1、具有連續和脈沖捕獲的漁業管理模型的最優控制趙立純1,李秀穎1,2,張慶靈3,黃玉潔1,劉敬娜1(1.鞍山師范學院 數學系,遼寧 鞍山 114007;2.遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029;3.東北大學理學院,遼寧 沈陽 510275)摘要：根據經濟學和生態學原理建立具有連續和脈沖效應的最優漁業管理模型.利用最優脈沖控制原理,得到該模型的最優連續和脈沖時刻以及相應的種群數量.最后,通過數值模擬驗證結論的有效性.關鍵詞：漁業管理模型;脈沖控制;最優控制原理中圖分類號：O232 文獻標識碼：A 文章篇號：0 引言近些年,再生性資源的管理問題引起了許多學者的關注,一些學者以生態學為基礎,

2、建立了種群生態管理模型,并研究生態種群的持續生存以及最優管理問題,上述模型中的控制都是連續的1-7,而一些生物種群的數量會由于自然或人為的原因在很時間內發生極大變化,脈沖微分方程能客觀地描述這些現象.二十世紀九十年代有關脈沖微分方程的理論研究取得了一些進展8-10,并且這些理論得到了廣泛的應用11-13.值得一提的是,Blaquiere將博弈論與脈沖微分方程理論相結合得出最優脈沖控制原理14.這一理論在生態系統中得到了一些應用15-18,文獻16中,作者根據動物在兩個斑塊間轉換,建立了以食物剩余量為狀態且具有脈沖效應的微分方程,利用脈沖微分系統的最優控制理論研究了最優搜尋問題,得到了最優搜尋時

3、刻.文獻17中,作者利用脈沖微分系統的最優控制原理研究了具有Logistic增長的單種群模型的脈沖最優控制問題,得到了最優捕獲時間和最優捕獲量.文獻18中,作者將微分方程周期理論與脈沖控制理論結合,利用最優脈沖控制原理討論了具有周期系數的單種群模型的最優脈沖控制,得到了相應模型的最優捕獲效果.但上述研究值強調了脈沖捕獲,而沒有連續捕獲.對于只有連續狀態的管理模型缺乏對脈沖現象的表述,對于只有脈沖控制的管理模型又缺乏對連續狀態的描述.實際上漁民在養魚的過程中,可能有集中捕獲的發生,也可能有分散捕獲的發生,這樣,同時具有連續和脈沖捕獲的漁業管理模型成為刻畫這一過程的有力工具.所以,本文以此為背景,

4、研究了具有連續和脈沖捕獲的漁業管理模型的最優控制問題,具體結構如下:第一部分,根據生態學原理,建立具有連續和脈沖捕獲的漁業模型,再根據經濟學原理,設立使漁民獲得最大經濟利益的性能指標,從而構成漁業管理模型.第二部分,根據最優脈沖控制原理研究所建模型的最優脈沖控制問題,得到最優連續控制以及相應的種群數量和最優脈沖捕獲時刻和相應的最優捕獲水平.第三部分,利用數值模擬驗證結論的有效性.收稿日期:2011-10-基金項目:遼寧省自然科學基金資助項目(20092179).作者簡介:李秀穎(1986-),女,遼寧朝陽人,遼寧師范大學數學學院2009級研究生 E-main: shuxuexi22lxy.11

5、 模型建立在如下四個假設情況,建立漁業管理模型:(1) 漁民管理魚池中的魚種群按Logistic增長規律增長,則魚池中魚種群數量可由以下模型表示19 (1.1)其中是魚池中魚種群在時刻的種群數量,是魚種群的內稟增長率,是魚池的承載能力,是初始時刻中魚池中魚的數量,且均為正數.(2)漁民需要每天提供一定數量的魚種群,長期進行可看作時對魚種群的連續捕獲,單位時間內捕撈量與魚量成正比,則單位時間的捕撈量為,具體過程可由以下模型表述: (1.2)其中表示連續捕獲強度,.(3) 某一季節市場大量需要魚種群,需要對魚種群進行大量捕撈,此時會導致魚的數量在極短時間內發生很大的變化,脈沖捕獲能客觀地描述這些現

6、象.結合具有連續捕獲的模型,則可得出具有連續和脈沖效應的漁業模型 (1.3)其中是脈沖捕獲時刻,是脈沖捕獲時刻的捕獲率.(4) 從經濟角度講,漁民經營魚池的主要目的是通過捕獲魚種群來獲得經濟利益,此經濟利益是從捕獲魚種群所得的收入中減去開支得到的,假設漁民管理魚池在時間段內獲得的總利潤為 (1.4) 其中是脈沖控制變量(表示無脈沖發生,表示脈沖發生);是平時捕獲過程中單位魚種群的價格,是脈沖捕獲時單位魚種群的價格;是脈沖捕獲成本.是捕獲單位魚種群的成本.注1平時的捕獲量會小于脈沖捕獲量,平時捕獲過程中魚的價格會大于脈沖捕獲時魚的價格,即.注2 對模型(1.4),一般有,根據文獻13,不妨假設.

