1、第23講最值問題一內容概述求最大值與最小值的問題，解題時宜首先考慮起主要作用的量，有時還需要局部調整或者枚舉各種可能情形和為定值的兩數的乘積隨著兩數之差的增大而減小典型問題興趣篇13個連續(xù)奇數相乘，所得乘積的個位數字最小可能是多少?答案：3分析：乘積的個位數字是由這三個奇數的個位數字決定的。個位數字可能是：1、3、5、7、9。通過試驗個位是7、9、1的三個連續(xù)奇數相乘滿足條件，791=63個位最小是3.2. 用1、2、4可以組成6個沒有重復數字的三位數，這些三位數中相差最小的兩個數之差是多少?答案：9分析：要使兩個數差最小百位數字相同十位與個位數字相近。滿足條件的是412和421.差是421-

2、412=9.3. 用24根長l厘米的火柴棒圍成一個矩形，這個矩形的面積最大是多少?如果用22根火柴棒呢?答案：36平方厘米；30平方厘米。分析：（1）矩形的周長是24厘米。長和寬的和：242=12（厘米）和為定值的兩數的乘積隨兩數之差的增大而減少。和是12的兩數差為0是積最大。這兩個數相等都是6.即長和寬相等面積是66=36（平方厘米）。（2）周長是22厘米。長和寬的和是222=11（厘米）和是11差是0時，這樣的兩個數不是整數。差是1時兩數分別為6和5.積是30.4三個自然數的和是19，它們的乘積最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小積越大。193=61，6+6+6=18再加1得19

3、，三個數分別是6、6、7時積最大。最大是667=252.5(1)請將l、2、3、4填人算式“口口口口”的方格中要使得算式結果最大，應該怎么填?(2)請將1、2、3、4、5、6填人算式“口口口口口口”的方格中要求5、6分別填在百位，4、3分別填在十位，1、2分別填在個位，并使得算式結果最大應該怎么填?答案：（1）4132 （2）542631分析：（1）要使積最大，兩個數應盡量大所以4、3分別在十位， 1、2在個位。有兩種情況A：4132=12+240+130+4030=1312B：4231=12+140+230+4030=1302比較發(fā)現區(qū)別在劃橫線部分，當一個數十位上的數字與另一個數個位上的數

4、字較大的與較大的相乘，較小與較小的數字相乘時積最大。最大是4132（2）與（1）同理當十位上4與百位上的6相乘，十位上3與百位上5相乘；個位2與百位上6相乘，個位1與百位5相乘時積最大。其中一個數百位是6十位是3個位是1即631。另一個是542.6. 在圖23-1的中間圓圈內填一個數，計算每一條線段兩端的數之差(大減小)，然后把這3個差數相加，所得的和最小是多少?答案：7分析：當中間數是7時和最小，和最小是7。7. 在所有包含3個相同數碼的四位數中，與1389之差(大減小)最小的一個是多少?答案：1411分析：與1389之差(大減小)盡量與1389相近。所以千位是1，百位是3或4，十位和個位是

5、1.即可能是1311或1411.通過計算與1389之差(大減小)差最小的是1411.8. 把1、2、3、4、5、6填人算式“”的空格中，要求前一個三位數比后一個三位數大這個減法算式的結果最大可能是多少?最小可能是多少?答案：最大：531 最小：47分析：滿足結果最大，被減數應盡量大，減數應盡量小。被減數最大是654，減數最小是123。結果最小，兩數應接近。被減數是412，減數是365時結果最小。9. 一個自然數是由數字8、9組成的，它的任意相鄰兩位都可以看成一個兩位數，并且這些相鄰數字組成的兩位數都不相等請問：滿足條件的自然數最大是多少?答案：99889分析：由8和9組成的兩位數可能是88、8

6、9、99、984種情況。.要使數最大數的位數盡量大，相鄰數字組成的兩位數出現以上4種情況。滿足條件的數由高位到低位排列可稱為第1位、第2位、第3位第1位第2位組成的數最大是99，第2位第3位組成的數最大是98第3位第4位組成的數是88，第,4位第5位組成的數是89. 滿足條件的自然數最大是99889.10. 有7個盤子排成一排，依次編號為1，2，3，7每個盤子中都放有若干玻璃球，一共放了80個其中1號盤里放了18個玻璃球，并且任意編號相鄰的3個盤子里放的玻璃球組成的數之和都相等請問：第6個盤子中最多可能放了多少個玻璃球?答案：12分析：任意編號相鄰的3個盤子里放的玻璃球組成的數之和都相等。1、

