1、2009 2010學年第1學期 概率論(A卷)考試類型：(閉卷) 考試時間： 120分鐘學號 姓名 年級專業題號一二三四五六七總分得分評閱人一、填空題(每空 3分，共24分)1 .設兩事件 A,B滿足條件P( A B=p A,)B且P( A> p ( 0 p: ,1則P(B)=.2 .設F1(x), F2(x), F3(x)分別是隨機變量X1, X2, X3的分布函數，為使 F(x)= qF(才2b R +X 3 CF)x機變量的分布函數，則 a+b+c=.3 .設隨機變量 X 服從泊松分布P(K),且P X= 1 = P X= ,2則 九二; P X = 3 =.4 .設 X ： N(

2、0,1),Y =2X +1,則 P| Y -1|<2 =.5 .若隨機變量自在1,6上服從均勻分布，則方程X2 +X +1 = 0有實根的概率為 . 1 ,6 .設隨機變量 X,Y相互獨立，其中 X在-2,4上服從均勻分布， Y服從參數為一的指數 3分布，則 E(2X -Y) =; D(2X -Y)=.二、選擇題(每小題 3分，本題共15分)1 .對兩事件A和B,下列命題成立的是().A、如果A、B相容，則A B也相容；B、如果 P(AB)=0 ,則 A、B不相容；C、如果A、B相互獨立，則 P(B A)=P(B)成立；D、如果A、B對立，則事件A、B相互獨立.2 .設連續型隨機變量 X

3、的密度函數為f (x),且f (B) = f (x),x而，又設X的分布函數為F(x),則對任意正實數a,F(_a)等于().a(A) 1-0f(x)dx； (B)1 a2 - .0 f(x)dx；(C) F(a)；(D) 2F(a)-1.3.當隨機變量X的可能值充滿區間時,則函數F(x)cos(x)才可以成為隨機變量11X的分布函數.(n1(B)一,二；.2(C)0,二；(D) ,27：. 24.設隨機變量X與Y相互獨立，其概率分布分別為0.3 0.70.3 0.7則有(A) P(X).=丫)=0;(B)P(X -Y) =0.5;(C) P(X-Y) =0.58;(D)P(X =Y) =1.

4、5.隨機變量X的概率密度函數為fX (x)=12-二(1 x ),x w R ,則 Y=3X的密度函數為()A、，y 亡 R ； 二(1 y )B、_2二(9 y )C、D、，y R二(1 9y )三、解答題(15分)設隨機變量X與Y相互獨立，它們的密度函數分別為:1-,0 Mx M2fX (x) = 20,其他4e"y, y 0 fY(y)=.0,y£0試求:(X,Y)的聯合密度函數；(4分)(2)P(Y <2X) ; (5 分)D(2X -Y ). (6 分)四、簡答題（10分）某人考公務員接連參加同一課程的筆試和口試，筆試及格的概率為p,若筆試及格則口試及格的概

5、率也為 p ,若筆試不及格則口試及格的概率為p .（1）如果筆試和口試中至少有一個及格，則他能取得某種資格，求他能取得該資格的概率.（5分）（2）如果已知他口試已經及格，求他筆試及格的概率.（5分）五、解答題(15分)設平面區域為 D=(x,y)0ExEl,x2EyEx,二維隨機變量(X,Y)在該區域上服從均勻分布；(1)求(X,Y)的聯合密度函數；(4分)(2)求關于X和關于Y的邊緣密度函數fx(x), fy(y),并問X、Y是否獨立？ ( 7分)一，1、 八求 P(X <-). (4 分)3六、簡答題(10分)某儀器裝有三支獨立工作的同型號電子元件，其壽命 X (單位為小時)都服從同

6、一指 數分布，概率密度為1 -xe 600,x 0f (x) = j 600,0, x < 0求：(1) PX <200 ; (4 分)(2)在儀器使用的最初 200小時內，至少有一支電子元件損壞的概率.(6分)0.1， 0.2， 0.3。X 的數學期望EX 與七、簡答題（11 分）一臺設備由三大部件構成，在設備運轉中各部件需要調整的概率分別為假設各部件的狀態相互獨立，以X 表示同時需要調整的部件數，試求方差 DX.2009 2010學年第1學期 概率論（A卷）參考答案考試類型：（閉卷）考試時間： 120分鐘四、填空題（每空3分，共24分）1.2.1_p;1_ ；3.(或0.180

