1、第第7章章 數字濾波器結構數字濾波器結構27.1 引言引言數字濾波器的數字濾波器的表示表示：差分方程差分方程和和系統函數系統函數： )()(1)(1k0rzXzYzazbzHNkkMrrMrNkknyarnxbny01kr)()()(3例如：例如： 可以證明可以證明: : ，但它們具有不同的運，但它們具有不同的運算結構。算結構。 211z15. 0z8 . 011)z( H112z5 . 015 . 2z3 . 015 . 1)z( H113z5 . 011z3 . 011)z( H)z()z()z(321HHH 運算結構不同，所需的存儲單元及乘法次數不同，前運算結構不同，所需的存儲單元及乘法

2、次數不同，前者影響運算的復雜性，后者影響運算速度。此外，在有限精者影響運算的復雜性，后者影響運算速度。此外，在有限精度情況下，運算結構的誤差、穩定性也是不同的。度情況下，運算結構的誤差、穩定性也是不同的。4p 基本結構單元基本結構單元p IIR數字濾波器的結構數字濾波器的結構 直接型、級聯型、并聯型直接型、級聯型、并聯型p FIR數字濾波器的結構數字濾波器的結構 直接型、級聯型、頻率采樣型及線性相位型直接型、級聯型、頻率采樣型及線性相位型本章主要內容本章主要內容57.2 基本結構單元基本結構單元p兩種表示方法：兩種表示方法：方框圖表示法；流圖表示法方框圖表示法；流圖表示法p三種運算：三種運算：

3、延時，乘以常數和相加延時，乘以常數和相加。 所以所以DF結構中有三個基本運算單元：結構中有三個基本運算單元：單位延時、乘法單位延時、乘法器和加法器器和加法器。6例例: :一階數字濾波器一階數字濾波器其方框圖及流圖結構如下：其方框圖及流圖結構如下：)1()()1()(101 nxanxanybny節點節點源節點源節點或或輸入節點輸入節點吸收節點吸收節點或或輸出節點輸出節點分支節點分支節點相加節點相加節點相加節點相加節點 信號流圖是用信號流圖是用節點節點與與有向支路有向支路描述連續或離散系統的。描述連續或離散系統的。77.3 IIR DF的基本結構的基本結構一、一、無限長單位脈沖響應濾波器的特點無

4、限長單位脈沖響應濾波器的特點（1）系統的單位沖激響應是無限長的；）系統的單位沖激響應是無限長的；（2）信號流圖中含有反饋支路；）信號流圖中含有反饋支路；（3）系統函數在有限平面上有極點，存在不穩）系統函數在有限平面上有極點，存在不穩定現象。定現象。二、二、IIR DF基本結構基本結構直接型、級聯型、并聯型直接型、級聯型、并聯型 直接型結構：直接直接型結構：直接I型、直接型、直接II型（正準型、典型（正準型、典范型）范型）81直接型直接型（1）直接）直接I型型由差分方程直接實現由差分方程直接實現)()()(M0N1krnyknyarnxbrk 一個一個N節延時鏈節延時鏈結構網絡。不過它結構網絡。

5、不過它是對是對y(n)延時，因而延時，因而是個是個反饋網絡。反饋網絡。 對輸入對輸入x(n)的的M節延時鏈結構，把每節延時抽頭后節延時鏈結構，把每節延時抽頭后加權相加，即是一個加權相加，即是一個橫向網絡橫向網絡。9結構特點：結構特點： （1）兩個網絡級聯：第一個橫向結構）兩個網絡級聯：第一個橫向結構M節延時網絡實節延時網絡實現零點，第二個有反饋的現零點，第二個有反饋的N節延時網絡實現極點。節延時網絡實現極點。 （2）共需）共需(N+M)級延時單元級延時單元 （3）系數系數ak、br不是直接決定單個零極點，因而不能很不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾波器性能控制。好地進行濾波器性能控制