7、2、3號盤與2、3、4號盤玻璃球一樣多。所以1號和4號盤都有18個。依次往后推7號盤也有18個。前6盤有80-18=62個，相鄰的3盤有622=31個。4、5、6這3個盤，4號盤有18個要使第6個盤子中最多5號應最少最少有1個，第6個盤最多有31-18-1=12個。拓展篇1.3個連續(xù)自然數相乘，所得乘積的個位數字最大可能是多少?答案：6分析：只需考慮3個自然數的個位。個位上有0-9 十種可能。通過試驗得3個連續(xù)自然數個位是1、2、3滿足條件。2. (1)在五位數12435的某一位數字后面再插入一個同樣的數字(例如：可以在2的后面插入2得到122435)，這樣得到的六位數最大可能是多少?(2)在

8、七位數9876789的某一位數字后面再插入一個同樣的數字，這樣得到的八位數最小是多少?答案：最大124435 最小98766789分析：（1）使結果最大所插數字應盡量大且數位盡量靠前。試驗得出最大是124435.（2）使結果最小，所插數字應盡量小且數位盡量靠后。試驗得出最小是98766789.3有9個同學要進行象棋比賽他們準備分成兩組，不同組的人相互之間只比賽一場，同組的人之間不比賽他們一共最多能比賽多少場?答案：20分析：兩組比賽的場數是兩組人數的乘積。兩組人數的和是9要使乘積最大兩組人數應相近。4+5=9，兩組人數分別是4和5時比賽場數最多，一共比賽45=20場。43個互不相同的自然數之和

9、是17，它們的乘積最大可能是多少?答案：168分析：三個數和一定，差越小積越大。6+6+5=17但有相同的數，再做調整得7+6+4=17.積是764=168。5請將2、3、4、5、6、8填人算式“口口口口口口”的方格中要使得算式結果最大，應該怎么填?答案：842653分析：百位最大填8和6，十位填4和5，個位填2和3。當一個數十位上的5與另一個數百位上的8相乘，一個數個位上的3與另一個數百位上的8相乘時積最大。所以兩個三位數分別是842和653。6請將6、7、8、9填人算式“口口+口口”的方格中要使得算式結果最大，應該怎么填?答案：78+96分析:兩數乘積與所加的兩位數應盡量大。98+76=1

10、48， 87+96=152比較發(fā)現最大填78+96。7在圖23-2的中間圓圈內填一個數，計算每一條線段兩端的數之差(大減小)，然后把這5個差數相加，所得的和最小是多少?答案：19分析：當中間數是19時和最小，和最小是 19.8如果7個互不相同的自然數之和為100，那么其中最小的數最大可能是多少?最大的數最小可能是多少?答案：11；18分析：7個互不相同的自然數最小分別是0、1、2、3、4、5、6這7個數的和是21.100-21=79以上7個數分別加上相同的數也得到7個不同的數。797=112，7個自然數都加上11，得11-17，7個數。余數2可加到最大的兩個數中。所以最小是11最大是18。9一

11、個多位數的各位數字互不相同，而且各位數字之和為23這樣的多位數最小可能是多少?最大可能是多少?答案：最小689 最大8543210分析：要使最小，位數應盡量少。23可最少拆成3個不同的一位數的和。即23=6+8+9.所以最小是689.要使最大，位數應盡量多。6個互不相同的自然數最小是0+1+2+3+4+5+6=21，23-21=2，0+1+2+3+4+5+8=23.最大是8543210。11如圖23-3，這是一個正方體的展開圖將它折成一個正方體后，相交于同一頂點的3個面上的數之和最大是多少?答案：13分析：1-6個數中3個數的和從大到小分析最大的三個數是6+5+4=15，從圖中看出6、5、4不

12、相交于同一頂點。再次6、5、3也不想交與同一頂點。6、4、3相交與同一頂點。6+4+3=13.12如圖23-4，在一個正方體方塊的左下角A點處有一只螞蟻，它要沿著正方體的表面爬行至右上角的B點，去搬運一塊食物為了使得這個螞蟻所走的路線長度最短，它應該怎么爬行?它可以選擇的最短路線一共有幾條?答案：6分析: A、B沒在同一平面上，不可以連接，螞蟻只能從表面爬過去, A、B所在的兩個面展開就在同一平面上了。直接連接A、B就是最短路線。展開A、B所在的兩個面有6種情況（正面和上面、正面和右面、下面和后面、下面和右面、左面和上面、左面和后面）。所以最短路線有6條。超越篇1一個兩位數除以它的各位數字之和

13、，余數最大是多少?答案：151、 分析： 首先，由于余數除數。所以余數要最大，那么除數就要盡量大。而除數最大是18。（1） 除數為18，這個兩位數只能為99，9918余9；（2） 除數為17，這個兩位數只能為98、89，9817余13，8917余4；（3） 除數為16，這個兩位數只能為97、79、88,9716余1,7916余15、8816余8.（4） 除數15時，余數小于15.所以余數最大為15.24個小朋友，每人的體重都是整數千克，而且其中任意3人體重之和都大于99千克這4個小朋友體重之和最小是多少千克?答案：134千克。分析：不妨設這四人的體重為A、B、C、D，且ABCD,都是整數。由于

