1、文章編號(hào) 2 2 2基于擴(kuò)散原理的冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的學(xué)習(xí)方法孟正大 戴先中 安藤英由樹(shù) 加藤厚生東南大學(xué)自動(dòng)控制系南京 日本愛(ài)知工業(yè)大學(xué)摘要 本文介紹一種基于擴(kuò)散原理的機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)習(xí)方法 首先運(yùn)用偏微分?jǐn)U散方程 只需少量的試驗(yàn)運(yùn)動(dòng)即可求解在有限作業(yè)空間上擁有同樣拓?fù)潢P(guān)系的機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)變換 然后應(yīng)用反饋誤差學(xué)習(xí)法修正學(xué)習(xí)誤差 在此基礎(chǔ)上 提出一種并行分布結(jié)構(gòu)用于冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算 分析與仿真結(jié)果表明 該方法不僅算法簡(jiǎn)單!精度高 而且可獲得連續(xù)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射關(guān)鍵詞 冗余機(jī)器人 擴(kuò)散方程 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換 學(xué)習(xí)算法中圖分類(lèi)號(hào) ×° 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 2 ÷ 2 

2、15; 2 × × 1引言 求解機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)于機(jī)器人的控制是至關(guān)重要的 常用的求解方法分為三類(lèi) 一是以手臂的精確的幾何模型為前提研究求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的方法 該法只能用于特定結(jié)構(gòu)的機(jī)器人 作為新一代機(jī)器人的自治型機(jī)器人 要求能夠在變化的環(huán)境中自己進(jìn)行判斷決策 采取正確的行動(dòng)以完成給定的目標(biāo)任務(wù) 對(duì)于這種機(jī)器人 為了適應(yīng)環(huán)境的變化或避開(kāi)障礙物等 使得它具有高度的靈活性 在設(shè)計(jì)上往往考慮增加關(guān)節(jié)數(shù) 使它具有像人手臂一樣的關(guān)節(jié)數(shù)和靈活性 在這種場(chǎng)合冗余性是十分必要的 然而對(duì)于冗余機(jī)器人應(yīng)用一般的建立機(jī)器人幾何模型求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的方法是十分困難的 第二類(lèi)方法通常在假設(shè)機(jī)器人的雅可

3、比矩陣已知的前提下 利用其逆矩陣來(lái)求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué) 對(duì)于冗余機(jī)器人 往往可用雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置或廣義逆矩陣或通過(guò)增加約束條件使雅可比矩陣變?yōu)榉疥嚭笤賮?lái)計(jì)算 但這類(lèi)算法存在的問(wèn)題是 解法的前提是已知機(jī)器人的雅可比陣 這對(duì)較復(fù)雜的機(jī)器人是難以做到的 雅可比陣及其廣義逆需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算 而數(shù)值計(jì)算可能出現(xiàn)不收斂 為了求解冗余機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué) 出現(xiàn)了第三類(lèi)求解方法 即智能求解方法 典型的有基于學(xué)習(xí)的算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法存在收斂性問(wèn)題 局部最優(yōu)問(wèn)題 年以來(lái) 德國(guó)的 和 等人 將芬蘭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論專(zhuān)家 于 年提出的拓?fù)涫睾愕淖越M織學(xué)習(xí)第 卷第 期 年 月機(jī)器人基金項(xiàng)目 本課題由東南大學(xué)科學(xué)基金資助 收

4、稿日期算法推廣到機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)變換求解 這種方法不需要事先知道任何有關(guān)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)關(guān)系 它首先在作業(yè)空間上隨機(jī)地提出一系列位置目標(biāo) 然后使用機(jī)器人的視覺(jué)測(cè)出目標(biāo)位置和當(dāng)前實(shí)際位置的差距 在此基礎(chǔ)上 讓機(jī)器人執(zhí)行試驗(yàn)運(yùn)動(dòng) 然后用自學(xué)習(xí)算法算出與作業(yè)空間保持同樣拓?fù)潢P(guān)系的機(jī)器人的相應(yīng)關(guān)節(jié)角度 該方法的缺點(diǎn)在于它需要機(jī)器人在學(xué)習(xí)過(guò)程中執(zhí)行大量的試驗(yàn)運(yùn)動(dòng) 在還沒(méi)有完全組織好逆運(yùn)動(dòng)學(xué)變換時(shí)就進(jìn)行試驗(yàn)運(yùn)動(dòng)可能會(huì)給機(jī)器人帶來(lái)很大危險(xiǎn) 和 年綜合分析了有教師學(xué)習(xí)和自學(xué)習(xí)各方式的利弊后 提出了基于擴(kuò)散方程的學(xué)習(xí)算法用于組織機(jī)器人的手2眼協(xié)調(diào) 該法1 2首先使用有教師學(xué)習(xí)法來(lái)求得從機(jī)器人關(guān)節(jié)空間到作業(yè)空間的運(yùn)動(dòng)

