1、三元數函數與解析從復平面到數空間 白爍星 （河北省武安市橋西路郵局037號信箱 郵碼:056300）韓江燕 （河北省武安市第八中學 郵碼:056300）摘 要 本文從復數理論出發,通過推廣函數、解析等數學概念,逐步建立了三元數函數與解析的理論. 關鍵詞 數平面;數空間;平面解析;空間解析;泛解析;半解析;冪級數中圖分類號:0153.5 泛代數一、引言三元數、多元數的研究始于曲阜師大中學數學雜志發表的超越復數的三元數、復數的多元數,后來東北師大數學學習與研究發表了代數基本定理在高維數空間之證明,多項式函數首先得到了深刻的研究.然而在數空間里是否存在優美而和諧的函數與解析理論呢?本文從復數理論出發

2、,通過推廣函數、解析等數學概念,嘗試給出了一個有趣的解答.二、三元數基礎知識1、三元數的代數運算與三維數空間 形如(、)的數叫做三元數,三元數通常用一個字母來表示,即,全體三元數構成的集合叫做三元數集,用字母來表示,定義(1)(2)則有:;說明:(1)三元數的加法滿足交換律、結合律,乘法滿足交換律及對加法的分配律;(2)除法是乘法的逆運算,兩個三元數作除法運算,可依三元數相等的定義及乘法公式求得. 建立了空間直角坐標系來表示三元數的空間叫做三維數空間,簡稱數空間,仍用來表示.于是:實數一一對應實軸上的點;復數一一對應復平面內點;三元數一一對應數空間內點2、三元數的幾何表示與重要性質三維數空間內

3、的點可以表示三元數,由于三元數集與三維數空間內所有以原點為起點的向量所組成的集合一一對應（實數與零向量對應）,所以三元數也可以用起點在原點的向量來表示.稱為三元數的代數形式,稱為三元數的三角形式. 三元數的模 與三元數對應的向量的模（即有向線段的長度）叫做三元數的模（或絕對值）,記作或,易知三元數模的幾何意義是:三元數在數空間內對應的點到原點的距離.三元數的輻角與傾角 數空間可看作復平面繞軸旋轉而成,軸與空間點可唯一確定一個平面,該平面與復平面的夾角稱三元數的傾角,平面稱傾角為的數平面,特別地,復平面是傾角為的數平面,無數個數平面形成了數空間.當點落在軸上時,傾角值不定,也就是說:實數的傾角值

4、不定.以軸的正半軸為始邊,向量所在的射線（起點是）為終邊的角,叫做三元數的輻角,記做.輻角的主值 在區間內的輻角的值,叫做輻角的主值,記作,即.非三元數的輻角有無限多個值,但輻角的主值只有一個,三元數的輻角不定.說明:(1)三元數的代數形式是唯一的,但三角形式不唯一;(2)復平面是傾角為的數平面;(3)在復平面上成立的結論,在其它傾角的數平面上也成立;(4)代數形式與相對應的三角形式的互化公式:;,具體依下列規則進行先求:,再求:由點的所在象限及共同確定（一般取最小正角）最后求:一般地,取,時,;時,值不定例 (，)從更高的觀點來看,可以觀察到數學在更高層次上的統一,復數的代數形式與極坐標的統

5、一,三元數的代數形式與球坐標的統一,極坐標是球坐標的特例,復數是三元數的特例.三元數的加法滿足平行四邊形法則,減法滿足三角形法則.復數是實數的擴充,三元數是復數的擴充,要特別注意三元數與復數及實數的聯系與區別.實數與數軸上的點一一對應,復數與復平面內的點、復平面內以原點為起點的向量一一對應,三元數與數空間內的點、數空間內以原點為起點的向量一一對應.兩個實數可以比較大小,有關不等式的一些性質僅限于實數集中成立.三元數的模是實數及復數絕對值的擴充,實數與復數的絕對值是三元數模的特例,因此三元數模的所有性質對實數絕對值都成立,而實數絕對值的一些性質對三元數模則不一定成立.,在為實數時表示兩個點,在為

