1、二項式定理1 .二項式定理：(a +b)n =C0an +C：an,b +| +C；anbr +| + C；bn(n w N*),2 .基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做(a + b)n的二項展開式。二項式系數：展開式中各項的系數C； (r =0,1,2,n).項數：共(r+1)項，是關于a與b的齊次多項式通項：展開式中的第r+1項C；anbr叫做二項式展開式的通項。用Tri =C；anbr 表示。3 .注意關鍵點：項數：展開式中總共有(n+1)項。順序：注意正確選擇a, b,其順序不能更改。(a + b)n與(b + a)n是不同的。指數：a的指數從n逐項減到0 ,是降哥排列。b的指數

2、從0逐項減到n , 是升哥排列。各項的次數和等于n.系數：注意正確區分二項式系數與項的系數，二項式系數依次是C：C,Cn2, C；, IC；.項的系數是a與b的系數(包括二項式系數)c4 .常用的結論：么1a=1h=x/【+ n =0+1'+2"2 +i i I + C r y r +i il+Cnyn/nWa 1,b x, (I x) C n CnxCnxCnxCnx(n N)令 a =1,b =_x, (1 x)n =C0 -Cnx +C：x2 川 +C；x+ W + (1)nC；xn(nW N *)5 .性質：二項式系數的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數相等

3、，即 C： =C：,Ck =C：二項式系數和：令a = b=1,則二項式系數的和為C0+Cn+C： +|+C；+川+C：=2n,變形式 Cn +C： +IM + C； +|+Cn =2n1。奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和：在二項式定理中，令a=1,b = -1，則C0C： +C2C；+川+ (1)C=(1 1)=0 ,01 lYn /f-H-至I . c 0 c 2 1 c 42 r 上c 1 , c 3 I L 上 C 2r書上1 n <,)n -1寸王1J. Cn - Cn - Cn - Cn ,=Cn CnCn= - 2 =22奇數項的系數和與偶數項的系數和：二項式系數

4、的最大項：如果二項式的哥指數n是偶數時，則中間一項的n二項式系數Cn2取得最大值。如果二項式的哥指數n是奇數時，則中間兩項的二項式系數Cn, cJ同時取得最大值。系數的最大項：求(a+bx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式中各項系數分別為A,A2,An+,設第r+1項系數最大，應有人+之人，Ar. - Ar 2從而解出r來。6 .二項式定理的H一種考題的解法： 題型一：二項式定理的逆用；例：Cn C： 6 C； 62 川 Cn1 6n=.（1 - 6）n=：C0-C1 6"-C262" C 3 63 C n6n J=EF 產牛 的 -止匕美 R 日用午

5、71; （I 6）C nCn 6 Cn6 Cn 6III Cn6 I1 下“ 口 J /閂 /£.巴）練：Cn - 3C2 - 9C3 Hl 3n,C： =.解：設 Sn =Cn+3C2+9C；+111 nCn1 ,貝UQQ.2Q23Q3n On 01 Q .2 Q23 03nonn3Sn =Cn3 Cn 3Cn 3Cn 3 =Cn Cn3 Cn 3 C n 3Cn3'1 = (1 3)-1(1 3)n -14n -1題型二：利用通項公式求xn的系數;例：在二項式（4X十次）n的展開式中倒數第3項的系數為45,求含有x3的項的系數?解:由條件知 Cn1-=45 ,即 C2=4

6、5, .n2n90 = 0,解得 n = 9(舍去)或 n=10 ,12102丁7=g巾"0面),=C；0x= 3,，由題意 +工,解得r=6, 43練:解:則含有x3的項是第7項丁6書=0(0x3 =210x3,系數為210。求(x2)9展開式中x9的系數？2x_ d2、9_r,1 r r18_2r,1、r _r r,1 r 18 _3rTr + C9(x )() C9x ( ) x C9( -)x, 1 183r=9,J、r = 32x22故x9的系數為C；J3=£。題型三：利用通項公式求常數項;例：求二項式（x2方）10的展開式中的常數項?5_解：TCMx2)10(力

7、)r =C1r0(2)rx 引，令 20-5r=0,得 r=8,所以T9二或/二三2256練：求二項式(2x-L)6的展開式中的常數項？2x解：Tr+=Cfr(2x)6"(-1)r(-)r =(-1)rC626"(1)rx6r ,令6-2r=0,得 r = 3,所以2x23 _ 3T4 =(-1) C6 -20練：若(x2+1)n的二項展開式中第5項為常數項，則n =. x解：T5 =C4(x2)i(2)4 =C4x2n2 ,令 2n 12=0,得 n = 6. x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數項；例：求二項式(血一次)9展開式中的有理項？1127 工解：T7=C

8、；(x2)9,(-x3)r =(-1)rC；xk ,令2_Zrwz,( 0ErE9)得 r=3或 r = 9,6所以當 r =3時，27二r=4 T4 =(_l)3C；x4 =84x4,6當 r=9 時，2LzL = 3' =(_1)3c；x3 =x3。6題型五：奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和;例：若(次-工廠展開式中偶數項系數和為-256,求n.32, x解：設(夕-廠展開式中各項系數依次設為a0,a1,anx=1，則有令x = -1,貝u有 a。+a + ana。a1 +a2 a3 + + (1) =2n,將-得：2(a1+a3+a5 + '1') =2

