1、1解法：解法：特點：特點：, )()(次次連續(xù)積分連續(xù)積分將將nxfyn 可得通解可得通解.)()(xfyn 一一 第三節(jié)第三節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程左端只含有左端只含有 n 階導數，右端只含有自變量階導數，右端只含有自變量xy 1例例解解12121CxCxdxy 21321261)21(CxCxCdxCxy 3221432132241)61(CxCxCxCdxCxCxy 2代入原方程代入原方程, 得得解法：解法：特點：特點：.,)2( nyyy及及不顯含未知函數不顯含未知函數)()1(xPyn 令令.)(Pyn 則則P(x)的一階方程的一階方程),(xP求得求得, )()

2、1(xPyn 解解可得通解可得通解.0),()()1( nnyyxF二二. 0)(),(,( xPxPxF3.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 設設代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 24)(yPy 設設,dydPPdxdydydPy 則則的一階方程，的一階方程，代入原方程得到新函數代入原方程得到新函數)(yP求得

3、其解為求得其解為原方程通解為原方程通解為. ),(21CxCydy 特點：特點：. x不顯含自變量不顯含自變量解法：解法：),()(1CyyPdxdy 三三0),( yyyF5.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPPy 則則),(ypy 設設代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 36特點特點. 0),(,),()1()1( nnyyyxdxdxyyyx即即的導數的導數對對左端恰為某一函數左端恰為某一函數解法：解法： 類似于全微分方程

4、可降低一階類似于全微分方程可降低一階,),()1(Cyyyxn 再設法求解這個方程再設法求解這個方程.三、恰當導數方程7.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關鍵是配導數的方程關鍵是配導數的方程.例例 38特點：特點：解法：解法：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次次齊齊次次函函數數k zdxey可通過變換可通過變換).(,xz得新未知函數得新未知函數將其降階將其降階, zdxzey,)(2

5、zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy四、齊次方程, zdxke代入原方程并消去代入原方程并消去9階方程階方程的的得新函數得新函數)1()( nxz. 0),()1( nzzzxf.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey設設代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解為解其通解為.1212)1(xCdxxCxxeCey 原方程通解為原方程通解為例例 410小結小結解法解法 通過代換將其化成較低階的方程來求解通過代換將其化成較低階的方程來求解.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,12y兩端同乘不為零因子兩端同乘不為零因子,

6、 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故從而通解為從而通解為.12xCeCy 例例 411另解另解原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?yyyy 兩邊積分兩邊積分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解為原方程通解為.12xCeCy .2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy 解解, zdxey設設，zxz ,xCz 解解其其通通解解為為.212xCCxdxeCey 原方程通解為原方程通解為代入原方程代入原方程,得得補充題補充題:12一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy.

7、.二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經過點的經過點)1,0(M且在此點與直線且在此點與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . .練練 習習 題題13練習題答案練習題答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3 3、12)arcsin(CeCyx ； 4 4、xCxCy2111 . .二、二、1 1、22xxy ； 2 2、)

8、1ln(1 axay； 3 3、4)121( xy. .三、三、121613 xxy. .14時，時，當當0)( xf線性線性齊次齊次微分方程微分方程時，時，當當0)( xf線性線性非齊次非齊次微分方程微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 第四節(jié) 高階線性微分方程15一、解的結構一、解的結構1. 1. 齊次方程解的結構齊次方程解的結構: :定理定理 1 1 如果函數如果函數)(1xy, , ,)(xyn是方程是方程(1)(1)的的 n 個個解解, ,那末那末nnyCyCy 11也是也是(1)(1)的解的解. .（nCC,1是常數

9、）是常數） 問題問題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？nnyCyCy 11(1) . 0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn16定義：設定義：設nyyy,21為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I內的內的n個函數如果存在個函數如果存在n個不全為零的常數，使得個不全為零的常數，使得當當x在該區(qū)間內有恒等式成立在該區(qū)間內有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么稱這那么稱這n個函數在區(qū)間個函數在區(qū)間I內內線性相關線性相關否則否則稱稱線性無關線性無關例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關線性無關線性相關線性相關時，時，當當),( x17特別地特別地: 若若在在 I

10、 上上有有常常數數， )()(21xyxy則則函函數數)(1xy與與)(2xy在在 I 上上線線性性無無關關.定理定理 2 2： 如果： 如果)(1xy)(xyn是方程是方程(1)(1)的的 n 個線個線性無關的特解性無關的特解, , 那么那么nnyCyCy 11就是方就是方程程(1)(1)的通解的通解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數常數且且 xyy.sincos21xCxCy 182. 2. 非齊次線性方程的解的結構非齊次線性方程的解的結構: :定理定理 3 3 設設*y是是 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程 的一個特解的一個特解, , Y是與是

11、與(2)(2)對應的齊次方程對應的齊次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yYy 是是 n 階非齊次線性微分方程階非齊次線性微分方程(2)(2)的通解的通解. . (2) ).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 19二、降階法與常數變易法1.1.齊次線性方程求線性無關特解齊次線性方程求線性無關特解-降階法降階法的的一一個個非非零零特特解解，是是方方程程設設)1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uy

12、xPyuy即即20解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降階法降階法的一階方程的一階方程 v212.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數變易法常數變易法設對應齊次方程通解為設對應齊次方程通解為2211yCyCy (3)設非齊次方程通解為設非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設設0)()(2211 yxcyxc221

13、12211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)22得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯立方程組聯立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系數行列式系數行列式23,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程

14、通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy24.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對應齊方一特解為對應齊方一特解為,1xey 由劉維爾公式由劉維爾公式 dxeeeydxxxxx1221,x 對應齊方通解為對應齊方通解為.21xeCxCY 例例25,)()(21xexcxxcy 設原方程的通解為設原方程的通解為應滿足方程組應滿足方程組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方

15、程的通解為原方程的通解為. 1221 xxeCxCyx26小結主要內容主要內容線性方程解的結構；線性方程解的結構；線性相關與線性無關；線性相關與線性無關；降階法與常數變易法；降階法與常數變易法；補充內容補充內容可觀察出可觀察出一個特解一個特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解27思考題思考題 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所對對應應齊齊次次

16、方方程程的的通通解解.28思考題解答思考題解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對應齊次方程的解是對應齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數常數所求通解為所求通解為.221xCeCx 122231yyCyyCy 29一、一、 驗證驗證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數是相應的微分方程的通解證明下列函數是相應的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數是任意常數ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常數是任意常數cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通