7、注3 為使總利潤最大,只需使最小,根據最優控制原理,可設性能指標為 (1.5)綜上所述,得出以下具有連續和脈沖捕獲的漁業管理模型 (1.6)針對模型(1.6),利用最優脈沖控制原理,確定使取最小值的最優連續控制轉換時刻以及相應的最優捕獲水平與最優脈沖捕獲時刻和相應的最優捕獲水平.2 預備知識本部分介紹最優脈沖控制原理,以備后用.設狀態變量為(),并且,分別為正?？刂谱兞亢兔}沖控制變量,假設為函數且滿足: 這里,.設目標函數為這里是函數,是中的脈沖點.定義2.114 在是最優的當且僅當() 在是可行性策略;() ,;這里表示處所有可行性策略,是從出發的由引起的目標集.是從出發的由引起的目標集.設

8、(1) 是上具有左連續的分段連續函數;(2) ;(3) .定理2.114 存在,是方程(a) ;(b) ;在和上的解,并且滿足下列關系() ,;() ;() () ,;() ;當時,橫截條件變為隨后部分,利用最優脈沖控制原理對模型(1.6)實施控制.3 最優脈沖控制根據定理2.1,本文的控制分為兩個部分:連續控制部分、脈沖控制部分.模型(1.1)的初值問題的解為 (3.1)假設連續控制部分記為:和,脈沖控制部分記為:和),有用表示連續哈密頓函數,表示脈沖哈密頓函數,表示伴隨變量,于是有 (3.2a) (3.2b)根據式(3.2),本文的最優控制分為兩部分進行.3.1 連續控制由定理2.1的式(

9、a)有 (3.3)由式(3.3),得 (3.4)由定理2.1的()可得如下三種情況 (3.5)假設脈沖捕獲時刻為,則在內,模型(1.6)是連續系統.由于控制在連續型哈密頓函數(1.5)中以線性方式出現,并且模型(1.6)對有約束,根據最優控制原理20來討論最優連續控制.式(3.2a)可改寫為由,得 (3.6)由式(3.6),有 (3.7)式(3.6)代入式(3.3)中,并結合式(3.7)消去控制,得最優連續控制的轉換時刻時的種群數量根據文獻20,如果函數不是嚴格單調函數,則會產生奇異現象,下面就來看函數是否具有單調性.首先討論的單調性,由于 (3.8)因為,所以有.則式(3.8)的解為由于,所

10、以有進一步,有易知,從而是嚴格增函數.本文假設在進行脈沖捕獲前解曲線的斜率為正的,所以當時,從而是嚴格增函數,又因為是常數,所以是嚴格減函數,從而本文的連續控制不存在奇異現象.由上述分析可知,只可能有一個零點.由最優控制原理知最優連續控制函數是分段常值函數.根據式(3.5),或者從到,或者從到.就這兩種情況,分別作出如下討論:情況1 如果在開始時刻魚種群數量較少,為使魚種群增長速度不至于過慢,對魚種群需進行少量捕撈,捕撈努力應該小,故開始時刻有,開關是從到.如圖3.1所示.情況2 如果在開始時刻魚種群數量較大,可以實施最大捕獲努力來抑制種群增長速度,此時在開始時刻有,開關是從到.如圖3.2所示

11、. 圖3.1 情況1的連續控制轉換圖 圖3.2 情況2的連續控制轉換圖針對情況1,根據式(3.1)可得最優連續控制的轉換時刻 從而得到相應情況下的最優連續控制為 綜上所述,可得如下定理:定理3.1 對于模型(1.6),魚種群的初始狀況為情況1時,最優的連續控制取,得到最優連續控制的轉換時刻及相應的種群數量為, 針對情況2,據式(3.1)可得最優連續控制的轉換時刻 從而得到相應情況下的最優連續控制為可得如下定理:定理3.2 對于模型(1.6),魚種群的初始狀況為情況2時,最優的連續控制取,得到最優連續控制的轉換時刻及相應的種群數量為, 假設魚種群增長曲線沿著上述討論的曲線走向脈沖捕獲,則連續控制

12、轉換后成為,魚種群在之前的時刻轉換到新的斑塊,即發生脈沖捕獲.針對上述兩種情況,分別研究在具有連續控制基礎上的最優脈沖控制.3.2 脈沖控制首先,對于情況1.由定理2.1的式(b)有 (3.9)由式(3.4),得 (3.10)由定理2.1的()可得如下三種情況 (3.9)式()表示有脈沖發生的情況,式()表示無脈沖發生的情況,式()代表式()與式()的邊界情況,這個邊界定義為定義集合其中集合是進行脈沖捕獲行為的區域,集合是不進行脈沖捕獲行為的區域.根據模型(1.3)有 (3.12)漁民管理魚池是通過捕獲魚種群來獲得利益,脈沖捕獲是獲得最大經濟利用的一種途徑,假設式()成立,結合式(3.4)與式