5、學(xué)關(guān)系 然后運(yùn)用偏微分?jǐn)U散方程 在不要求機(jī)器人的試驗(yàn)運(yùn)動(dòng)的條件下求得在有限作業(yè)空間上具有同樣拓?fù)潢P(guān)系的機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)變換 但該法學(xué)得的結(jié)果經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的映射本文針對(duì)冗余機(jī)器人 對(duì)一般機(jī)器人亦適用 的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問(wèn)題 對(duì)基于擴(kuò)散原理的方法進(jìn)行了深入分析研究并對(duì)算法加以改進(jìn) 提出了新的誤差修正算法 克服了不連續(xù)問(wèn)題 并且提出了一種并行分布結(jié)構(gòu)用于冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算與一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)方法相比 本方法在學(xué)習(xí)各點(diǎn)的值時(shí)只需其相鄰結(jié)點(diǎn)的信息而不必考慮整個(gè)空間內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)信息 大大簡(jiǎn)化了計(jì)算 為了用上述并行分布式方法計(jì)算實(shí)際冗余機(jī)器人的高精度的非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)學(xué)逆映射 本文還研究了與之相應(yīng)的計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)本

6、文將首先介紹基于擴(kuò)散方程的學(xué)習(xí)算法 然后再介紹并行分布式計(jì)算方法及相應(yīng)的計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu) 最后 通過(guò)仿真探討并證明了其有效性2基本原理 本節(jié)首先將討論冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的目標(biāo) 由此給出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù) 再由目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)出基于擴(kuò)散方程的求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換的計(jì)算公式并加以討論2 1目標(biāo)函數(shù)作為求解目標(biāo) 不僅要求該算法對(duì)任一給定直角空間的末端位置能得到相應(yīng)的關(guān)節(jié)角 而且要求在機(jī)器人的整個(gè)工作空間內(nèi)該運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換在任一點(diǎn)上都是連續(xù)的 也就是具有拓?fù)涫睾阈再|(zhì) 為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo) 考慮如下的目標(biāo)函數(shù) 5555 + + 其中表示機(jī)器人的工作空間 和 分別為加權(quán)因子 反映了第一!二項(xiàng)的權(quán)重 后面將會(huì)提到 和 的選取問(wèn)題

7、 為機(jī)器人末端直角坐標(biāo) 為相應(yīng)的關(guān)節(jié)角 為運(yùn)動(dòng)學(xué)正變換 為雅可比矩陣的逆 為矩陣的跡 式 右端第一項(xiàng)反映映射的連續(xù)性 而第二項(xiàng)則反映了逆變換的計(jì)算誤差 從而目標(biāo)函數(shù) 完全包含了上述兩個(gè)要求 理想的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換應(yīng)使 最小2 2求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換的偏微分方程式下面將導(dǎo)出使 趨向最小的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換的優(yōu)化解 為此引入變分方法 設(shè)為的變分 為正的無(wú)窮小量 則對(duì)于微小增量 在略去高階微量后可得到相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解為 55 將式 代入式 可得 5 55 5 + + 55 5 55 5 + + 55 55 55 5 55 + + 3 4 + 式中 為求兩矢量?jī)?nèi)積的符號(hào) 假設(shè)在機(jī)器人工作空間的邊界無(wú)關(guān)節(jié)誤差 即滿(mǎn)足

