1、精選文檔 湖南工業(yè)大學(xué)課 程 設(shè) 計(jì)資 料 袋 理學(xué)院 學(xué)院（系、部） 2013-2014 學(xué)年第 2 學(xué)期 課程名稱 數(shù)值分析 指導(dǎo)教師 職稱 副教授 學(xué)生姓名 專業(yè)班級 信計(jì)1102 學(xué)號 114111002 題 目 超松弛迭代法解線性方程組 成 績 起止日期 2014 年 06 月 09 日 2014 年 06 月 13 日目 錄 清 單序號材 料 名 稱資料數(shù)量備 注1課程設(shè)計(jì)任務(wù)書12課程設(shè)計(jì)說明書13源程序（電子文檔）145湖南工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書2013-2014學(xué)年第 2 學(xué)期 理學(xué)院 學(xué)院（系、部） 信息與計(jì)算科學(xué) 專業(yè) 1102 班級課程名稱： 數(shù)值分析 設(shè)計(jì)題目： 超松

2、弛迭代法解線性方程組 完成期限：自 2014 年 06 月 09 日至 2014 年 06 月 13 日共 1 周內(nèi)容及任務(wù)一、設(shè)計(jì)的任務(wù)及主要技術(shù)參數(shù)運(yùn)用數(shù)值分析中超松弛迭代法，求解一個(gè)給定的線性方程組。二、設(shè)計(jì)任務(wù)理解超松弛迭代法的原理依據(jù)，實(shí)現(xiàn)算法，利用matlab軟件編程，解決問題。三、設(shè)計(jì)工作量三人合作，在一周時(shí)間內(nèi)，使用matlab軟件，編寫程序，使用超松弛迭代法解線性方程組。最后，撰寫課程設(shè)計(jì)報(bào)告。進(jìn)度安排起止日期工作內(nèi)容2014.06.092014.06.10選擇題目，查閱資料。2014.06.112014.06.12利用matlab軟件編寫相應(yīng)的程序，并嘗試改進(jìn)已有的算法。2

3、014.06.122014.06.13整理相關(guān)的結(jié)果，書寫課程設(shè)計(jì)報(bào)告。主要參考資料1黃云清等.2009.數(shù)值計(jì)算方法.北京：科學(xué)出版社.2何道坤等.1985.實(shí)用線性規(guī)劃及計(jì)算機(jī)程序.北京:清華大學(xué)出版社.3威爾金森J H.2001.代數(shù)特征值問題.石鐘慈，鄧鍵譯.北京：科學(xué)出版社.指導(dǎo)教師（簽字）： 年 月 日系（教研室）主任（簽字）： 年 月 日精選文檔 數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)說明書 超松弛迭代法求解線性方程組起止日期： 2014 年 06月 09 日 至 2014 年 06 月 13 日學(xué)生姓名班級 信息與計(jì)算科學(xué)11級學(xué)號 成績指導(dǎo)教師(簽字)理學(xué)院2014年06月 13 日目 錄第1章

4、超松弛迭代法的論述41.1 理論依據(jù)41.2 收斂性判別條件51.3 收斂速度的估計(jì)5第2章 程序設(shè)計(jì)及結(jié)果62.1 MATLAB程序62.2 運(yùn)行結(jié)果及分析7第三章 對題目進(jìn)行變化93.1改進(jìn)方法93.2改進(jìn)題目13第四章 對算法進(jìn)行展望13結(jié) 論14參考文獻(xiàn)15附 錄15 應(yīng)用SOR方法（取）解 的方程組.要求，第1章 超松弛迭代法的論述1.1 理論依據(jù) 超松弛迭代法定義 超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，簡稱SOR迭代法，它是在Gauss-Seidel法基礎(chǔ)上為提高收斂速度，采用加權(quán)平均而得到的新算法.設(shè)解方程組的Gauss-Seidel法記為 （1）

5、再由與加權(quán)平均得這里0稱為松弛參數(shù)，將(1)代入則得 （2）稱為SOR迭代法，0稱為松弛因子，當(dāng)=1時(shí)(2)即為Gauss-Seidel法，將(2)寫成矩陣形式，則得于是得SOR迭代的矩陣表示 (3)其中 1.2 收斂性判別條件根據(jù)迭代法收斂性定理，SOR法收斂的充分必要條件為，但要計(jì)算比較復(fù)雜，通常都不用此結(jié)論，而直接根據(jù)方程組的系數(shù)矩陣A判斷SOR迭代收斂性，下面先給出收斂必要條件.定理1 設(shè)，則解方程的SOR迭代法收斂的必要條件是02.定理2 若對稱正定，且02，則解Ax=b的SOR迭代法(3)對迭代收斂.對于SOR迭代法，松弛因子的選擇對收斂速度影響較大，關(guān)于最優(yōu)松弛因子研究較為復(fù)雜，