13、(3.12),有根據定理2.1的(),得進一步有 (3.13)把式(3.6)代入式(3.13)中,得 (3.14) 此處有三點說明:(1) 設由式(3.14)定義的曲線為,則最優的脈沖捕獲只能發生在曲線上.(2) 如果連續控制下的解曲線式(3.1)與曲線相交,則在交點處進行的脈沖捕獲是連續控制作用下所實施的最優脈沖捕獲.(3) 對于說明(2)中的交點,如果此交點屬于集合,則表示可以進行脈沖捕獲,并且是可允許的連續控制作用下所實施的最優脈沖捕獲.如果此交點屬于集合,則表示無脈沖捕獲發生.由式(3.1)與式(3.14)可以得到最優脈沖捕獲時刻,具體如下進一步,得 (3.15)由于最優脈沖捕獲時刻,

14、在時,最優的連續控制取,所以令其中.如果,且,則由式(3.15)可得相應于定理1的最優脈沖捕獲時刻 (3.16)式(3.16)代入式(3.10)中,令 (3.17)其中.式(3.17)代入式(3.14)中,可得相應于定理3.1的最優收獲水平綜上所述,對情況1可得如下定理:定理3.3 對于模型(1.6),如果定理3.1的條件被滿足,且滿足以下條件(1) ,且,(2) ,則模型(1.6)存在最優脈沖捕獲時刻和相應的最優捕獲水平 其次,對于情況2.對脈沖控制的討論(式(3.11)-式(3.15)如情況1. 但在求最優脈沖時刻時,對于情況2,最優脈沖捕獲時刻,在時,最優的連續控制取,所以令其中.如果,

15、且,則由式(3.15)可得相應于定理3.2的最優脈沖捕獲時刻 (3.18) 式(3.18)代入式(3.10)中,令 (3.19) 其中.式(3.19)代入式(3.14)中,可得相應于定理3.2的最優收獲水平綜上所述,對情況2可得如下定理:定理3.4 對于模型(1.6),如果定理3.2的條件被滿足,且滿足以下條件(1) ,且,(2) ,則模型(1.6)存在最優脈沖捕獲時刻和相應的最優捕獲水平 4 數值模擬下面通過數值模擬來檢驗結論的有效性.對于定理3.3,令,初始值為,并且這些常數的含義如前文所述.則最優連續控制的轉換時刻以及相應的種群數量、最優脈沖捕獲時刻以及相應的最優捕獲水平如圖4.3所示.

16、 對于定理3.4,令,初始值為,其余參數取值同上,則最優連續控制的轉換時刻以及相應的種群數量、最優脈沖捕獲時刻以及相應的最優捕獲水平如圖4.4所示 圖4.3 情況1時的最優脈沖控制曲線 圖4.4 情況2時的最優脈沖控制曲線在圖4.3中,曲線為魚種群的增長曲線,曲線是能夠發生最優脈沖的曲線,是可能發生脈沖的區域,是不能發生脈沖的區域,而曲線正是這兩個區域的分界線.魚池中的魚種群在初始時刻的數量為,隨著時間的變化魚種群數量在不斷地增長,由定理3.1知,當時間從初始時刻到最優的連續控制轉換時刻,連續控制取最小值,在最優的連續控制轉換時魚種群數量為,當時連續控制取最大值.由定理3.3知,當魚種群數量增

17、長曲線與曲線相交于區域內,此時即為進行脈沖捕獲的最優時刻,相應的最優捕獲水平為.圖4.4的討論與圖4.3的討論類似.由圖4.3與圖4.4不難看出,魚種群數量增長曲線受連續捕獲影響,從而影響著最優脈沖捕獲時刻以及最優捕獲水平.5 結束語本文研究了通過魚池養魚來實現經濟利益的實際問題.當魚種群按照自然規律增長時,對其施加連續以及脈沖控制以獲得最大的經濟利益.在定理3.3和定理3.4滿足的條件下,確定了最優連續控制的轉換時刻以及連續控制的值,并找出了連續控制情況下進行脈沖捕獲的最優時刻,在這個時刻對魚種群進行脈沖捕獲,可以使漁民在整個過程中獲得最大的經濟利益.本文以漁民獲利為原則,未考慮使生態資源持

18、續生存的優化問題,在隨后的研究中,將把優化問題以及多次脈沖捕獲與經濟效益結合,研究使經濟獲益最大并且使生態持續生存的問題.參 考 文 獻1 王麗娟.微分方程的最優控制J. ,2002,2 陳蘭蓀,劉平舟,肖藻.種群生態系統的持續生存J.生物數學學報,1988,3(1):18-32.3 l李晶,陳思.淺談最優控制J.黑龍江科技信息,2008,27.4 Song Xinyu,Chen Lansun.Optimal harvesting and stability for a two-species competitive system with stage structureJ.Mathemati

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