6、復數時表示單位圓,在為三元數時表示單位球面.實數集對加、減、乘、除、乘方運算封閉,復數集與三元數集對加、減、乘、除、乘方、開方運算封閉;一般地,一元次代數方程在復數集中有且僅有個根,在三元數集中可以有多于個的根,甚至有無窮多個根存在.3、三元數三角形式的運算在傾角為的數平面上,設，則有 ,顯然,同在一個數平面上的三個數相乘,其乘積的模為模的乘積,復數乘法是其特例. 三元數的三角形式可用來直觀描述一個星體在軌道傾角為的平面上繞中心天體的運行情況:,為該星體運行的圓形軌道的半徑.如軌道為橢圓,公式可改寫為:若軌道還需旋轉一個角度,公式可再改寫為: 其中、表示星體運行的橢圓軌道的長半軸與短半軸,表示

7、時間,表示星體運行的角速度, 表示該星體繞中心天體運行的周期.是三維數空間里的旋轉算子,該算子還可推廣至更高維數空間.(2)三元數的乘方 三元數的次冪的模等于這個三元數的模的次冪,它的輻角等于這個三元數的輻角的倍,而傾角不變.特別地,當時得:此即復平面上的Movire定理,在這里成了三元數乘方的一個特例.(3)三元數的開方 三元數的次方根是注意:(1)一般地（指不為實數時）,三元數總有固定的傾角,這時三元數的次方根是個三元數,它們的模等于這個三元數的模的次算術根,它們的輻角分別等于這個三元數的輻角與的,倍的和的分之一,而傾角不變.(2)為實數時,傾角值不定,需解參數方程:易知的平方根是它的幾何

8、意義是數空間中以原點為圓心,垂直于復平面,在平面上的單位圓,其與復平面的交點恰好是與兩個點,在復平面上有且僅有兩個根,在數空間中卻有整整一個圓的根存在.這是給出定義,時所完全不曾預料的事情!需要指出的是:求一個三元數的次方根,當時,勉強可利用定義解代數方程求得,當較大時用三元數的三角形式求解較為簡單.三元數開方的幾何意義一般地,三元數（指不為實數時）開次方的個根在數空間內所對應的個點均勻地分布在以原點為圓心,為半徑,與復平面的傾角為的數空間中的一個圓上.當然,當為實數時,其次方根的幾何意義依然可利用三元數的求方根公式進行討論,讀者不妨自行一試.4、三元數的重要定義、定理與推論4.1模律定理 兩

9、個三元數,為常量,為變量,其積,當且僅當,即兩個三元數在同一個數平面上時，三元數積的模等于兩個三元數的模的積,得到最大值;當且僅當且時,得到最小值依高等幾何知識,本質上表示一個仿射變換,球面通過可逆線性變換繞球心（原點）旋轉、伸縮后被映射成一個橢球面,模律定理恰好揭示出了橢球面的最長半軸與最短半軸.特別地,如果,此時得到一個半徑的球面,球面的半徑是常量,當然最大值與最小值相等. 給定三元數,一一對應一個矩陣,該矩陣的行列式 稱為數的基本值,限制的基本值,仿射變換成為可逆線性變換,商唯一可求.特別地,在復域中,復數的基本值,基本值的通項公式為.初等數學中一般規定不作除數正是的特例. 4.2 推論

10、（零因子定理）兩個三元數,當且僅當,且時,其乘積4.3 除法定理 已知, ,求.將乘出,依三元數相等的定義,得三元一次方程組,當時,方程有唯一解, ,當,即與在同一個數平面上時,方程組有形式簡單的的解,如果,數平面的傾角為,即得出復域內結果,顯然復數除法是三元數除法的特例.再來研究,時的情形,將乘出,得三元一次方程組, 方程組系數矩陣的行列式當,且時,得解:,當時無解.當,且時,得解: ,當時無解.當,且時,得解: ,當時無解.若在復域內考慮,當時得解:,此時得出了唯一解,復域內情形為三元數除法的特例.注意到在商有唯一解的公式中取,將,代入商有直線解的公式,將代入仍成立,可去間斷點必在連續直線

