1、考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié)1 高數(shù)部分1.1高數(shù)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)求極限題最常用的解題方向：1. 利用等價無窮小；02. 利用洛必達(dá)法則00型和型直接用洛必達(dá)法則、0 、 1 型先轉(zhuǎn)化為 0 型或型，再使用洛比達(dá)法則；0x13.利用重要極限，包括 lim1、 lim (1 x) xe、 lim (11x) xe ；x 0sin xx 0x4.夾逼定理。1.2高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分、第三章不定積分 、第四章定積分第三章不定積分提醒：不定積分f ( x)dxF ( x)C 中的積分常數(shù)C 容易被忽略 ，而考試時如果在答案中少寫這個C 會失一分。所以可以這樣加深印象：定積分f ( x)dx 的

2、結(jié)果可以寫為F(x)+1 ， 1指的就是那一分，把它折彎后就是f (x)dxF ( x)C 中的那個 C,漏掉了 C 也就漏掉了這 1 分。第四章定積分及廣義積分解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意 定積分與不定積分的差異出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：aa對于f ( x)dx 型定積分，若f(x) 是奇函數(shù)則有f (x)dx=0 ；aaaa若 f(x) 為偶函數(shù)則有f ( x)dx =2a0f ( x)dx ；對于20f ( x)dx 型積分， f(x) 一般含三角函數(shù)，此時用tx 的代換是常用方法。2所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對于對稱

3、區(qū)間上的積分要同時考慮到利1用變量替換 x=-u 和利用性質(zhì)a0 、aa奇函數(shù)偶函數(shù)2 偶函數(shù) 。在處理完積分上下限的問題后就aa0使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等式的題目 也同樣有效。1.3 高數(shù)第五章中值定理的證明技巧用以下邏輯公式來 作模型： 假如有 邏輯推導(dǎo)公式AE、(AB)C、(C DE)F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證 F。為了證明 F 成立可以從條件、 結(jié)論兩個方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的

4、邏輯推導(dǎo)公式太多，難以從中找出有用的一個。如對于證明 F 成立必備邏輯公式中的 AE 就可能有 AH 、A(IK)、(A B)M 等等公式同時存在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(AB)M ，因為其中涉及了題目所給的3 個條件中的 2 個，但這恰恰走不通；2. 對于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導(dǎo)關(guān)系不清楚，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的 (AB)C，如果不知道或弄錯則一定無法得出結(jié)論。反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點(diǎn)掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。so ，解證明題時其一要靈活，在一

5、條思路走不通時必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再從頭開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取信息。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時一開始就想到了公式(CDE)F 再倒推想到(AB)C、 AE 就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問

6、題的幾種類型：2條件欲證結(jié)論關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，存在一個滿A常常是只有 連續(xù)性已知足某個式子存在一個滿B( n)足 f( )0條件包括函數(shù)在 閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個滿C( n )k足 f ( )可用定理介值定理（結(jié)論部分為：存在一個使得 f()k ）零值定理（結(jié)論部分為：存在一個使得 f()0 ）費(fèi)馬定理（結(jié)論部分為： f ( x0 )0 ）羅爾定理（結(jié)論部分為：存在一個使得 f()0 ）拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在一個使得f( )f ( b)f (a )）ba柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個使得f( )f (b )f ( a )）g( )g (b )g( a )另還

7、常用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為費(fèi)馬或羅爾定理。面對這一部分的題目時，如果把欲證結(jié)論與可能用到的幾個定理的的結(jié)論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處so 要“牢記定理的結(jié)論部分”。綜上所述， 針對包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時保持清醒理智，降低出錯的可能” 。不過僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)，因為在實(shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時想不到；我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運(yùn)用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，最大的技巧就

8、是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。1.4高數(shù)第六章常微分方程歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。3解題套路：“辨明類型套用對應(yīng)方法求解”先討論一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準(zhǔn)確判斷。 各種類型的方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程變形為f1 (x)=