9、n,二a1+a3+a5+ '= 2n,有題意得，-2n,= -256 = -28 , J.n=9。練：若(e+g)n的展開式中，所有的奇數項的系數和為1024,求它的中 間項。角昂 11 c 0+C 2+C 4+C 2r+ .- C1+c3+»n + c2r1+ .=on-9 n “ 一1094得Cn Cn CnCnCn CnCn2 ,2 I024 )n =11所以中間兩個項分別為 n=6,n=7, T5+= C5(3x)6(512)5 = 462 xu ,61T6 1 = 462 x 5題型六：最大系數，最大項；例：已知（1+2x）n,若展開式中第5項，第6項與第7項的二項

10、式系數成等差2數列，求展開式中二項式系數最大項的系數是多少？解：'：C：+Cn6 =2C5,. n2 -21n+98=0，解出 n = 7或n=14,當 n = 7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和丁5，的系數=c3d）423 =35,22T5的系數=C4（1）324 =70，當n=14時，展開式中二項式系數最大的項是丁8, 2二丁8的系數=C；4（1）727 =3432。2練：在（a+b）2n的展開式中，二項式系數最大的項是多少？解：二項式的哥指數是偶數2n,則中間一項的二項式系數最大，即T2n&=Tn斗，也就是第n十1項。下 1練：在J-4）n的展開式中，只有第5項的二

11、項式最大，則展開式中的常數2 Jx項是多少？解：只有第5項的二項式最大，則匚+1=5,即n =8,所以展開式中常數項為 2第七項等于C：（-）2 =72例：寫出在（a-b）7的展開式中，系數最大的項？系數最小的項？解：因為二項式的哥指數7是奇數，所以中間兩項（第4,5項）的二項式系數相等，且同時取得最大值，從而有T4=-C；a4b3的系數最小，T5=C4a3b4系 數最大。例：若展開式前三項的二項式系數和等于 79,求（1+2x）n的展開式中系數 2最大的項?解：由 Cn +Cn+Cn =79，解出 n=12，假設1平項最大，：(1+2x)12 =d)12(1 + 4x)12 22Ctd,化簡

12、得到9.4,又","1°,展開式中系數最大的項為一有2(”； 練：在(1+2x)10的展開式中系數最大的項是多少？ 解：假設T4項最大，'Tr卡=C；0 2rxr.從八人二a2 So：2 ：解得|2(11一 ”化簡得到6.3MkM7.3, Ar 1 - Ar 2C1r02r -C；012r 1, r 1 .2(10 -r)又,：0Wr M10, J. r =7,展開式中系數最大的項為丁8 = 晨7 = 15360x7.題型七：含有三項變兩項；例：求當(x2+3x+2)5的展開式中x的一次項的系數？解法：(x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5, Tr&#

13、165;=C5(x2+2)5(3x)r ,當且僅當 r = 1 時, 書的展開式中才有x的一次項，此時Tf=T2=C5(x2+2)43x ,所 以x得一次項為C5c：243x 它的系數為c5c：243 =240。解法：25550 51 450 51 45 5(x2 +3x+2)5 =(x+1)5(x+2)5 =(C0x5+C5x4 + +C5)(C;0x5 +C5x42+ + C525)故展開式中含x的項為C；xC525 +C；x24 =240x,故展開式中x的系數為240.練：求式子(x+ =-2)3的常數項? x解：(x，-2)3"；16,設第r+1項為常數項，則T.4=C；(1

14、)r|x"()r =(1)6C；|x6Nr ,得 6 2r =0, r =3,3 _ 3.T3 i =(-1) C6 = -20.題型八：兩個二項式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數.解：(1 2x)3的展開式的通項是Cm (2x)m =C 2m -xm,令 m + n =2,則 m =0且 n=2,m = 1 且 n=1,m = 2 且 n = 0,因此(1 + 2x)3(1 - x)4的展開式中 x2的系數等于 C30 -20 C： ,(-1)2+C；，21 c4 (1)1+C>22 C0 ,(-1)° = -6練:求（1 +&）6（

15、1 + J）10展開式中的常數項、xmn4m _3n解：（1+Vx）6（1+聲）10展開式的通項為Cmx萬心力=Cm C0 ,x時得展開式中的常數項為C； C00 - C3 C10 C6 C80 =4246 .1練：已知（1 +x +x ）（x + ）的展開式中沒有吊數項，n = N且2 M n £8,則n =.x解：（x+）n展開式的通項為C；父“火口 =c；/”,通項分別與前面的三項相乘可得 x題型九：奇數項的系數和與偶數項的系數和；例：在（x-夜）2006的二項展開式中，含對勺奇次曷的項之和為S,當x = 6時,S =解：設（xV2）2006 =a0 +a1x1 +a2x2 +

16、a3x3+|+a2006x2006 題型十：賦值法；例：設二項式（3次+工廠的展開式的各項系數的和為p,所有二項式系數的 x和為s,若p+s=272 ,則n等于多少？練:解:則展開式的常數項為C；(3 .1)3( -1 )3 =540.解：若(33/X+1)n =a0+a1x+ a2x2+ anxn ,有 P = a0 + a1+ an , xS =C： + "C =2n ,令 x=1 得 P =4n ,又 p + s = 272，即 4n +2n =272= (2n +17)(2n 16) = 0解得2n =16 或 2n =17(舍去)，j.n=4.n一二 的展開式中各項系數之和為64 ,則展開式的常數項為多 .x少？令x=1,則匕62)的展開式中各項系數之和為2n=64,所以n = 6, x例:20091232009q a2a2009右(1 -2x)=a0+a1x +a?x +a3x +|l|+a2009x(x= R),則一+二 + +/09 的值為222人1a1 a2a2009a1 a2a2009-解:令 x=2Wa0+3+2