1、直角坐標系中的平移變換與伸縮變換目標：平移變換與伸縮變換的應用與明白得一.直角坐標系1. 直線上，取定一個點為原點，規定一個長度為單位長度，規定直線的一個方向為正方向。如此咱們就成立了直線上的坐標系(即數軸)。它使直線上任意一點P都能夠由惟一的實數x來確信。2. 平面上，取定兩條相互垂直的直線作為x、y軸，它們的交點作為坐標原點，并規定好長度單位和這兩條直線的正方向。如此咱們就成立了平面直角坐標系。它使平面上任意一點P都能夠由惟一的二元有序實數對(x,y)來確信。3. 在空間中，選擇三條兩兩垂直且交于一點的直線，以這三條直線別離作為x、y、z軸，它們的交點作為坐標原點，并規定好長度單位和這三條

2、直線的正方向。如此咱們就成立了空間直角坐標系。它使空間中任意一點P都能夠由惟一的三元有序實數對(x,y,z)來確信。事實上，直線上所有點的集合與全部實數的集合一一對應；平面上所有點的集合與全部二元有序數對(x,y)的集合一一對應；空間中所有點的集合與全部三元有序數對(x,y,z)的集合一一對應.二.平面直角坐標系中圖形的平移變換1.平移變換在平面內，將圖形F上所有點依照同一個方向，移動一樣長度，稱為圖形F的平移。假設以向量a表示移動的方向和長度，咱們也稱圖形F按向量a平移在平面直角坐標系中，設圖形F上任意一點P的坐標為(x,y)，向量a(h,k),平移后的對應點為P(x,y).那么有：(x,y

3、)(h,k)(x,y)即有：xhx.yky因此，咱們也能夠說，在平面直角坐標系中，由xhx所確信的變換yky是一個平移變換。因為平移變換僅改變圖形的位置，不改變它的形狀和大小因此，在平移變換作用下，曲線上任意兩點間的距離維持不變。例1.已知點P(4,3)按向量a(1,5)平移至點Q求點Q的坐標；.求直線l:3x2y120按向量a(2,3)平移后的方程。一樣地咱們有如下關于平移變換的結論：.將點P(x,y)按向量a(xo,y。)平移，所得點P的坐標為：P(xx0,yy0).將曲線C:f(x,y)0按向量a(%,y0)平移,所得曲線C的方程為C:f（xXo,yy。）0.注：點P(4,3)按向量a(

4、1,5)平移，得點P(41,35),即：P(3,8)；0.直線l:3x2y120按向量a(2,3)平移，得直線l:3(x2)2(y3)120,即：l:3x2y2.有關曲線平移的一樣性結論過點(%, y). .直線l:axby0,按向量a（x。，y。）平移后得直線l:a(xx0)b(yy0)0. .曲線C:x2y2r2,按向量a（均，y0）平移后得曲線 C : (x 先)2 (y y0)2r2中心為（4, y）.22.曲線C：x2七1,按向量a(x0,y0)平移后得ab22曲線C:(x0(yJ0)1中心為(x,y).ab22.曲線C：x2冬1,按向量a(x0,y0)平移后得ab22曲線C:(xx

5、0)(y1中心為(,y).ab.曲線C:y22px,按向量a(x,y)平移后得曲線C：(yy)22p(xx)極點為(x0,y).例2.說明方程4x29y216x18y110表示什么曲線，求那個曲線的極點、中心、核心、漸近線和離心率.三.平面直角坐標系中的伸縮變換1.伸縮變換例3.咱們已經明白，方程ysin2x所表示的曲線能夠看做由方程ysinx所表示的曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變成原先的得到的曲線；同理，將方程ysin2x所表示的曲線上所有點的縱坐標維持不變，而橫坐標變成原先的2倍，也能夠取得方程ysinx所表示的曲線.這也確實是說，方程ysin2x所表示的曲線能夠通過伸縮變換取得方程y

6、sinx所表示的曲線.事實上，設2xx,yy，那么ysin2x能夠化為ysinx.由2yxyx，所確信的變換，是曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變成原先的2倍，也能夠稱為曲線按伸縮系數為2向著y軸的伸縮變換(那個地址P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).一樣地，由xx，所確信的伸縮變換，是按伸縮系數為向著y軸yy的伸縮變換(當1時，表示伸長；當1時，表示伸長；當1時，表示緊縮)，即曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標變成原先的倍(那個地址P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).由xx，所確信的伸縮變換，是按伸縮系數向著x軸和按伸縮yy系數向著y軸的伸縮變換(當1時，表