9、-g 2 ( y)dy ，再積分求解dxg1 ( y)f1 ( x) g1 ( y) dx f 2 ( x) g2 ( y)dy 0f2 ( x)齊次方程 yf ( xy )做變量替換 uy，則y 化為 uduxxdx原方程就化為關(guān)于u和x 的可分離變量方程， 變形積分即可解對于一階線性方程y p( x) y q( x)y Cep x dx（ ep x dxq x dx+C ）全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy因為其有條件MN，而且解題時直接套用通解公式y(tǒng)xxyC .M (x, y0 )dxN ( x, y )dyx0y0所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)

10、果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于y (n )f ( x) 型方程，就是先把 y(n 1)當(dāng)作未知函數(shù) Z，則 y( n)Z 原方程就化為 dz f ( x)dx的一階方程形式， 積分即得；再對 y( n2)、y(n 3)依次做上述處理即可求解；yf (x, y ) 叫不顯含 y 的二階方程，解法是通過變量替換yp 、 yp(p 為 x 的函數(shù) )將原方程化為一階方程；yf ( y, y ) 叫不顯含 x 的二階方程，變量替換也是令yp （但此中的p為 y 的函數(shù)），則 ydp dydppp ，也可化為一階形式。dy dxp dy所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就

11、用變量替換yu ”，“求解貝努利方程xy p( x) yq( x) y n 就用變量替換 zy1 n ”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y 的二階方程就用變量替換 yp 、 yp ”、“求解不顯含 x 的二階方程就用變量替換yp 、 y pp ”。大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理4與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對比記憶：若 y1 ( x) 、 y2 ( x) 是齊次方程若齊次方程組Ax=0 的基礎(chǔ)解系有 (n-r) 個線性無yp( x) yq( x) y0 的兩個線性無關(guān)的特解，關(guān)的解向量，則齊次方程組的通解為則該齊次方

12、程的通解為( x)c1 y1( x) c2 y2 (x)x k1 y1k2 y2kn ryn r非齊次方程yp( x) yq( x) yf ( x) 的通非齊次方程組Ax=b 的一個通解等于Ax=b 的一解為 y c1 y1 ( x)c2 y 2 ( x)y1 (x ) ，其中 y1 ( x)個特解與其導(dǎo)出組齊次方程Ax=0 的通解之和是非齊次方程的一個特解，c1 y1 (x)c2 y2 (x) 是對應(yīng)齊次方程yp( x) yq( x) y0 的通解若非齊次方程有兩個特解y1 ( x) y2 ( x) ，則對應(yīng)齊若 r1 、 r2 是方程組 Ax=b的兩個特解，則次方程的一個解為 y(x)y1

13、 (x)y2 (x)( r1 - r2 )是其對應(yīng)齊次方程組Ax=0的解可以說本章難就難在記憶量大上。1.5高數(shù)第七章一元微積分的應(yīng)用本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。典型的構(gòu)題方式是利用變區(qū)x間上的面積、體積引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分f (t) dt 單獨(dú)分離到方程的一端形ax成“af (t)dt ”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對應(yīng)解法求解。對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識點(diǎn)：1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增

14、減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點(diǎn)：A. 極值的定義是： 對于 x0 的鄰域內(nèi)異于x0 的任一點(diǎn)都有 f (x) f ( x0 ) 或 f (x) f ( x0 ) ,注意是或而不是或 ；B. 極值點(diǎn)包括圖1 、圖 2 兩種可能，5所以只有在 f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)且在 x0 處取極值時才有 f (x)0 。討論方程根的情況。這一部分常用定理有零點(diǎn)定理（結(jié)論部分為f( ) 0 ）、羅爾定理（結(jié)論部分為f( )0 ）；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時，畫輔助圖會起到很好的作用，尤其是對于討論方程根個數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會比較容易判斷。2. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和