11、上.在三元數函數論中,為了研究問題的方便,定義可去間斷點為三元數商的主值,與商一樣仍用來表示,以實現商的單值連續,在商多值時一般專指商的主值,復域內情形為其特例,以后不再一一說明.利用數平面的概念,上述結果可簡述為(1) 時,方程組有唯一解,商唯一可求.(2) ,時,如果與在同一個數平面上,方程組有一條直線的解,商的主值唯一可求,復域內解為其特例.(3) ,時,如果與不在同一個數平面上,方程組無解,商為空集.最后來研究時的情形,此時,如果,此時沒有任何三元數滿足,所以解集是空集;如果,此時任意一個三元數均滿足,所以解集為,意即所有的三元數均為所求.綜上所述,三元數的乘除法比加減法要更為微妙,從

12、函數的觀點來看,三元數乘法得到的積是單值函數,三元數除法得到的商卻可以一值、多值(主值唯一)、甚至無解.其實即使在復域內考慮,乘除法也并不完全可逆,就是個例外,初等數學中一般規定不作除數,以保證除法運算所得到的商總是單值.在三元數函數論中,從更一般的觀點來看,三元數除法等價于三元一次方程組的求解,任意兩個三元數總可作除法,除法運算即解方程組的過程總可以進行,只是除法運算的結果（商）可能單值、多值、或無解罷了.4.4 推論（倒數定理）,時,稱為的倒數,代入,得(1) 時,倒數唯一可求.,(2) ,時,得解:,方程組有一條直線的解(3) ,時,得解:,方程組有一條直線的解(4) ,時,得解:,方程

13、組有一條直線的解(5)任何數乘以都不等于,所以沒有倒數,反之,任何非三元數總有至少一個倒數在復變函數論中,倒數函數將一個圓單值連續映照為另一個模為倒數的圓,在三元數函數論中,多值商取主值,后倒數函數將一個球面單值連續映照為另一個模為倒數的球面,復數倒數是三元數倒數的特例.4.5 乘除轉化定理 一般地,當且僅當時, 除以一個三元數等于乘以這個三元數的倒數.實際上當、商為多值時乘除轉化定理仍成立,此時只需左邊商取多值或主值而右邊的倒數也取多值或主值乘出即可.利用數平面的概念, 乘除轉化定理可簡述為:一般地,當且僅當與在同一個數平面上時,除以一個三元數等于乘以這個三元數的倒數,復域內情形為其特例.4

14、.6結合律定理 三個三元數相乘,當且僅當為實數或者、在同一個數平面上時,結合律成立,由于實軸是所有數平面的公共軸,任意數平面均包含實數,所以至少有一個數是實數的三個數相乘,其乘積滿足結合律.4.7 代數學基本定理 三維數空間里一般系數的一元次代數方程至少有一解（,）4.8 推論（實系數代數學基本定理）如果實系數一元次代數方程在復平面上有個實根，, 、對虛根 ,那么該方程在數空間里有且僅有個實根,和個圓的非實數根4.9 推論(實根定理)如果實系數一元次代數方程在復平面上有且僅有個實根,那么其在數空間里也有且僅有個實根4.10 推論(虛根定理) 如果實系數一元次代數方程在復平面上有且僅有對虛根,那

15、么其在數空間里有且僅有個圓的非實數根 三、三元數函數通過引入定義現在已能對兩個三元數作加、減、乘、除等四則運算,對單個三元數可進行乘方、開方,還可以解出數空間里形如、的二項方程.這都屬于初等數學中代數運算的范疇,下面利用冪級數理論對三元數函數進行推廣3.1指數函數定義: (1)先研究的指數函數,將代入并整理得 (2) 可以給出嚴格的證明,在整個數空間內是收斂的.令,在中即可得到此即著名的Euler公式,這里可以從三元數理論中導出,從而是三元數理論中的特例。當時,代入得 (3)此即求任一三元數指數函數的公式,三元數還有指數形式3.2三角函數與雙曲函數三元數,確定了三元數所在的數平面在數空間中的位

