1、考研高等數學部分綜合競賽試題時間：240分 滿分：250分一、 選擇題（每題2分，共32分）1、設，則當時，是的高階無窮小低階無窮小同階但不等價的無窮小等價無窮小2、 函數在下列哪個區間內有界3、 曲線的漸近線有4、設函數區間上連續，且,則方程，在開區間內的根有5、設函數在區間內有定義，若當時，恒有，則必是的 間斷點 連續而不可導的點 可導的點，且 可導的點，且6、已知函數對一切非零滿足 （ ）（A）是的極大值（B）是的極小值（C）是曲線的拐點（D）不是的極值，但也不是曲線的拐點7、設函數連續，則在下列變上限的定積分定義的函數中，必為偶函數的是8、下列廣義積分中發散的是9、設函數，其中函數具有

2、二階導數，具有一階導數，則必有10、設函數連續，則二次積分11、設函數連續，區域，則12、設區域，為上的正值連續函數，為常數，則13、設數列單調遞減，無界，則冪級數的收斂域為 （ ）14、已知為常數，則 （ ）15、設有兩個數列，若，則 （ ）（A）當收斂時，收斂. （B）當發散時，發散. （C）當收斂時，收斂.（D）當發散時，發散.16、設隨機變量與相互獨立，且是區間是的均勻分布，的概率分布為，記為隨機變量的分布函數，則函數的間斷點個數為（ ）二、填空題（每空1分，共49分）17、設在處連續，則；18、函數在區間內的間斷點為；其各個間斷點的類型為；19、設，則（1）；（2）；20、函數在處的

3、階導數；21、已知是周期為的連續函數，它在的某個領域內滿足關系式，其中是當時比高階的無窮小，且在處可導，則曲線在點處的切線方程是；22、設，則；23、設函數由方程所確定，則曲線在點處的法線方程為；24、曲線在處的曲率半徑25、設函數由參數方程確定，則曲線向上凸的的取值范圍為；26、函數在區間上的平均值為；27、；28、設則函數的表達式是；29、設直線與拋物線所圍成圖形的面積為，它們與直線所圍成的圖形的面積為，并且，（1）若要使達到最小，則；其最小值為；（2）該最小值所對應的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為；30、設函數連續，且，已知，則；31、（1）；（2）；32、設是區間上的單調、可導

4、函數，且滿足，其中是的反函數，則；33、已知，則；34、設有連續一階偏導數，又函數及分別由和兩式確定，則；35、已知，則；36、設，其中具有連續二階偏導數，則；37、設橢圓上存在一點，且該點到直線的距離最短，則該點的坐標為；38、已知函數具有二階連續偏導數，且，其中，則二重積分39、已知是由直線及圍成的平面區域，則二重積分40、設二元函數，則二重積分41、已知，則二重積分42、設則的形心坐標；43、已知曲線，則；44、已知為正常數，為從點沿曲線到點的弧，則；45、已知是以點為中心，為半徑的圓周，取逆時針方向，則曲線積分46、已知存在一常數，使在右半平面上的向量為某二元函數的梯度，則；47、設L

5、是柱面方程為與平面的交線，從z軸正向往z軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分；48、設為橢球面的上半部分，點，為在點處的切平面，為點到平面的距離，則；49、設是錐面與半球面圍成的空間區域，是的整個邊界的外側，則；50、設是錐面的下側，則；51、設對于半空間內任意的光滑有向封閉曲面，都有，其中函數在內具有連續的一階導數，且，則；52、設，則；53、冪級數的和函數；且的極大值為54、從點作軸的垂線，交拋物線于點；再從作這條拋物線的切線與軸交于，然后又從作軸的垂線，交拋物線于點，依次重復上述過程得到一系列的點則（1）；（2）級數的和為；55、設則；56、從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定

6、儀器的下沉深度（從海平面算起）與下沉速度之間的函數關系。設儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛垂下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設儀器的質量為，體積為，海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數為，則與之間的函數關系是；57、設二維隨機變量的密度函數為，則二次曲面為橢球面的概率為。三、 計算題（每題10分，共90分）58、作半徑為的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積最小，并求出該最小值。59、曲線與直線及圍成一曲邊梯形。該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體，其體積為，側面積為，在處的底面積為。（1）求的值；（2）計算極限。60、求二元函數在由直線、軸和軸所圍成的閉區

7、域上的極值、最大值與最小值。61、設為橢球面上的動點，若在點處的切平面與面垂直，求點的軌跡；并計算曲線積分，其中是橢球面位于曲線上方的部分。62、計算曲面積分，其中是曲面的外側。63、求冪級數的收斂域及和函數。64、將展成的冪級數。65、設是一向上凸的連續曲線，其上任一點處的曲率為，且此曲線上點處的切線方程為，求該曲線的方程，并求函數的極值。66、在坐標平面上，連續曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數）（1）求的方程；（2）當與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值。四、證明題（每題10分，共20分）67、（1）證明：對任意正整數，都有成立，（2）設，證明數列收斂。68、證明：當時，。五、解答題（每題11分，共11分）69、將函數展開成余弦級數，并求級數的和。六、論述題（每題12分，共48分）70、設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，且，若極限存在，證明： （1）在內； （2）在內存在，使； （3）在內存在與（2）中相異的點，使71、設函數連續且恒大于零，其中。（1） 討論在區間內的單調性。（2） 證明：當時，。72、設函數在內具有二階導數，且，是的反函數。（1）試將所