6、。10（2）直接）直接II型（正準型型（正準型/典范型）典范型） 直接直接I型結構的兩部分可看成兩個獨立的網絡。型結構的兩部分可看成兩個獨立的網絡。 原理：原理：一個線性時不變系統，若交換其級聯子系統的次一個線性時不變系統，若交換其級聯子系統的次序，系統函數不變序，系統函數不變。 把此原理應用于直接把此原理應用于直接I型結構。即：型結構。即： （1）交換兩個級聯網絡的次序；（）交換兩個級聯網絡的次序；（2）合并兩個具有相）合并兩個具有相同輸入的延時支路。同輸入的延時支路。 直接直接II型型。)z()z()z()z(z1z)z(12211kk0rrHHHHabHNkMr MrbH0rr1z)z(

7、 NkaH1kk2z11)z(11直接直接I型型12 由于對調后前后兩路都有一條內容完全相同的延時鏈，由于對調后前后兩路都有一條內容完全相同的延時鏈，可以合并為一條即可。可以合并為一條即可。直接直接II型型13直接直接II型結構特點：型結構特點： （1）兩個網絡級聯。）兩個網絡級聯。 第一個有反饋的第一個有反饋的N節延時網絡實現極點；節延時網絡實現極點； 第二個橫向結構第二個橫向結構M節延時網絡實現零點。節延時網絡實現零點。 （2）實現）實現N階濾波器（一般階濾波器（一般NM)只需只需N級延時單元，級延時單元，所需延時單元最少，故稱典范型所需延時單元最少，故稱典范型。 （3）同直接）同直接I型

8、一樣，型一樣，具有直接型實現的一般缺點具有直接型實現的一般缺點。14例例7-1：已知已知IIR DF系統函數，畫出直接型的結構流圖。系統函數，畫出直接型的結構流圖。解：其對應的差分方程為解：其對應的差分方程為43214321zz4z2z12z18z27z11z31)z( H)4(18)3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2)1(12)(16 nxnxnxnxnxnynynynyny 注意反饋部注意反饋部分系數符號。分系數符號。16152級聯型級聯型（1）系統函數因式分解）系統函數因式分解 一個一個N階系統函數可用它的零、極點來表示階系統函數可用它的零、極點來表示。 將將系統函數進

9、行進一步分解，使分子、分母中每個因式系統函數進行進一步分解，使分子、分母中每個因式的次數不高于的次數不高于2，這樣可以使，這樣可以使各項系數都是實數。各項系數都是實數。 N1k1kM1r1rN1kkkM0rrr)zd(1)zc(1Aza1zb)z(H16（2）基本二階節的級聯結構）基本二階節的級聯結構 經過若干分解及整理，可將經過若干分解及整理，可將H(z)分解為分解為實系數二節因子實系數二節因子的形式。的形式。22i11i22i11iizz1zz1)(z aabbH MiaabbAH122i11i22i11i)zz1(zz1)z(）（一般用直接一般用直接II型（正準型、典范型表示）型（正準型

10、、典范型表示） 基本二階節基本二階節，即濾，即濾波器的二階節。波器的二階節。17（3）用二階節級聯表示的濾波器系統）用二階節級聯表示的濾波器系統 整個濾波器是多個二階節級聯整個濾波器是多個二階節級聯結構特點結構特點 （a）每個二階節系數）每個二階節系數單獨控制單獨控制一對零點或一對極點，一對零點或一對極點，有利于控制頻率響應，有利于控制頻率響應，調整方面調整方面。 （b）級聯結構中后面的網絡輸出不會再流到前面，運）級聯結構中后面的網絡輸出不會再流到前面，運算誤差的積累比直接型小。算誤差的積累比直接型小。 M1ii)z()z(HAH18例例7-2：由下列差分方程描述的濾波器，畫出其級聯結構。由下