15、極大極小值的不同判定條件：A.若函數(shù)f ( x) 在 區(qū)間 I 上的 f (x)0 ，則 f (x) 在 I 上是凸的；若 f (x) 在 I 上的 f (x)0 ，則 f ( x) 在 I 上是凹的；B.若 f (x) 在點(diǎn) x0 處有 f ( x)0 且 f( x0 )0 ，則當(dāng) f (x0 )0 時 f (x0 ) 為極大值， 當(dāng) f(x0 )0時 f ( x0 ) 為極小值。其中， A 是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，f (x) 是 f ( x) 的變化率， f ( x) 是 f (x)的變化率。f ( x)0 可以說明函數(shù)是增函數(shù)；f(x)0 可以說明函數(shù)f ( x) 的變

16、化率在區(qū)間I 上是遞減的，包括以下兩種可能：同樣， f ( x)0 也只有兩種對應(yīng)圖像：6所以，當(dāng) f ( x)0 時，對應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凸的；當(dāng) f (x)0 時，對應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凹的。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件 比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“f( x ) 0且f ( x0 )0 ”，這從圖像上也很容易理解：滿足f ( x)0 的圖像必是凸的，即或，當(dāng)f ( x)0 且 f ( x0 )0 時不就一定是的情況嗎。對于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對微元法熟練掌握。關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格：求平面圖形面積sbf (x)dxa繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體的體積

17、 Vxb2 ( x)dx ，求旋轉(zhuǎn)體體積 （可用fa繞 y 軸旋轉(zhuǎn)體得體積 Vy2bxf ( x) dx微元法也可用公式）a繞 x軸旋轉(zhuǎn)體的體積 Vxb f 22 ( x)f1(x) dx ，a2繞 y軸旋轉(zhuǎn)體得體積 Vyb(x)dx2x f2 (x) f1a已知平行截面面積求立體體積b( )Vs x dxa求平面曲線的弧長lb( y )2 dx1a71.6高數(shù)第八章無窮級數(shù)本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級數(shù)斂散性”、“級數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的冪級數(shù)展開”。其中判斂是大、小題都常考的，在大題中一般作為第一問出現(xiàn)，求和與展開則都是大題。對于級數(shù)判斂部分，主要用的方法是比較法、級數(shù)斂散

18、性的定義和四則運(yùn)算性質(zhì)。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子：1.已知級數(shù)a2n 收斂，判斷級數(shù)|an |2的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式n|a n |1(an2n21) ，再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。其實(shí)這種“知一判一”式的題目是有局限性的n22若已知級數(shù)收斂，則所要求判斂的級數(shù)只能也是收斂的，因為只有“小于收斂級數(shù)的級數(shù)必收斂”這一條規(guī)則可用， 若待判斂級數(shù)大于已知收斂級數(shù)，則結(jié)果無法判定。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中收斂的是（）”。2 上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數(shù)某些性質(zhì)要求判斷斂散性，

19、方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數(shù)建立起聯(lián)系，再應(yīng)用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列an滿足lima a, a 0，判斷級數(shù)( a 1 1 )n 的斂散性。關(guān)鍵步驟是：由111得到nnan 1a 1x 0(an11 )n( a11 )n ，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。冪級數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的冪級數(shù)展開問題是重點(diǎn)內(nèi)容，也是每年都有的必考題。在復(fù)習(xí)過程中對于具有“淺看復(fù)雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點(diǎn)要倍加注意，對于無窮級數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識

20、點(diǎn)，更是要緊抓不放。因為這種知識點(diǎn)對“復(fù)習(xí)時間投入量”的要求接近于一個定值，認(rèn)認(rèn)真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點(diǎn)“一次投入，終生受益”的意思，花時間來掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達(dá)到熟練做題程度以后會發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。這種規(guī)律是建立在對6 個關(guān)鍵的函數(shù)展開式“熟之又熟”的掌握上的。對此6 個展開式的掌握必須像掌握重要定理8一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯概率降到最小。公式如下：1.11 u u2unun（ -1， 1 ）1 un 02. 11u1 u u 2