16、置,稱為三元數的代數傾角,簡稱傾角,相應特指三元數的幾何傾角.,3.3對數函數,則,因無解,將以指數形式寫出：,并記,于是,所以: ,由于指數函數在傾角為的數平面上有周期,其反函數對數函數是多值函數. 現在研究映射,平面被映射成球面,設,依次取,映射將自變量數空間內的中心圓柱體、無窮多的半圓環柱體依次映射成了函數數空間(不含原點),復變函數論中將直線映射成圓,自變量復平面帶形區域依次取被映射成了函數復平面（不含原點）,復域內結論是三元數函數論中的特例,實質表述了數空間中一個剖面的情形.3.4反三角函數和反雙曲函數注意到對數函數、三角函數、雙曲函數其實均來源于指數函數,而指數函數實質為在整個數空

17、間收斂的實系數的冪級數,任取一個數平面來研究,當自變量在傾角為的數平面上取值時,函數值亦在該數平面上變動,有,3.5冪函數,其中與是三元數,三元數基礎理論中已討論過的情形,分別為的乘方與開方,一般的開方根函數就已是多值函數,在新的定義下得出的結論與以前的結果并無不同.當取一般的三元數時出現了新的情況,盡管三元數的冪函數也是通過指數函數來定義,但由于不一定在同一個數平面上,所以當自變量在傾角為的數平面上變動時,函數值不一定仍在這個數平面上變動.3.6多項式和有理函數,其中均為多項式.多項式是有理函數的特例.顯然,在整個三維數空間內多項式處處收斂.3.7整函數與分式函數在三維數空間內,可表示成處處

18、收斂的冪級數的和的三元數函數稱為整函數,多項式是最簡單的整函數,非多項式的整函數(無窮高次多項式)稱為超越整函數,指數函數與三角函數都是超越整函數.易知有界整函數是常數.,(其中均為整函數)稱為分式函數.在復變函數論中研究了收斂的實系數、復系數的冪級數,在三元數函數論中,還需進一步去研究收斂的一般三元數系數的冪級數. 借助將三維數空間看作由傾角為的數平面（復平面）繞實軸（或軸）旋轉而成的幾何解釋,立即可以理解下列以點為中心的冪級數的收斂性:, 由于第一個冪級數在復平面上的單位圓內收斂,而單位圓繞軸在三維數空間里旋轉得到單位球面,所以級數在三維數空間里的單位球內收斂,其它幾個冪級數由于在整個復平

19、面內收斂,所以它們在整個三維數空間里亦收斂.3.8一般的三元數函數,其中、均為、的三元實函數,從本質上講,復變函數理論就是一對二元實函數的理論,而三元數函數論就是三個三元實函數的理論.四、三元數函數的解析理論定義4.1設為定義在區域內的單值函數,自變量,將沿傾角為的數平面作正交分解：, 當時,自變量與函數值在同一個數平面上變化,原式化為,如果函數在處沿數平面可微,則稱函數在處可導.此時為常量,有,定義4.2如,將函數的定義域依數平面分開,如果函數在傾角為的數平面上的部分處處可微,則稱函數在內上解析,簡稱平面解析;如果函數在內所有數平面上處處可微,則稱函數在自變量區域內解析,簡稱空間解析.從定義

20、可看出:對于三元數函數,導數未采用比的極限的傳統定義,而是利用了可微即可導的原理,有,直接把函數的微分系數定義成了函數的導數.不難得出函數可微或可導的充要條件為：, 在復域內考慮,傾角,式就變成了傳統的C-R條件,復域內結論是三元數函數論中的特例.定義4.3將函數沿傾角為的數平面作正交分解,如,在傾角為的數平面上的部分處處可微,則函數在內可分成兩部分,解析,不解析,稱函數為半解析函數.易知函數半解析的充要條件為: , ,例 4.1設函數,試分析函數在三維數空間是否解析.解1 設,代入整理得: 解出:據廣義C-R條件,函數在三維數空間內解析,且為空間解析. 解2 由得,直接求導得:,故函數在三維

