廣函屈X*g”,XE（-Jm類似于 siii x，可得 cos x= 1+ + + (-l)m+ (-1)2!4!(2in)!m+l COSfti2m+2(2m+2)! f(x) = ln(l+ x),由fe】)(x) = (-1尸小(

14、1+ x)fT,得到in、 x? x，i xnln(l + x) = x+ + + ( 1) + ( 1)23nn+l(n +1)(1 +分嚴(5) f(x)=(l+x)a,由 f(*D(x) = a(a l) (a nXl+x)a-nT,得到Z1 、0，a(a-1) 2a(a-l)(a-n + l) n 。("。(。一嘰，n41Q+x)° =l+c?x+-x* + + -xn +-(l + 6k)a n 1 xn 1,2!n!(n + 1)!(6) f(x) = ,由 f(n-D(x)=(口+D：,= l+ x+x2+-+xn+-,0<<l,x<l.1-x(l-x嚴 1-xQ-困"2，三、在近似計算上的應用例6計算e的值，使其誤差不超過1。-1 11 e解：由例 5 公式(1),當x=l時