21、u 3( 1)n u nn 0( 1)n u n（-1，1）ln(1u)u12 u231 u3(n1(1) nn 1(,)3.1)n un1un1n04.eu1u121nun(,)2! un! un!n05.sin uu1u2( 1)n12 n 1(1)n u 2n 1(,)3!( 2n 1)! u(2 n1)!n06.cosu1121u4(1)n12 n(1)nu2 n(,)2! u4!( 2n)! u( 2n)!n 0這六個公式可以分為兩個部分，前3 個相互關(guān)聯(lián)，后3 個相互關(guān)聯(lián)。1 式是第一部分式子的基礎(chǔ)。1uu2u n不就是一個無窮等比數(shù)列嗎，在| u |1 時的求和公式 s1u 正是

22、函數(shù)展開式的左端。所以這個式子最好記，以此為出發(fā)點(diǎn)看式子2 ：111式左端是 1 u ，2 式左端是1； 1式右端是un ， 2 式右端也僅僅是變成了交錯級數(shù)( 1) n u n ,故可以通過這種比較來1 un0n0記憶式子 2 ；對于 3ln(1u) 與 21u)1式來說，公式左端的式左端的1 u 存在著關(guān)系“ ln( 11 u ”，故由 11u 的展開式可以推導(dǎo)出ln(1u ) 的展開式為(1) nn 1(1,1) ，相互之間存在un 1 。這三個式子中的 un 0著上述的清晰聯(lián)系。后 3個式子的 u(,) ，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。這一部分的基本式是公式uu

23、n與之相比， sin u的展開式是(1)nu 2 n 1， cosu 的展開式是4： en!( 2n 1)!n0n0( 1)n (2u2 nueun)! 。一個可看成是將e 展開式中的奇數(shù)項變成交錯級數(shù)得到的，一個可看成是將展開式中n09的偶數(shù)項變成交錯級數(shù)而得到。像這樣從“形似”上掌握不費(fèi)腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的搭配： sin u 、cosu 習(xí)慣上說 “正余弦”，先正后余； 而 sin u 的展開式對應(yīng)的是奇數(shù)項，cos u的展開式對應(yīng)的是偶數(shù)項，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。在已知冪級數(shù)求和函數(shù)時，最佳途徑是根據(jù)各個公式右端的形式來選定公式：第一部分(前 3

24、式)的展13 式）的展開式都帶階乘，其中只開式都不帶階乘，其中只有1 u 的展開式不是交錯級數(shù)；第二部分（后有 eu 的展開式不是交錯級數(shù)。由題目給出的冪級數(shù)的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的冪級數(shù)帶階乘而不是交錯級數(shù)，則應(yīng)該用公式4 ，因為冪級數(shù)的變形變不掉階乘和( 1)n ；若題目給出的冪級數(shù)不帶階乘而且是交錯級數(shù)，則必從2 、3 兩式中選擇公式，其它情況也類似。對于函數(shù)的冪級數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級數(shù)展開） 、四則運(yùn)算（用于展開、求和）

25、、逐項微積分（用于展開、求和）。對于數(shù)項級數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造冪級數(shù)法，即利用變換anliman xn 求得冪級數(shù)n0x 1 n0an xn 的和函數(shù) s( x) 以后代入極限式即可。 其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)膞n ，一般情況下如果n 、1)(2nn 0這樣的項在分子中，則應(yīng)該先用逐項積分再用逐項求導(dǎo)，此時的xn 應(yīng)為 x( ) 1的形式，如 x ( n ) 1、 x (2 n 1)1 ，11xn 應(yīng)為 x( ) 的形式，如 x ( 2n1) 、 x( 3n1)以方便先積分；若題目有(2n 1)、 (3n 1) 這樣的項，則，便于先求導(dǎo)。這些經(jīng)驗在做一定量的題目后就會得到。1.7高數(shù)

26、第十章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時可以先將多元函數(shù)各知識點(diǎn)與一元函數(shù)對應(yīng)部分作對比，這樣做即可以將相似知識點(diǎn)區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對比來促進(jìn)對二元函數(shù)某些地方的理解。二元函數(shù)相似二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)(x, y)以任何方向、任何路徑趨向P(x0 , y0 ) 時均有極限不同lim f (x , y )f ( x, y) Axx0y y0x x0、）。如果沿不同路徑的y y0（一元函數(shù)一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān)，由等價式 lim f (x)A即可判斷。xx0f (x0 )f (x0 )A10連續(xù)性（偏）導(dǎo)數(shù)全微分可微、可導(dǎo)、連續(xù)全導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)微分法lim f ( x, y)xx0不