7、示伸長，1時，表示緊縮；當1時，表示伸長，當1時，表示緊縮)，即曲線上所有點的橫坐標和縱坐標別離變成原先的倍和倍(那個地址P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).在伸縮變換中，曲線上任意兩點間距離的不變性已不存在.那么縮變換有什么特點呢？咱們來考察直線與圓在伸縮變換作用下的轉變.例4.對以下曲線向著X軸進行伸縮變換，伸縮系數是k1.4 .2x3y60； .x2y216.(設P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).注：.直線2x3y60通過伸縮變換后的方程為x6y30,它仍然表示一條直線；2.圓x2y216通過伸縮變換后的方程為xy21,它變成橢圓.1672.有關曲線

8、伸縮變換的一樣性結論.直線通過伸縮變換后，仍是直線.因此，在伸縮變換作用下，點的共線性質維持不變。.曲線C: f(x,y) 0在伸縮變換yxyx （或/或鴻)作用下(,1時表示拉伸,1時表示緊縮)，所得曲線C的方程為：C:f(1x,y)0Mf(x,1y)0或f(x,y)0).曲線C:f(x,y)0上各點的橫坐標(或縱坐標、或橫坐標和縱坐標)緊縮為原先的1,可得曲線C:f(x,y)0(或f(x,y)0或f(x,y)0,1時表示緊縮，1時表示拉伸)2 .例5.設曲線C：ylog2x,C1:ylog2x1,C2:y章og2x,3C3:y210g2xlog29.由曲線C通過何種變換能夠取得曲線Ci、C

9、2、C3.例6.設Mi是A(xi,yi)與B(x2,y2)的中點，通過伸縮變換k1x后，它k2yy們別離為M2,A2,B2,求證：M2是4B2的中點.(設P(x,y)是變換前的點，P(x,y)是變換后的點).四.典型例題1 .兩個定點的距離為4,點M到這兩個定點的距離的平方和為16,那么點M的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線2 .將函數ysinx圖象上所有點的橫坐標擴大為原先的2倍，縱坐標拉伸為原先的2倍，取得的函數圖象的解析式為11.1A. y 2sin 2x b. y 2sin 2 x C. y 2sin 2x D. y1 2sin1 x23.將點P( 2, 2)變換為點P (

10、 6,1)所用的伸縮變換公式是A. x 3x B.y 2y1x 2x C.y 3yx 3x1 D. y 2yx 3xy 2y4 .已知點P(2,3)按向量a(1,4)平移至點Q求點Q的坐標;已知點P(3,2)按向量a平移至點Q(2,0),求平移向量a.5 .將對數函數ylog3x曲線的橫坐標拉伸為原先的2倍,求所得曲線的方程.6.在同一直角坐標系中，已知伸縮變換x 3x2y y. .求點A(1，2)通過變換所取得的點A的坐標；3 .點B通過變換取得點B(3,2),求點B的坐標 .求直線l:y6x通過變換后所取得的直線l的方程；2 .求雙曲線C:x2y-1通過變換后所取得的曲線C的核心坐標.64

11、227 .在平面直角坐標系中求將曲線C:x2y21變為曲線C:左上一194的伸縮變換.8 .方程C：3x24y218x16y70表示何種曲線，求它的中心坐標、核心坐標、準線方程、離心率.五.課外練習六.補充練習1 .將點P(x,y)的橫坐標伸長到原先的2倍，縱坐標緊縮為原先的1,取得3點P的坐標為()A.(X,3y)B.(2x,y)C.(3x,y)D.&2y)x2.曲線C通過伸縮變換y2323x的方程為y310g2(x2)y1og2(3x2)線 CB.D.1后取得曲線C的方程為ylog2(x2),3y那么曲()1A.y110g2(x2)3C.yiog2(1x2)33.已知點P(3, 2)按向量a(1,4)平移至點Q求點Q的坐標;已知點P(1,3)按向量a平移至點Q(3,1),求向量a.4.寫出曲線按向量（4,3）平移后的方程. .3x4y50； .y2