8、邊界條件 則可以證明 55 55 3 4 式中 表示 其中 表示散度 表示梯度 將上式代入式 得 3 4 3 4 55 55 + 第 卷第 期孟正大等 基于擴(kuò)散原理的冗余機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的學(xué)習(xí)方法由上式可得5 5 3 4 由上式可見(jiàn) 為了使目標(biāo)函數(shù)趨于最小 可取 這就是求取運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換的優(yōu)化解 下面以此偏微分方程式為基礎(chǔ) 討論相應(yīng)算法2 3擴(kuò)散方程式式 右端第一項(xiàng)即為擴(kuò)散項(xiàng) 第二項(xiàng)為誤差修正項(xiàng) 擴(kuò)散方程式由下式給出 其中 為機(jī)器人的關(guān)節(jié)角 表示機(jī)器人的作業(yè)空間 首先將機(jī)器人連續(xù)的工作空間離散化 從作業(yè)空間中只需選擇少量的點(diǎn)作為樣本點(diǎn) 通過(guò)相應(yīng)的試驗(yàn)運(yùn)動(dòng)獲得樣本點(diǎn)的關(guān)節(jié)角 再以各樣本點(diǎn)為中心 運(yùn)用

9、擴(kuò)散方程向四周擴(kuò)散 即可得到連續(xù)分布的空間構(gòu)形和各結(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)值 式 可改寫(xiě)成如下的離散形式 其中 表示學(xué)習(xí)的步數(shù) 表示某個(gè)方格在作業(yè)空間中的位置 然而 上述的擴(kuò)散過(guò)程只不過(guò)是線(xiàn)性的空間插補(bǔ)而已 即使趨于無(wú)窮大 只能接近目標(biāo)值而不能達(dá)到目標(biāo)值 必須要進(jìn)行下述的誤差修正2 4學(xué)習(xí)計(jì)算公式基于式 表示的擴(kuò)散方程 式 可改寫(xiě)為如下的學(xué)習(xí)計(jì)算公式 式中右端第一項(xiàng)即為擴(kuò)散項(xiàng) 第二項(xiàng)即為誤差修正項(xiàng) 可取為時(shí)間的函數(shù)或雙曲正切函數(shù) 而 時(shí) 而時(shí) 設(shè) 時(shí) 則當(dāng) 時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程表現(xiàn)為擴(kuò)散過(guò)程 而當(dāng) 時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程表現(xiàn)為誤差修正過(guò)程2 5誤差修正在誤差修正項(xiàng)中 在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)隨 的變化而變化 仿真表明 的不同學(xué)習(xí)計(jì)算方法對(duì)

10、運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換的連續(xù)性有很大影響 本文提出如下的方法選取如下的目標(biāo)函數(shù) + + 其中 則有 其中 為 在 處的負(fù)梯度方向單位矢量 為步長(zhǎng)因子 顯然有 5 5 故 可用黃金分割法求最優(yōu)步長(zhǎng)因子3 為簡(jiǎn)化計(jì)算 此處用外推法確定 的優(yōu)化區(qū)間 用 法進(jìn)行 次迭代計(jì)算 將極小點(diǎn)所在區(qū)間長(zhǎng)度縮小到原優(yōu)化區(qū)間的十分之一 并取該區(qū)間中點(diǎn)作為 的近似優(yōu)化解 仿真表明 本方法在保證較高精度的同時(shí)也保證了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換的連續(xù)性2 6學(xué)習(xí)計(jì)算步驟為方便起見(jiàn) 本文以圖 所示的 自由度操作手為例進(jìn)行討論 其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下 其中 關(guān)節(jié)角矢量 末端位置矢量 上式可寫(xiě)成下列的非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系 由于 故該操縱手具有冗余性 設(shè)工作空間

