1、b學生：科目：數 學教師：譚前富課題相似三角形和圓的綜合提高教學內容知識框架相似三角形的性質是幾何證明的重要工具，是證明線段和差問題、相等問題、比例問題、角相等問 題的重要方法，尤其在圓中，相似三角形有著極其重要的作用 .1、相似三角形的性質相似三角形的對應邊成比例，對應角相等，對應邊上的中線，角平分線，高線，周長之比等于 相似比，面積之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法(1)三邊對應成比例的兩個三角形相似(2)兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似(3)兩組角對應相等的兩個三角形相似 .4、由相似三角形得到的幾個常用定理定理1平行于三角形一邊的直線截得的三角形與原三角形形似AD

2、AEDE如圖，右DE”BC ,則=AB AC BCAD BD =. AE CE定理2平行切割定理如圖，D,E分別是D ABC的邊AB, AC上的點,過點A的直線交DE,BC于M ,N，若DE / MN ,ntt DM BN則=一ME NCE定理3 (平行線分線段成比例定理)兩條直線被一組平行線截得的對應線段成比例如圖，若li / I2 / I3,則AB 二BC_ ACAfe -BCA- C定理4 （角平分線性質定理）如圖，AD,AE分別是DABC的內角平分線與外角平分線，ntt DBEBAB貝U=.DC ECAC定理5射影定理直角三角形斜邊上的高分原三角形成兩個直角三角形，這兩個三角形與原三角

3、形相似定理6 相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在。O中，弦AB、CD相交于點P,PA PB = PC PD定理7 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比 例中項。即：在。O中，直徑 AB _L CD ,2 CE2 = AE BE定理8 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長 的比例中項。即：在。O中，PA是切線，PB是割線_ 2PA = PC PB定理9割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在。O中，: PB、PE是割線PC PB = P

4、D PE二例題講解1利用相似證明角相等例 1 如圖，DABC 中，？BAC 90?,AB交BC于點E .(1)求證：?ADB ?CDE(2)若AB=2 ,求D CDE的面積.AC ,D是邊的中點，AH A BD ,垂足為H ,練習在D ABC中,DF a AC于點F ,求證:2利用相似證明線段相等例2 已知點E,F分別在矩形 ABCD的邊AB,AD上，EF / BD , EC, FC分別交BD于點G,H ,求證：BG = DH練習1、如圖，梯形 ABCD中AD / BC ,對角線 AC,BD交于點P ,過點P作BC的平行線分另ij交AB,DC于點E,F ,求證PE = PF .2、如圖，D A

5、BC 中，AB = AC, AD a BC 于 D ,E,G分別是AD, AC的中點，DF a BE于F ,求證：FG=DG .D作直線分別交 AB, AC于點E,F ,若M ,N, R,S 和 P ,A3證明比例（等積）線段例3 如圖，BD, CD為的兩條角平分線，過點AE = AF ,求證：EF2 = 4BE?CF例4如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O ,直線l平行于BD ,且與AB, DC BC,AD及AC的延長線分別交于點求證：PM ?PN PR?PS練習1、如圖，在DABC中，AD是DA的平分線，AD的垂直平分線交 AD于點E ,交BC的延長線于點F .求證：FD 2=F

6、B ?FCAA2、AD,BE是DABC的高線，過D作AB的垂線,垂足為F ,與BE及AC的延長線分別相交于 M ,N ,2.求證：DF = FM ?FN3、AD是RtDABC的角平分線，？ C 90?,求證:AC2 _ BC2 =4求線段比AD 2BDA例5 ABCD是正方形，E, F是AB, BC的中點,聯接 EC 交 DB,DF 于 G,H ,求 EG : GH : HC .練習 1、梯形 ABCD 中，AD / BC,?ABC 90?,對角線AC人BD于點P ,若處=3 ,求膽的值.BC 4 AC2、如圖，在平行四邊形 ABCD中，過點B的直線順次與 AC, AD及CD的延長線相交于點5

7、證明線段（線段比）和差E,F,G,若 BE= 5,EF = 2,求 FG 的長.例6 如圖，已知 AB / CD, AD / CE,F,G分別是AC和FD的中點，過 G的直線依次交AB, AD,CD,CE 于點 M ,N,P,Q .求證:.MN + PQ = 2PN練習 如圖，P是D ABC內一點,AP,BP,CP分別與對邊交于點 D,E,F ,求證:AE AFAP+ =EC FBPD的證明垂直如圖，H,Q分別是正方形ABCD的邊AB, AC上的點，且BH=BQ ,過B作HC垂線，垂足分別為 P ,求證：DP APQ.BQCb練習題1、如圖，DABC 中，？BAC 90?,AB, AC的垂線，

8、垂足分別為 F ,G ,求證：2、D ABC與DAB C?均為等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是BC邊上一點，過點 E作? FDG 90?AZCC BDECBC和B1C1的中點均為D ,求證：AA A CC17 證明平行例8 如圖，在矩形ABCD中，EBJ' CC11 F是DC邊上的點，滿足DE = EF = FC ,又G、H是BC上的點，滿足BG =GH = HC . AE與DG相交于點 求證：KN / CD .練習題 如圖，兩個等邊 AABC2ADE頂點A重合，過點F,G.(1)求證：DF平分NAFE.(2)求證：AG / BD .LC8利用相似三角形的面積比K , AF與DH相

