1、 概率論與數理統計是研究隨機現象統計概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科規律性的學科. 隨機現象的規律性只有在相隨機現象的規律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來來. 也就是說，要從隨機現象中去尋求必然也就是說，要從隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現象的法則，應該研究大量隨機現象. 研究大量的隨機現象，常常采用極限研究大量的隨機現象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究形式，由此導致對極限定理進行研究. 極極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種種:與與大數定律大數定律中心極限

2、定理中心極限定理下面我們先介紹大數定律下面我們先介紹大數定律 大量的隨機現象中平均結果的穩定性大量的隨機現象中平均結果的穩定性 大數定律的客觀背景大數定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現頻率正面出現頻率字母使用頻率字母使用頻率生產過程中的生產過程中的廢品率廢品率幾個常見的大數定律幾個常見的大數定律定理定理1（切比雪夫大數定律）切比雪夫大數定律）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 設設 X1,X2, 是相互獨立的隨機是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2,

3、 ，切比雪夫切比雪夫則對任意的則對任意的0， 證明切比雪夫大數定律主要的數學證明切比雪夫大數定律主要的數學工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式. 設隨機變量設隨機變量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，則對于任給則對于任給 0,2 221| )(| XEXP 切比雪夫大數定律表明，獨立隨機變切比雪夫大數定律表明，獨立隨機變量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，則，如果方差有共同的上界，則niiXn11與其數學期望與其數學期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11隨機的了，取值接近于其數學期望的概率接隨機的了，取值接近于其數學期望的概率接近于

4、近于1.即當即當n充分大時，充分大時，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大數定律給出了切比雪夫大數定律給出了平均值穩定性的科學描述平均值穩定性的科學描述請看演示請看演示切比雪夫不等式和大數定律切比雪夫不等式和大數定律 作為切比雪夫大數定律的特殊情況，作為切比雪夫大數定律的特殊情況，有下面的定理有下面的定理.1|1|lim1 niinXnP定理定理2（獨立同分布下的大數定律獨立同分布下的大數定律） 設設X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量是獨立同分布的隨機變量序列，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,則對任給則對任給 0,2 下面給出的貝努里大數定律，下面給出的貝努里大數定律，

5、是定理是定理2的一種特例的一種特例.貝努里貝努里 設設Sn是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發發生的次數，生的次數，p是事件是事件A發生的概率，發生的概率，否則，發生次試驗如第，01AiXi引入引入i=1,2,n則則 niinXS1niinXnnS11是事件是事件A發生的頻率發生的頻率 于是有下面的定理：于是有下面的定理： 設設Sn是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發生的發生的 次數，次數，p是事件是事件A發生的概率，則對任給的發生的概率，則對任給的 0，定理定理3（貝努里大數定律貝努里大數定律）1|lim pnSPnn或或0|lim pnSPnn貝努里貝努里 貝努里大數定

6、律表明，當重復試驗次數貝努里大數定律表明，當重復試驗次數n充分大時，事件充分大時，事件A發生的頻率發生的頻率Sn/n與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差的概率很小有較大偏差的概率很小. 貝努里大數定律提供了通過試驗來確貝努里大數定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法定事件概率的方法.0|lim pnSPnn任給任給0，貝努里大數定律貝努里大數定律請看演示請看演示蒲豐投針問題中解法的蒲豐投針問題中解法的理論依據就是大數定律理論依據就是大數定律 當投針次數當投針次數n很大時，用針與線相交的很大時，用針與線相交的頻率頻率m/n近似針與線相交的近似針與線相交的概率概率p，從而求得，從而求得的的近似值

7、近似值.針長針長L線距線距aamLn2 下面給出的獨立同分布下的大數定下面給出的獨立同分布下的大數定律，不要求隨機變量的方差存在律，不要求隨機變量的方差存在. 設隨機變量序列設隨機變量序列X1,X2, 獨立同獨立同分布，具有有限的數學期分布，具有有限的數學期E(Xi)=, i=1,2,， 則對任給則對任給 0 ，定理定理3（辛欽大數定律辛欽大數定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽大數定律辛欽大數定律辛欽辛欽請看演示請看演示 辛欽大數定律為尋找隨機變量的期辛欽大數定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑望值提供了一條實際可行的途徑. 例如要估計某地區的平均畝產量，要例如要估計某地

8、區的平均畝產量，要收割某些有代表性的地塊，例如收割某些有代表性的地塊，例如n 塊塊. 計計算其平均畝產量，則當算其平均畝產量，則當n 較大時，可用它較大時，可用它作為整個地區平均畝產量的一個估計作為整個地區平均畝產量的一個估計. 下面我們再舉一例說明大數定律的下面我們再舉一例說明大數定律的應用應用.定積分的概率計算法定積分的概率計算法求求的值的值10)(dxxgI 我們介紹我們介紹均值法，均值法，步驟是步驟是1) 產生在產生在(0,1)上均勻分布的隨機數上均勻分布的隨機數rn,2) 計算計算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即即IrgNINnn1)(13) 用平均值近似積分值用平均值近似積分值求求的值的值10)(dxxgI因此，當因此，當N充分大時，充分大時， 原理是什么呢？原理是什么呢？設設XU(0, 1)由大數定律由大數定律1|)()(1|lim101dxxgrgNPNnnNIrgNINnn1)(1其它, 010, 1)(xxfX101)()(1dxxgrgNNnn, 0 10)(dxxgdxxfxgXgE)()()(應如何近似計算？請思考應如何近似計算？請思考.請看演示請看演示定積分的概率計算法定積分的概率計算法 問：若求問：若求的值的值badxxgI)(這一講我們介紹了大數定律這一講我們介紹了大數定律 大數定律以嚴格的數學形式表達了隨大