11、為一方形 根據(jù)計(jì)算精度要求將它分成若干個(gè)等間隔的小方格 此處為 個(gè)方格 如圖 所示 現(xiàn)將組合方法歸納如下給出在工作空間四個(gè)頂點(diǎn) 的關(guān)節(jié)角的教師信息按式 進(jìn)行學(xué)習(xí)計(jì)算 由于 故此時(shí)的實(shí)際過(guò)程是按擴(kuò)散方程式 以教師信息為起點(diǎn)沿時(shí)間軸將關(guān)節(jié)角向四周擴(kuò)散 隨著各結(jié)點(diǎn)關(guān)節(jié)角的變化 根據(jù)上小節(jié)所述方法更新雅可比矩陣的逆 反復(fù)進(jìn)行本操作直至 此時(shí)機(jī)器人 年 月關(guān)節(jié)角隨時(shí)間幾乎不再變化 此階段為教師信息擴(kuò)散階段當(dāng) 時(shí) 此時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程主要處于誤差修正階段 重復(fù)本操作直至各結(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度精度達(dá)到給定指標(biāo)為止 圖 三自由度平面操作手及其工作空間 2 上述方法具有以下特點(diǎn)據(jù)擴(kuò)散方程式 只需相鄰結(jié)點(diǎn)的信息即可學(xué)習(xí)各結(jié)點(diǎn)的

12、關(guān)節(jié)角度在教師信息擴(kuò)散的同時(shí) 學(xué)習(xí)雅可比矩陣的逆 在獲得較高的學(xué)習(xí)精度的同時(shí)保持了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆變換的連續(xù)性3并行分布式計(jì)算結(jié)構(gòu) 對(duì)于上一節(jié)所討論的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆映射學(xué)習(xí)算法要得到高精度高密度的映射就需要花費(fèi)很長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間 或者需要較多的處理器 因此 為了能夠進(jìn)行高速處理 下面討論相應(yīng)的并行分布式算法和有關(guān)的并行分布式計(jì)算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)3 1 并行分布式結(jié)構(gòu)的選擇由上一節(jié)介紹的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射學(xué)習(xí)算法的擴(kuò)散方程可知 離散生成映射上各結(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度時(shí)只需該結(jié)點(diǎn)的相鄰結(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度信息 由此可見(jiàn) 與多個(gè)處理器訪(fǎng)問(wèn)同一個(gè)存儲(chǔ)器區(qū)域相比 各個(gè)處理器頻繁存取各自特定的存儲(chǔ)器區(qū)域的情形是主要的 因此本文采用分布式存儲(chǔ)器類(lèi)型的

13、硬件結(jié)構(gòu)3 2 高密度映射的并行分布式計(jì)算下面探討應(yīng)用分布式存儲(chǔ)器型的硬件結(jié)構(gòu)進(jìn)行高密度逆運(yùn)動(dòng)學(xué)映射的方法這里首先對(duì)學(xué)習(xí)區(qū)域進(jìn)行分割 對(duì)每個(gè)區(qū)域的多個(gè)結(jié)點(diǎn)用同一個(gè)處理器進(jìn)行學(xué)習(xí)計(jì)算 而區(qū)域四周結(jié)點(diǎn)的關(guān)節(jié)角由主處理器學(xué)習(xí)并作為該區(qū)域的教師信號(hào)通過(guò)通信送入該區(qū)域的處理器 這樣 在計(jì)算本區(qū)域內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)時(shí)處理器只許訪(fǎng)問(wèn)本地的存儲(chǔ)器 只有計(jì)算外圍的結(jié)點(diǎn)時(shí)才需要相互間的通信 這種方法充分利用了分布式存儲(chǔ)器的優(yōu)點(diǎn) 圖 表示了擴(kuò)散式學(xué)習(xí)過(guò)程 開(kāi)始時(shí)學(xué)習(xí)區(qū)域頂點(diǎn)的關(guān)節(jié)角 然后將所得結(jié)果作為新的教師信號(hào)生成各區(qū)域內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)關(guān)節(jié)角 圖 擴(kuò)散式學(xué)習(xí)過(guò)程 2這種方法用較少的處理器就可快速有效地進(jìn)行高密度的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算 處理器間的通信時(shí)間也大大縮短4仿真結(jié)果及其分析 以圖 所示的平面 自由度操作手為對(duì)象 對(duì)本文所提方案進(jìn)行了模擬仿真 各桿件的長(zhǎng)度均為手臂的工作空間設(shè)為 此處取工作空間的結(jié)點(diǎn)數(shù)為 相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)距離為 利用學(xué)習(xí)所得結(jié)果控制機(jī)器人末端在該平