11、列差分方程描述的濾波器，畫出其級聯結構。 解解: :由差分方程，寫出其系統函數由差分方程，寫出其系統函數應用應用MATLAB函數函數dir2casb=1 -3 11 -27 18; a=16 12 2 -4 -1; b0,B,A=dir2cas(b,a) % 直接型到級聯型的型式轉換直接型到級聯型的型式轉換運行結果運行結果b0 = 0.0625B = 1.0000 0.0000 9.0000; 1.0000 -3.0000 2.0000A = 1.0000 1.0000 0.5000; 1.0000 -0.2500 -0.1250)4(18)3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2

12、)1(12)(16 nxnxnxnxnxnynynynyny43214321z4z2z12z1618z27z11z3z1(z) H21212120.125z0.25z12z3z10.5zz19z10.625(z) H193并聯型并聯型（1）系統函數的部分分式展開）系統函數的部分分式展開 將將H(z)展成部分分式的形式，就得到并聯型的展成部分分式的形式，就得到并聯型的IIR濾波濾波器的結構。器的結構。 “相加相加”在電路中用在電路中用并聯并聯實現。對于共軛復根部分，可實現。對于共軛復根部分，可將將它們成對地合并為它們成對地合并為二階實系數的部分分式。二階實系數的部分分式。 NkkrdAAabH1

13、1kk0N1kkM0rrz1z1z)z( MkLkaabbdAAH122k11k11k0k11kk0zz1zz1)z(20實現結構實現結構（1）可以單獨調整極點位置可以單獨調整極點位置，但不能象級聯那樣直接控制零但不能象級聯那樣直接控制零點。點。（2）誤差最小誤差最小。因為并聯型。因為并聯型各基本節的誤差互不影響，所各基本節的誤差互不影響，所以比級聯誤差還少。以比級聯誤差還少。（3）并聯型結構運算速度高。并聯型結構運算速度高。因為可同時對輸入信號進行運因為可同時對輸入信號進行運算。算。 MkLkaabbdAAH122k11k11k0k11kk0zz1zz1)z(（2）基本二階節的并聯結構）基本

14、二階節的并聯結構21 例例7-3 由下列差分方程描述的濾波器由下列差分方程描述的濾波器畫出其并聯結構。畫出其并聯結構。 解解 根據差分方程，得出對應系統函數為根據差分方程，得出對應系統函數為利用利用MATLAB函數函數dir2parb=1 -3 11 -27 18;a=16 12 2 -4 -1;b0,B,A=dir2par(b,a) %直接型到并聯型的型式轉換直接型到并聯型的型式轉換運行結果運行結果b0 = -18；B =-10.0500 -3.9500；28.1125 -13.3625A =1.0000 1.0000 0.5000； 1.0000 -0.2500 -0.1250)4(18)

15、3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2)1(12)(16 nxnxnxnxnxnynynynyny43214321z4z2z12z1618z27z11z3z1z)( H22211211125. 025. 013625.131125.285 . 0195. 305.1018)(zzzzzzzH237.3 FIR DF的基本結構的基本結構一、一、FIR DF的特點的特點 （1）系統的單位沖激響應是有限長的；）系統的單位沖激響應是有限長的； （2）系統函數在）系統函數在|z|0平面上，只有零點，沒有極點，平面上，只有零點，沒有極點，所有極點都在所有極點都在z=0處，濾波器永遠是穩定的；

16、處，濾波器永遠是穩定的； （3）結構上主要是非遞歸結構，但有些結構也包含反）結構上主要是非遞歸結構，但有些結構也包含反饋的遞歸部分，比如頻率采樣結構。饋的遞歸部分，比如頻率采樣結構。24二、二、FIR的系統函數及差分方程的系統函數及差分方程 一個有限長脈沖響應濾波器有如下形式的系統函數一個有限長脈沖響應濾波器有如下形式的系統函數其脈沖響應其脈沖響應對應差分方程對應差分方程 10n)1(1N110zzz)(NnnNbbbbzH nNnbnh其余其余010)(n)1()1()()(110 NnxbnxbnxbnyN25三、三、FIR濾波器實現基本結構濾波器實現基本結構1）橫截型結構（直接型）橫截型