7、4);4.26(1)-1 或0.6827；5. 4/5;6. -1五、選擇題（每題1 5: C、B、D、21.3分，本題共15分）C、B;六、解答題（15分）八,0 < x <2,y 00,其他解：（1）因為隨機變量 X, Y相互獨立，, 所以它們的聯合密度函數為：f(x, y) = fX(x)fY(y) =2e(2) P” <2X = 口 f (x, y)dxdyy ：2xJ0 2e"ydydx2_4y0(-e y)2x 0=-(x1e 巧28dx = 1 0 (1 e&x)dx ,15146二 一 一 e , 16 16(3) EX =1 16=15 e

8、1621.一 xdx =1;0 222 12EX pxdx所以 DX =E(X2 ) (EX 24=一；3-1313；1-41一 4-EY = 10 y 4e ydy = -y e y o- + 2f0 ye ydy =DY =E(Y2 -(EY 2 =16416所以1167D(2X-Y)=43 16 48七、簡答題(10分)解：A “筆試”，a2 “ 口試”，A ”他能取得該種資格”由已知條件得：P(A)=P，P(A)=1 p, P(A2 A1) = p, P(A21A1)= p(1) P(A) = P(A J AA2)= P(A1) + P(A1A2)= p + P(A2|A)P(A)p3

9、12字1 一匕。p.5分(2) P(A4) =P(A4)PC)P(&A)P(A)2PP(A2|A)P(A) P(AdA)P(A) =r"p10分八、解答題(15分)解：(1)先求出區域D的面積Ao 121A = (x -x )dx = f I I y y y.,06所以，(X,Y)的聯合密度函數為16, x2 _ y _ xf(x,y) =1o,其他.(2)關于X的邊緣密度函數fX(x)為fx (x)=oO一 f(x, y)dy = x"6dy,0ExM1, 0,其他.26(x-x2),0 <x<1, 、0,其他.關于Y的邊緣密度函數fY(y)為! J6

10、dx,0 一 yfY(y) = Lf(x, y)dx = yh其他.三1，= 6( 5-y),0 三丫 三1, 。,其他.顯然，f (x,y) ¥ fX(x)fY(y),所以X與丫不相互獨立。,2分(3)方法1,1P(X )=311.21213'一fX(x)dx =6 (x-x )dx =6x -x 023_727方法211 o,P(X _-) =P(X _-;X2 <Y < X) = odxJx2 f (x, y)dy =103dxjx2 6dy12121 3 1=6 ；(x -x )dx =6-x -x 3727九、簡答題(10分)200解：(1) PX &l

11、t; 200 = oe600x600 dx = 1 - e(2)設Y為3個元件在最初200小時損壞的個數，則YB(3,1-e3)<1、3PY >1 =1 PY =0 =1 e飛=1 -e。十、簡答題(11分)解法一：X的取值為調整的部件數，顯然為非負整數，又每一部件是否需要調整只有兩種可能結果(調整與不調整)事件為Ai(i=1,2,3),令于是，引入隨機變量 X.為此設三大部件中第i個部件需要調整的Xi1，0,若A發生若A不發生則Xi的分布律為Xi01P1-P(A)P(A)因而E(Xi) = p(A), E(Xi2) =P(A).(i =1,2,3);,D(X) =E(X：)-E(

12、Xi)2p(A)(1 p(A).,因X =Xi +X2 +X3，且XX2，X3相互獨立，有E(X) =E(XJ E(X2) E(X3) = p(A) p(Ai) p(A) = 0.1 0.2 0.3 =0.6.D(X) =D(X1)D(X2) D(X3)= 0.1 0.9 0.2 0.8 0.3 0.7 =0.46.解法二：設三大部件中第i個部件需要調整的事件為Ai(i=1,2,3),則,“P(X =0) = P(A4A) =0.9 0.8 0.7 =0.504.,P(X =1) = P(AiA2A3)+ P(A4A3)+P(AiA2A3),1 分= 0.10.80.70.90.20.70.9 0.80.3 =0.398.P(X =2) =P(AiA2A3) + P(AA2A3)+P(AXA3),1 分u0.10.20.70.10.80.30.9 0.20.3 =0.092.P(X =3) = P