21、數空間內解析.定義4.4設函數為定義在區域內的單值連續函數,如果可表示成一個收斂的三元數系數的冪級數,則稱函數為泛解析函數.解析函數是泛解析函數的特例.定理4.1泛解析函數表示成處處收斂中心在原點的冪級數的充要條件是組成函數的三個實變函數自鄰域中心點分別作Taylor展開后的各項滿足,稱為泛解析Taylor條件. 將代入式展開,對比各式得到無窮個偏微分方程組,依次求之得、等.,復域內復變函數在原點解析的條件是三元數函數在原點泛解析Taylor條件的特例.在三元數函數論中,函數可表示成收斂的冪級數與函數解析并不等價.五、三元數函數的積分理論三元數函數的積分主要是考慮沿數空間內曲線的積分,曲線應為

22、簡單光滑或逐段光滑的有向曲線,定義,如果為閉曲線,積分方向又為曲線的正方向,則沿此閉曲線的積分又可記作:,一般地,上的連續函數在上可積.定理5.1(圍道積分公式)設三元數函數在三維數空間的一個單連通區域內空間解析,是內的任意一點,則,其中閉路為圍住點的簡單光滑或逐段光滑的閉曲線,在內傾角為的數平面上,、.證 當點不在實軸上時,在傾角為的數平面上作圍道,據Cauchy積分公式定理得證,如果點恰好位于實軸上,此時通過任意一個數平面作圍道積分后亦可證得,故定理成立.復域內情形是時的特例.特別地,如取,則有,時即得注意:如點不在實軸上,傾角,此時點能且只能位于唯一的一個數平面上,只有在這個數平面上作圍

23、道積分才能求得,若點恰在實軸上,則通過任意一個數平面作圍道積分均可求得.定理5.2（積分為定理）設是區域內的連續函數,如對于內任意一條簡單光滑閉曲線都有,則有,證據Green公式與Stokes公式展開后,定理得證.在復域內此定理即成為Morera定理, Morera定理是此定理的特例.但在三維數空間,一般地,積分為與函數解析并不等價.單連通區域內沿閉路積分為的連續函數的積分完全由它的上下限決定,而與所沿的路徑無關,固定一點,另一點在內變動,則變上限積分所確定的函數與路徑無關,因而是的一個單值函數.六、三元數函數的級數理論6.1三元數項級數與三元數函數項級數 定理6.1.1給定一個三元數序列,其

24、中,則當且僅當,(各系數均為實數). 定理6.1.2三元數項級數收斂的充要條件是實數項級數、同時收斂.定理6.1.3三元數項級數收斂的必要條件是.定理6.1.4絕對收斂的三元數項級數其本身一定收斂.定理6.1.5 若三元數函數均定義在集合上,并且有不等式,正項級數收斂,則函數項級數在上一致收斂.定理6.1.6若在區域內連續,級數在內一致收斂于和函數,則在內處處連續.定理6.1.7若均在光滑或逐段光滑的曲線上連續,級數在上一致收斂于函數,則在上可積,并且有.定理6.1.8若均在區域內解析,并且在內一致收斂于和函數,則在內解析,并且有6.2冪級數實系數處處收斂的冪級數在所有的數平面上解析,屬于空間

25、解析,非實數的復系數的處處收斂的冪級數僅在復平面上解析,屬于平面解析,當然還存在一般三元數系數的處處收斂的冪級數,屬于泛解析.定理6.2.給定冪級數,如果極限,則當時,級數收斂;當時,級數發散. 證 據三元數的模律定理,由于時,級數的各項取絕對值后所構成的冪級數收斂,所以級數也收斂;當時,級數的一般項不趨于,故級數發散. (在三元數理論中,由于一般地,所以僅根據冪級數在（）點收斂,并不能判定級數在以原點為中心、為半徑的球內收斂,此時仍需根據定理6.2來判定級數的收斂區域.當然也可能級數的一般項只有成立,此時一般就只能判定級數在時收斂.6.3Laurent級數定義6.3在球帶區域內處處收斂的雙向