17、結構（直接型）2）級聯型結構）級聯型結構3）頻率抽樣型結構）頻率抽樣型結構4）線性相位結構）線性相位結構261.直接型結構（卷積型、橫截型）直接型結構（卷積型、橫截型） 10z )()z(NnnnhH)()()(10mnxmhnyNm or轉置轉置27例例7-4 已知已知FIR濾波器的單位脈沖響應為濾波器的單位脈沖響應為試畫出其直接型結構。試畫出其直接型結構。 解：解：)4(21. 0)3(11. 0)2(72. 0)1(3 . 0)()( nnnnnnh 43210.21z0.11z0.72z0.3z1z)( H282.級聯型結構級聯型結構 當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將當需要控制濾波器

18、的傳輸零點時，可將H(z)系統函數分系統函數分解成解成二階實系數因子二階實系數因子的形成：的形成： 即可以由多個二階節級聯實現，每個二階節用橫截型結即可以由多個二階節級聯實現，每個二階節用橫截型結構實現。構實現。 MiNnnaaanhH122i11i0i10)zz(z )()z(29級聯型結構特點：級聯型結構特點：p由于這種結構所需的系數比直接型多，所需乘法運算也比由于這種結構所需的系數比直接型多，所需乘法運算也比直接型多，很少用。直接型多，很少用。p由于這種結構的每一節控制一對零點，因而只能在需要控由于這種結構的每一節控制一對零點，因而只能在需要控制傳輸零點時用。制傳輸零點時用。30例例7-

19、5 已知已知FIR濾波器的差分方程濾波器的差分方程432121. 011. 072. 03 . 01)(zzzzzH試畫出其級聯型結構。試畫出其級聯型結構。解解 采用采用MATLAB函數函數dir2caspb=1 0.3 01.72 0.11 0.21;pC,B,A=dir2cas(b,1)運行結果運行結果pC =1pB = 1.0000 0.2514 1.5744 1.0000 0.0486 0.1334 pA = 1 0 0 1 0 0)1334. 00486. 01)(5744. 12514. 01()(2121 zzzzzH313.頻率抽樣型結構頻率抽樣型結構p若若FIR DF 的沖激

20、響應的沖激響應h(n)為有限長（為有限長（N）,則有：則有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFTN等分抽樣等分抽樣單位園上單位園上頻響頻響Z變換變換內插內插對對h(n)可以利用可以利用DFT得到得到H(k)，再利用，再利用內插公式內插公式： 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH1)頻率抽樣型結構的導入頻率抽樣型結構的導入322）頻率抽樣型濾波器結構）頻率抽樣型濾波器結構 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH它是由兩部分級聯而成。它是由兩部分級聯而成。 10)(1)()(NkkczHNzHzH第一部分為梳狀濾波器：第一部分為梳狀濾波器：第二部分由第二部分由N個個

21、諧振器組成的諧振柜諧振器組成的諧振柜。)1()(NczzH 11)()( zWkHzHkNk 101101)()(NkkNNkkzWkHzH33(1)梳狀濾波器梳狀濾波器 它是一個由它是一個由N節延時單元所組成的梳狀濾波器。它在單位節延時單元所組成的梳狀濾波器。它在單位園上有園上有N個等分的零點個等分的零點，無極點。無極點。)1 ()(NczzHNkNNkezzkkNjkN 2:210,0102 而而等等間間隔隔角角度度為為即即令令：N2(a)零、極點特性零、極點特性34(b)幅頻特性及流圖幅頻特性及流圖2sin2)cos1(2sin)cos1()(sincos11)(22 NNNNeHNjN

22、eeHjcjNjc 梳狀濾波器信號流圖梳狀濾波器信號流圖和幅頻曲線和幅頻曲線35（2）諧振柜）諧振柜(a)諧振器：是一個一階網絡諧振器：是一個一階網絡。11)()( zWkHzHkNk諧振器的極點：諧振器的極點：的的無無損損耗耗諧諧振振器器。故故等等效效為為諧諧振振頻頻率率為為，即即處處響響應應為為無無窮窮大大，此此一一階階網網絡絡在在頻頻率率kNzHkNeeWzkjkNjkN 2)(22 z-1WN-kH (k)101101)()(NkkNNkkzWkHzH36(b)諧振柜：諧振柜：它是由它是由N個諧振器并聯而成的。個諧振器并聯而成的。101101)()(NkkNNkkzWkHzH這個諧振柜