14、A+B+C99，所 以 A+B+C100.所以C34.從而DC34.所以A+B+C+D100+D100+34=134. 3將1至30依次寫成一排：1232930，形成一個多位數從這個多位數中劃掉45個數字，剩下的數最大是多少?如果要求剩下的數首位不為0，這個數最小是多少?答案：最大998930 最小100120分析：1至30共51個字碼。所以去掉45個還余下6個字碼。要最大，則高位盡量大998930， 要最小，高位盡量小100120.4用1、2、3、4、6、7、8、9這8個數字組成2個四位數，使這2個數的差最小(大減小)，這個差最小是多少?答案：139分析：如圖易知：要讓兩數之差盡量小，A只能

15、比E大1，且FGH要盡量大，最大為987.而BCD要盡量小，且由6-4=2知，BCD為126.最后得：4126-3987=139.5將2至8這7個自然數填入算式“口口口口一口口口”的方格中如果算式的計算結果為整數，那么這個結果最大是多少，最小是多少?答案：最大6452 最小827分析：要讓M盡量大，易知要盡量大，G盡量小。且影響更大，應優(yōu)先滿足。這時他們最大為8576=6460，這時G最小為324=8。6460-8=6452.要讓M盡量小，易知要盡量小，G盡量大。且影響更大，優(yōu)先滿足。這時他們最小為2435=840，這時G最大為786=13.840-13=827.6如圖23-5，一只木箱的長、

16、寬、高分別為5厘米、3厘米、4厘米有一只甲蟲從A點出發(fā)，沿棱爬行，每條棱只允許爬一次甲蟲最多能爬行多少厘米?如果要求甲蟲最后回到A點，那么它最多能爬行多少厘米?答案：39厘米，34厘米分析：這是一個一筆畫問題，且每個點的度數為3，都是奇數。（1） 8個點至少要去掉3條線。這時候盡量去掉長度短的線，即去掉3條長度為3的線。這時去掉BC、FG、EH即可。路線為A-B-F-E-A-D-H-G-C-D,共54+44+31=39厘米。（2） 若而從A出發(fā)，最后要回到A點，那么8個點要去掉4條線。這時候盡量去掉長度短的線，很明顯去掉4條長度為3的線是不行的。假如去掉3條長度為3的線，這時從四邊形ABEF的

17、某個點到DCHG后就沒線回來了。所以最多去掉2條長度為3的線。去掉BC、FG、HD、AE即可。這時的路線為A-B-F-E-H-G-C-D-A,共54+42+32=34厘米。7如圖23-6，黑板上寫有一個三位數減三位數的算式，其中首位已經確定接下來，甲每次報一個數字，乙就把它放入四個方框中的一個，甲要使得差盡量大，乙要使得差盡量小，如果兩人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少?答案：140分析：甲要使得A-C盡量大，而乙要使得盡量小。所以開始甲只能報4或者5，若甲第一個數報6、7、8、9，那么乙只要把這個數填在C出即可，這時A-C9-6=3. 若甲第一個數報0、1、2、3，那么乙只要把這個數填在

18、A出即可，這時A-C3-0=3.并且，甲報完4（5）后，只能一直報0（9）。否則，隨便你報一個另外的數m，乙把m填到C（A），這時A-C就小于4了。所以這個值最大為299-159=140，或者240-100=140.并且，若甲第一個數報5，而乙填到B或D處，這時甲只需繼續(xù)報5即可，直到乙把C處填5為止。8 一棟大樓共33層，電梯停在第1層，現在有32個人分別要去第2層、第3層第33層，他們可以選擇坐電梯或者走樓梯有一天電梯壞了，電梯只能在某一層停，每個人可以選擇走樓梯上樓或乘電梯到這一層再走樓梯每個人上一層樓梯會有3份不滿意，下一層樓梯會有1份不滿意請問：電梯停在哪一層，才能使得所有人不滿意的總份數最小?答案:316份分析：假設電梯停在了A層，那么往上的樓層都要爬。且不高于B層的人都是從1層往上走，此時(B-1)3（A-B）,即4（B-1）（A-1）。這時，若電梯往下停一樓，則從A到33樓，會增加3（33-A+1）份不滿意度，從B+1到A-1樓，會減少A-B-1份不滿意度。而A-1為4的倍數時，B樓也會由從下往上變成從上往下，從而減少1份不滿意。所以，若電梯直接到33樓時，這時2到9樓的往上爬，最少有（1+2+8）3+（1+2+23）=384份不滿意。然后我們再考慮往下移動。（3） 停在32樓，則