9、交于N . Ap- BDEFCE作BC的平行線，分別交 AB,CD于<_ A例9在D ABC的內部取點3個三角形t1,t2,t3的面積分別為P ,過P點作3條分別與DABC的三邊平行的直線，這樣所得的A4,9,49,求 DABC 的面積.b。b_ 2AB BD練習 1、AD是RtMBC斜邊上的高，求證：AB-=AC2 DCb2、梯形ABCD中 AD / BC , AD =4,BC =8,點 E, F 在 AB, DC 上，且EF / BC，若直線EF平分梯形ABCD的值AE的面積，（1）求EF的長，（2）求EB練習題1、已知平行四邊形 ABCD中，M ,N為AB的三等分點,DM ,DN分

10、別交AC于P,Q兩點，求BP : PQ : QC 的值.2、如圖，在平行四邊形 一 1 一證：AG = -AC5ABCD 中,1 _E為AB的中點，AF = _ FD , FE交AC于點G ,求23、如圖，AM是的中線，P是AM上一點，BP,CP分別交AC, AB于點D,E ,求證：DEB BC4、DABC 中,AB= AC,?BAC 90?, D 是 BC 邊的中點，AH ABD交BD于點H ,交BC于點E ,求證:BE = 2 EC5、在四邊形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點，P為對角線AC延長線上任意一點，PF交AD于點M , PE交BC于點N , EF交MN于點K .求證：K是

11、線段MN的中點.DDE與BC的延長線6、銳角三角形 DABC中，AB> AC,CD,BE分別是AB, AC上的高,交于點T ,過D作白B BC垂線交BE于F ,過E作BC的垂線交CD于G ,證明：F ,G,T三點共線.7、如圖，在等邊DABC中，BC邊上取點D ,使BD :CD =1:2，作CH A AD ,垂足為H ,聯接 BH ,求證：？ BAD ? HBC .圓中的相似三角形1、AB是。的直徑，點 C在。0上，/ BAC=60° , P是OB上一點，過 P作AB的垂線與 AC 的延長線交于點 Q,連結OC,過點C作CDLOC交PQ于點D.(1)求證： CDQ是等腰三角形；

12、(2)如果 CDQA COB,求 BP ： PO 的值.2、 ABC內接于圓 O, / BAC的平分線交。于D點，交。O的切線BE于F,連結BD , CD.求證：(1)BD 平分/ CBE; (2)AB BF = AF DC.E3、 OO以等腰三角形 ABC 一腰AB為直徑，它交另一腰AC于E,交BC于D.求證：BC=2DE4 、 。內兩弦AB, CD的延長線相交于圓外一點E,由E引AD的平行線與直線 BC交于F,作切線FG, G為切點，求證： EF=FG.5 .如圖，。是ABC勺外接圓，/ BAC的平分線與BC邊和外接圓分別相交于D和E.求證：AD- EC = AC BD證明：6 .如圖，C

13、DW。于 P, PE!AB于 E, AC±CD BDLCD.求證： PE: AC = PB: PA PE 2 = AC - BD7.已知：0ABeD 過點D作直線交AC于E,交BC于F,交AB的延長線于G,經過B、G F三點作。O,過E作。的切線ET, T為切點. 分g求證：ET = ED/ 工8 .如圖，AB是。直徑，ED±AB于D,交O O DF9 .如圖，弦EFL直徑MNT H,弦MC長線交 線于 A,求證：MA?MC= MB?MD10、如圖，AB、AC分別是。O的直徑和弦，點 交AB于點H,交AC于點F,過點C的切線交2)AH于 G, EA交。于 C, CB交 ED

14、于 F,求證：DG2= DE? EEF的反向延長/ / MtD為劣弧AC上一點，弦 ED分別交。O于點E, ED的延長線于點P.(1)若 PC=PF,求證：AB LED;(2)點D在劣弧AC的什么位置時，才能使 AD2=DE - DF11.如圖(1),AD是4ABC的高，AE是4ABC的外接圓直徑， 則有結論：AB AC=AE AD成立，請證明.如果把圖(1)中的/ ABC變為鈍角，其它條件不變，如圖 (2),則上 述結論是否仍然成立？,為什么？分)圖圖(2)12.如圖，AD是4ABC的角平分線，延長 AD交 ABC的外接圓的。Oi與AC的延長線交于點 F,連結EF、DF.(1)求證: AEF

15、 s' fed ；(2)若 AD=8 , DE=4 ,求 EF 的長.。于點E,過點C、D、E三點13.如圖，PC與。O交于B ,點A在O O上，且/ PCA= / BAP.(1)求證：PA是。的切線.(2)AABP和ACAP相似嗎？為什么？(3)若 PB:BC=2:3 ,且 PC=20 ,求 PA 的長.14.(本小題滿分7分)已知：如圖， AD 是。的弦，OBLAD 于點 E,交O O 于點 C, OE=1 , BE=8 , AE:AB=1:3.(1)求證：AB是。的切線；(2)點F是ACD上的一點，當/ AOF=2 / B時，求AF的長.15.如圖，/ABC內接于。0,且BC是。的直徑，AD± BC于D,AB= 6, AC= 8,求 CD DE,及 EF的長。F是弧BC中點，且 AF交BC于E,16. 已知：如圖，在 RtABC 中，/ACB=90“，AC =4 ,