23、的極點正好與梳狀濾波器的一個零點（這個諧振柜的極點正好與梳狀濾波器的一個零點（i=k)相抵相抵消，從而使這個頻率（消，從而使這個頻率（ )上的頻率響應等于上的頻率響應等于H(k)。將兩部分級聯起來，得到頻率抽樣結構。將兩部分級聯起來，得到頻率抽樣結構。)()()()()()(22kHezkHezzHzHNkjkNkjkkc kN 2 37頻率抽樣型結構流圖頻率抽樣型結構流圖 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH (1)它的系數它的系數H(k)直接就是直接就是濾波器在濾波器在 處的處的頻率響應。因此，頻率響應。因此，控制濾控制濾波器的頻率響應是很直接波器的頻率響應是很直接的。的。(

24、2)它的零、極點數目只取決它的零、極點數目只取決于于h(n)的長度，只要的長度，只要h(n)長度相同，利用同一梳狀長度相同，利用同一梳狀濾波器、同一結構而只有濾波器、同一結構而只有加權系數加權系數H(k)不同的諧振不同的諧振器，就能得到各種不同的器，就能得到各種不同的濾波器濾波器,所以其結構可以所以其結構可以高度模塊化、標準化，高度模塊化、標準化，適適用于時分復用。用于時分復用。kNk 2 優優 點點38缺點：缺點：(1)所有諧振器的極點都是在單位園上所有諧振器的極點都是在單位園上,由由 決定。考慮到決定。考慮到系數量化的影響，當系數量化時，極點會移動，有些極點系數量化的影響，當系數量化時，極

25、點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消，（零點由延時單元決就不能被梳狀濾波器的零點所抵消，（零點由延時單元決定，不受量化的影響）影響系統的穩定性。定，不受量化的影響）影響系統的穩定性。(2)所有的相乘系數及所有的相乘系數及H(k)都是復數，完成復數相乘，對硬都是復數，完成復數相乘，對硬件實現不方便。件實現不方便。kNW39注：修正的頻率抽樣結構注：修正的頻率抽樣結構p為了克服系數量化后可能不穩定的缺點，將頻率抽樣為了克服系數量化后可能不穩定的缺點，將頻率抽樣結構做一點修正。即將所有零極點都移到單位圓內某結構做一點修正。即將所有零極點都移到單位圓內某一靠近單位圓、半徑為一靠近單位圓、半

26、徑為r(r1)的圓上，同時梳狀濾波的圓上，同時梳狀濾波器的零點也移到器的零點也移到r圓圓上。（即將頻率采樣由單位上。（即將頻率采樣由單位圓圓移到移到修正半徑修正半徑r的的圓圓上）上）p為了使系數是實數，可將共軛根合并，這些共軛根在為了使系數是實數，可將共軛根合并，這些共軛根在半徑為半徑為r的圓周上以實軸成對稱分布。的圓周上以實軸成對稱分布。4012122111011221121011/)cos()()()(NkkkNNzrzkNrzrzNHrzHNzrzH）N=偶數偶數41N=奇奇數數42例例7-6 設設 求并畫出頻率采樣結構。/,/,/,/)(9192939291，nh直接調用直接調用dir2fs函數程序函數程序 ph=1,2,3,2,1/9;pC,B,A=dir2fs(h)運行結果運行結果pC = 0.5818 0.0849 1.0000pB = -0.8090 0.8090；0.3090 -0.3090pA =1.0000 -0.6180 1.0000； 1.0000 1.6180 1.0000； 1.0000 -1.0000 011618. 11309. 0309. 00849. 0618. 01809. 0809. 05818. 051)(12112115 zzzzzzzzzH43因為