6、且已有不少理論結(jié)果.下面只給出一種簡單且便于使用的結(jié)論.第2章 程序設(shè)計(jì)及結(jié)果2.1 MATLAB程序時(shí)：時(shí)：2.2 運(yùn)行結(jié)果及分析w = 1.2時(shí)：w = 1.5時(shí)：分析：當(dāng)w=1.2時(shí)，原問題只需迭代9次就已經(jīng)快收斂到正解，而當(dāng)w=1.5時(shí)，原問題迭代了13次才趨于收斂到正解，而且收斂效果沒有w=1.2時(shí)的效果好。 第三章 對題目進(jìn)行變化3.1尋找最優(yōu)的 可以通過將設(shè)置范圍，,并取步長，將原題進(jìn)行迭代：迭代代碼如下：clearclca=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10;b=9;7;8;x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;eps=1e-3;h=0.1;

7、for j=1:20 w(j)=0+h*j; for k=1:1000 x1(k+1)=w(j)*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k)/a(1,1)+(1-w(j)*x1(k); x2(k+1)=w(j)*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)/a(2,2)+(1-w(j)*x2(k); x3(k+1)=w(j)*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1)/a(3,3)+(1-w(j)*x3(k); %x1',x2',x3' if norm(x1(k)'-1),(x2(k)'

8、;-1),(x3(k)'-1),inf)<eps; k break end end x1',x2',x3'end運(yùn)行結(jié)果如下：取幾個(gè)的值迭代得到的結(jié)果展示：=0.5=0.7=0.4=0.63.2改進(jìn)題目題目：-4x1+x2+x3+x4=1x1-4x2+x3+x4=1x1+x2-4x3+x4=1x1+x2+x3-4x4=1clearclca=-4 1 1 1;1 -4 1 1;1 1 -4 1;1 1 1 -4;b=1;1;1;1;x1(1)=0;x2(1)=0;x3(1)=0;x4=0;eps=1e-3;w=1.5; for k=1:20 x1(k+1)=

9、w*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k)-a(1,4)*x4(k)/a(1,1)+(1-w)*x1(k); x2(k+1)=w*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)-a(2,4)*x4(k)/a(2,2)+(1-w)*x2(k); x3(k+1)=w*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1)-a(3,4)*x4(k)/a(3,3)+(1-w)*x3(k); x4(k+1)=w*(b(4)-a(4,1)*x1(k+1)-a(4,2)*x2(k+1)-a(4,3)*x3(k+1)/a(4,4)+(1-w)*x4(

10、k);if norm(x1(k)'-1),(x2(k)'-1),(x3(k)'-1),(x4(k)'-1)<eps; breakendendx1',x2',x3',x4'運(yùn)行結(jié)果：第四章 對算法進(jìn)行展望 逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，簡稱SSOR迭代法，它是在GS法基礎(chǔ)上為提高收斂速度，采用加權(quán)平均而得到的新算法，設(shè)解方程(7.1.3)的GS法記為 (7.3.1)再由與加權(quán)平均得 這里0稱為松弛參數(shù)，將(7.3.1)代入則得(7.3.2)稱為SOR迭代法，WTBX0稱為松弛因子，當(dāng)

11、=1時(shí)(7.3.2)即為GS法，將(7.3.2)寫成矩陣形式，則得 即于是得SOR迭代的矩陣表示(7.3.3)其中(7.3.4) 按(7.1.7)分解，有 結(jié) 論 超松弛迭代法（SOR）是在高斯-賽德爾方法和Jacobi迭代法的基礎(chǔ)上運(yùn)用加權(quán)得到的，它相對于其他兩種方法具有更快的收斂速度，但是得值不同，它的收斂速度也會不同，所以這個(gè)方法需要求出一個(gè)收斂速度最快的的值。參考文獻(xiàn)1黃云清等.2009.數(shù)值計(jì)算方法.北京：科學(xué)出版社.2何道坤等.1985.實(shí)用線性規(guī)劃及計(jì)算機(jī)程序.北京:清華大學(xué)出版社.3威爾金森J H.2001.代數(shù)特征值問題.石鐘慈，鄧鍵譯.北京：科學(xué)出版社.附 錄w = 1.2

12、或1.5時(shí)：clearclca=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10;b=9;7;8;x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;eps=1e-3;w=1.2(1.5); for k=1:20 x1(k+1)=w*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k)/a(1,1)+(1-w)*x1(k); x2(k+1)=w*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)/a(2,2)+(1-w)*x2(k); x3(k+1)=w*(b(3)-a(3,1)*x1(k+1)-a(3,2)*x2(k+1)/a(3,3)+(1-w)*x3(k

13、);if norm(x1(k)'-1),(x2(k)'-1),(x3(k)'-1)<eps; breakendendx1',x2',x3'w需要循環(huán)時(shí)：clearclca=10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10;b=9;7;8;x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;eps=1e-3;h=0.1;for j=1:20 w(j)=0+h*j; for k=1:1000 x1(k+1)=w(j)*(b(1)-a(1,2)*x2(k)-a(1,3)*x3(k)/a(1,1)+(1-w(j)*x1(k); x2(k+1)=w(j)*(b(2)-a(2,1)*x1(k+1)-a(2,3)*x3(k)/a(2,2)+(1-w(j)*x2