27、相等，則可斷定yy0不存在。二元函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P( x0 , y0 ) 處連續(xù)性判斷條件為：limf ( x, y) 存在且等于 f (x0 , y0 )x x0y y0二元函數(shù) zf (x, y) 的偏導(dǎo)數(shù)定義：lim zlim f (x0x, y0 )f ( x0 , y0 )x0xx 0x分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義簡化定義為： 對于函數(shù) zf (x, y) ，若其在點(diǎn) P( x0 , y0 ) 處的增量z可表示為z A xB yo() ，其中 o() 為的高階無窮小，則函數(shù) f ( x, y) 在 P( x0 , y0 ) 處可微，全微分為 AxBy

28、，一般有 dzxz dxyz dy連續(xù)可導(dǎo)可微設(shè) zf (u,v,w) ， ug(t ) ， vh(t ) ， wk(t) 且都可導(dǎo)，則 z 對 t 的全導(dǎo)數(shù) dzf dufdvf dwdtu dtv dtw dt鏈?zhǔn)角髮?dǎo)相似相似相似不同不同相似一元函數(shù) yf (x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)性判斷條件為 lim f (x) 且等于 f ( x0 )xx0一元函數(shù) yf (x) 的導(dǎo)數(shù)定義：limyf (x0x )f (x0 )xlimxx 0x 0分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義簡化定義為：若函數(shù) yf (x) 在點(diǎn) x 處的增量 y 可表示為 yA x d ，其中 d 是x 的高階無窮小，

29、則函數(shù)在該點(diǎn)可微，即dyA x ，一般有 dyf (x)dx連續(xù)可導(dǎo)可微一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個概念，但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)其實(shí)可以從“一元復(fù)合函數(shù)” 的角度理解。一元復(fù)合函數(shù)是指 yf (u )、ug( x) 時有 dydy du 。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較dxdu dx就可以將二式統(tǒng)一起來。一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示，與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相似，只需分清式子中dz 與 z 的不dxx同即可隱函數(shù)微分法極值求由方程 F( x, y, z)0 確定的隱含數(shù) ZZ (x, y) 的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式：zFx ( x, y , z) ， zFy ( x, y, z)xFz ( x, y

30、, z)yFz ( x, y, z)對于由方程組F( x, y, z)0 確定的隱含數(shù)yy( x) zz(x)可套用、G( x, y, z)0方程組FxF ydyFzdz0dxdxG xG ydyGzdz0dxdx極值定義： 函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P( x0 , y0 ) 的鄰域內(nèi)有定義， 且對于其中異于 P 點(diǎn)的任一點(diǎn) Q(x, y) ，恒有 f ( x, y)f ( x0 , y0 ) 或不僅一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法“形對一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種方法：似”，1.公式 dyFx ( x, y)且在dxFy (x, y)相當(dāng)2.將 y 視為 x 的函數(shù)，在方程兩邊同時對x 求導(dǎo)

31、大程x(t) 則 dyy (t )度上一元參數(shù)方程微分法：若有xyy(t )dxx ( t)相通相似極值定義：函數(shù)y f (x) 在點(diǎn) x0的鄰域內(nèi)有定義且對于其中異于該點(diǎn)的任一點(diǎn)恒有11取極值的充分f (x, y)f ( x0 , y0 ) ，則稱 f ( x0 , y0 ) 為 f (x, y) 的極小 / 大值，方程組f x ( x, y) 0 的解稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。f y ( x, y)0函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P( x0 , y0 ) 的鄰域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)，且滿足f x (x0 , y0 ) 0 、 f y ( x0 , y 0 ) 0 、 f xy ( x0 , y 0