26、冪級數稱為Laurent級數.,令把分成兩部分,前一級數時收斂,后一級數時收斂,如恰好成立,則兩級數就有公共的收斂范圍,為一球帶,Laurent級數在球帶內絕對收斂.可以為無窮,可以為(),冪級數是Laurent級數的特例.七、四個定義、兩個猜想與結論定義:7.1如果泛解析三元數函數在點的值不存在,則稱為函數的奇點.定義:7.2如果在點的某一空心鄰域內有界,則稱為函數的可去奇點.定義:7.3如果在點的某一空心鄰域內當自變量趨于點時,趨于無窮,則稱為函數的極點.定義:7.4如果在點的某一空心鄰域內可趨于任意三元數(包括無窮),則稱為函數的本性奇點.猜想7.1(單位球猜想)對于三維數空間內任一邊界

27、不止一點的單連通區域,必存在收斂的冪級數將其一對一映照到單位球內部.猜想7.2(例外值猜想)超越整函數至多有一個點或半個圓的例外值(點是半個圓半徑趨于時的極限),否則方程在三維數空間總有無窮多個根.,時,在復變函數論中,單連通域內連續函數沿閉路積分為與函數解析等價,函數在圓盤區域內或圓環區域內存在處處收斂的冪級數表示與函數解析等價,然而在三元數函數論中,函數存在冪級數表示不一定解析,解析只是函數存在冪級數表示的特例.Weierstrass通過冪級數來構建函數論的方法某種意義上更為基本,這種形而上學的形式化定義既適用于結合代數,也適用于非結合代數,即使在傳統解析與積分理論不再成立的地方,冪級數理

28、論仍然適用.新的三元數函數論也提供了很多有趣的問題,比如在三維數空間解析函數的零點與奇點就不一定孤立,像就有一個圓的零點,但如果固定值將數空間依數平面分開,則每一個數平面上函數有且僅有兩個孤立的零點.又如在復變函數中經常提到的在單位圓內收斂的冪級數,一般教材都是告訴讀者因為在單位圓的圓周上出現了兩個極點與,函數在這兩點變為無窮,因而導致了函數的收斂域只能在單位圓內,不過如果從三元數函數論的觀點來看,導致函數收斂區域只能在單位球內的更深刻原因其實是因為在三維數空間內函數有一個整圓的奇點擋住了冪級數繼續延拓的進程.必須指出:一篇小短文遠不足以闡明三元數函數論中的所有問題與研究方向,由于新的理論更多

29、是從連續函數的性質出發而得出了諸多更一般的結論,因而與拓撲學和幾何學存在著天然緊密的聯系.同時出于解方程的需要,三元數函數論與非線性代數方程組、微分積分方程理論等也密不可分.在過去幾十年中,復變函數論中的一些重要結論逐漸被用拓撲學的方法給出了更為深刻的證明,考慮到連續函數是解析函數的更一般情形,相信隨著三元數函數論與數學中其他分支聯系的日益加深,新的理論必然會隨著更多新鮮養分的注入而茁壯成長、日臻成熟.最后指出,只需將三元數的傾角換成高維數空間中的傾角、,球坐標三元數理論可自然推廣至維數空間乃至無窮維數空間而形成廣義球坐標多元數理論.新的理論具備自我發展、自我完善的能力充分證明:好的數學對象自

30、有其不朽的生命與靈魂.一方面Cauchy是幸運的,因為只有一種復變函數理論,恰巧被Cauchy發現了;另一方面我們則更加幸運,因為Cauchy的發現并非全部,在復變函數理論之上,實際還存在著更為優美而和諧的三元數函數論以及多元數函數論.科學研究需要敢于創新,創新是科學的本質與靈魂.只有不斷突破前人勇于創新,科學才能不斷進步和發展.前人的理論固然偉大,但后人的成就終將會超越前人,立德立言、求美求真,在探索科學的道路上,總有更偉大的理論在等待著后人.八、致謝2006年超越復數的三元數在武漢湖北大學全國第六屆初等數學學術交流會上公開宣讀獲二等獎，由于曲阜師大李吉寶教授慧眼識珠,球坐標三元數理論2009年首先在中學數學雜志公開發表,2010年哈爾濱工業大學韓彥偉博士在獲得國家自然科學基金資助的論文一種三元數的新定義中首先引用了超越復數的三元數, 2011年北京航空航天大學全國大學生數學競賽的獲獎者蔣正好將球坐標三元數編入了