32、) 2f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y 0 )0 ，若 f x ( x0 , y 0 )0 或 f y ( x0 , y0 )0 則 P(x0 , y0 ) 為極小值點(diǎn)；相似f ( x)f ( x0 ) 或 f ( x)f (x 0 ) ，則稱 f ( x0 )為 yf (x)的極小 / 大值，方程 f (x)0 的解稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。函數(shù) yf (x) 在點(diǎn) x0 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f ( x)0 、 f( x)0 ，則：條件若 f( x)0，則 f ( x0 ) 為極小值；若 f x ( x0 , y0 )0 或 f y (x0 , y0 )0 則 P(x0 , y

33、0 ) 為極大值點(diǎn)。大綱對于多元函數(shù)條件極值的要求為“會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”若 f( x)0 ，則 f ( x0 ) 為極小值，是一種比較簡單而且程式化的方法。一元函數(shù)則無對應(yīng)的內(nèi)容。1.8高數(shù)第十章重積分大綱對于本章的要求只有兩句：1. 理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。 2.掌握二重積分的計算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）在做二重積分的題時常用的是更換積分次序的方法與幾個變換技巧2 線性代數(shù)部分2.1線代這門課的特點(diǎn)線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比，特點(diǎn)之一是知識點(diǎn)比較細(xì)碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點(diǎn)在于

34、知識點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。所以我們在復(fù)習(xí)線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會貫通”。“融會”可以理解為設(shè)法找到不同知識點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識點(diǎn)之間的順承關(guān)系。這樣做的目的就在于當(dāng)看到題目的條件和結(jié)論、推測出其中涉及到的知識點(diǎn)時立刻就能想到與之有關(guān)聯(lián)的其他知識點(diǎn)隊列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。12出題專家在編制題目時常常利用這些聯(lián)系將兩部分的內(nèi)容結(jié)合起來出題，比如在歷年真題中出現(xiàn)頻率很高的性質(zhì)“齊次方程組是

35、否有零解對應(yīng)于A 的列向量組是否線性相關(guān)；非齊次方程組Ax=b是否有解對應(yīng)于向量b 是否可由 A 的列向量線性表示” 。再如一個貌似考察向量組線性無關(guān)的題目，做起來以后才發(fā)現(xiàn)實(shí)際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣A 可逆|A|=0A 的列向量組線性無關(guān)r(A)=n”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無關(guān)和矩陣秩兩個知識點(diǎn)間的聯(lián)系。2.2線代第一章行列式 、第二章矩陣第一章行列式 、第二章矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式具體行列式的計算低階n 階應(yīng)用行列式按行列展開定理化為上下三角行列式求解行列式的定義、| A |12n 、行列式的性質(zhì)抽象行列式

36、的計算考點(diǎn)不在求行列式，而在于A T 、 A 、 A 1 等的相關(guān)性質(zhì)第二章矩陣中的知識點(diǎn)很細(xì)碎，但好在每個小知識點(diǎn)包括的內(nèi)容都不多，沒有什么深度。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、AT、 A 、 A 1的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結(jié)構(gòu)特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果：特征值性質(zhì) （為矩秩的性質(zhì)行列式性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)陣 A 的特征值）(AT)TAr ( AT )r ( A)轉(zhuǎn)置矩陣(kA) TkA Tr (AT )r ( A

37、T A)|AT| |A|(AB)TT TATB A(A B)TBTATr ( AT A)r ( A)13逆矩陣|A1|1有特征值 1A 1| A |AT、A 、A1 三者之間有一n. r ( A)n伴隨矩陣n 1有特征值 | A|個即好記又好用的性質(zhì)|A | |A|(AT) 1(A 1)Tr ( A )1. r ( A) n 1A(A)1(A 1)0. r ( A) n1(AT )(A )T數(shù)乘矩陣r ( AB) r ( A) r ( B)kA 、矩陣| kA |k n Ar ( AB)min r ( A), r (B)kA 有特征值 k，AB 0則有： r ( A )r ( B) n之積 AB| AB| |A|B|aAbE 有特征值若 A 可逆則有 r ( AB)r ( B) ；及矩陣之a(chǎn)b和 A B同樣，若 B 可逆則有r ( AB)r ( A)2.3線代第三章向量 、第四章線性方程組線代第三章向量 、第四章線性方程組是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之