1、 10.2 雙曲線及其性質高考理數高考理數 (課標專用)考點一雙曲線的定義和標準方程考點一雙曲線的定義和標準方程(2016課標,5,5分)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)22xmn223ymn33五年高考A A組組 統一命題統一命題課標卷題組課標卷題組答案答案 A解法一:由題意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c為半焦距,2c=22|m|=4,|m|=1,方程-=1表示雙曲線,(m2+n)(3m2-n)0,-m2n3m2,-1n3.故選A.解法二:原方程表示雙曲線,且焦距為4

2、,或由得m2=1,n(-1,3).無解.故選A.知識拓展知識拓展對于方程mx2+ny2=1,若表示橢圓,則m、n均為正數且mn;若表示雙曲線,則mn0,b0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為()A.B.C.2D.22xa22yb235答案答案A本題考查了雙曲線的幾何性質以及圓的性質;通過雙曲線的離心率考查了學生的運算求解能力;考查的核心素養為數學運算.如圖,|PQ|=|OF|=c,PQ過點.P.又|OP|=a,a2=+=,=2,e=.故選A.,02c,2 2c c22c22c22c2caca2解題關鍵解題關鍵由|P

3、Q|=|OF|=c可知PQ過以OF為直徑的圓的圓心,進而得到P是解答本題的關鍵.,2 2c c3.(2018課標,11,5分)已知雙曲線C:-y2=1,O為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=()A.B.3C.2D.423x323答案答案B本題主要考查雙曲線的幾何性質.由雙曲線C:-y2=1可知其漸近線方程為y=x,MOx=30,MON=60,不妨設OMN=90,則易知焦點F到漸近線的距離為b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|=,則在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故選B.解題關鍵解題關鍵

4、利用雙曲線的幾何性質求出MON的大小及|OM|的值是求解本題的關鍵.23x3334.(2018課標,5,5分)雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為,則其漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb3232232答案答案 A本題主要考查雙曲線的幾何性質.e=,=,雙曲線的漸近線方程為y=x=x.故選A.3ba21e 3 12ba25.(2017課標,9,5分)若雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為()A.2B.C.D.22xa22yb322 33答案答案A本題主要考查雙曲線的方程和性質,直線與圓的位置關系

5、.由題意可知圓的圓心為(2,0),半徑為2.因為雙曲線-=1的漸近線方程為y=x,即bxay=0,且雙曲線的一條漸近線與圓相交所得的弦長為2,所以=,所以=.故離心率e=2.選A.22xa22ybba22|2 |bab2221ba3221ba6.(2016課標,11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:-=1的左,右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1=,則E的離心率為()A.B.C.D.222xa22yb132323答案答案 A解法一:不妨設M在第二象限,由MF1x軸,可得M,|MF1|=.由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=,又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=

6、a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1=0,e=.故選A.解法二:不妨設M在第二象限,由MF1x軸,得M,|MF1|=,由雙曲線的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sinMF2F1=a2=b2a=b,e=.故選A.2,bca2ba1321132 23112|MFFF22bac22bac132 2322222222,bca2ba2ba12|MFMF222babaa1321ba27.(2015課標,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若 0,則y0的取值范圍是()A.B.C.D.22x1MF2MF33,3333

7、,662 2 2 2,332 3 2 3,33答案答案 A不妨令F1為雙曲線的左焦點,則F2為右焦點,由題意可知a2=2,b2=1,c2=3.F1(-,0),F2(,0),則=(-x0)(-x0)+(-y0)(-y0)=+-3.又知-=1,=2+2, =3-10.-y0,故選A.思路分析思路分析由雙曲線方程求出F1,F2的坐標,利用數量積的坐標運算表示出,利用M在雙曲線上得=2+2,從而將轉化為僅含y0的式子,由0即可解得y0的取值范圍.解題關鍵解題關鍵依據0,b0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設點M在第一象限內,則易得M(2a,a),又M點在雙曲線E上,于是-=1,可得b2=a2,

8、e=.思路分析思路分析設出雙曲線方程,依據題意,求出點M的一個坐標,代入雙曲線方程,得到關于a、b的方程,進而可得出雙曲線E的離心率.22xa22yb322(2 )aa22( 3 )ab221ba29.(2019課標,16,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若=,=0,則C的離心率為.22xa22yb1F AAB1FB2F B答案答案2解析解析本題考查雙曲線的幾何性質,平面向量的線性運算,平面向量數量積的性質等知識;考查學生的推理論證能力、運算求解能力及應用意識;考查的核心素養是邏輯推理和數學運算.雙曲線-=1

9、(a0,b0)的漸近線方程為y=x,=0,F1BF2B,點B在O:x2+y2=c2上,如圖所示,不妨設點B在第一象限,由得點B(a,b),22xa22ybba1FB2F B222222,0byxaxycabcx=,點A為線段F1B的中點,A,將其代入y=-x得=.解得c=2a,故e=2.思路分析利用=0得出點B在O:x2+y2=c2上,結合點B在漸近線上求得點B的坐標,進而利用=得點A的坐標,由點A在另一條漸近線上可得a與c的關系,從而求得離心率.疑難突破求點B的坐標是難點,垂直關系可以與圓聯系,也可以轉化為直角三角形,求邊的關系.一題多解一題多解一題多解一:如圖,由=知A為線段F1B的中點,

10、O為線段F1F2的中點,OAF2B,=0,F1BF2B,OAF1A且F1OA=OF2B,BOF2=AOF1,BOF2=OF2B,又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2為正三角形,1F AAB,22ac bba2bba2acca1FB2F B1F AAB1F AAB1FB2F B可知=tan60=,e=2.一題多解二:如圖,設AOy=,則BOy=,=,A為線段F1B的中點,又O為線段F1F2的中點,OABF2,OBF2=2.過B作BHOF2,垂足為H,則BHy軸,則有OBH=,HBF2=,易得OBH F2BH,|OB|=|BF2|,=0,ba3ca221ba1F AAB2F B1FBBF1BF

11、2,又O為F1F2的中點,|OB|=|OF2|=c,OBF2為正三角形.BOF2=60,則=tan60=,e=2.ba3ca221ba1.(2017天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點為F,離心率為.若經過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb224x24y28x28y24x28y28x24yB B組組 自主命題自主命題省省( (區、市區、市) )卷題組卷題組考點一雙曲線的定義和標準方程考點一雙曲線的定義和標準方程答案答案 B本題主要考查雙曲線的幾何性質和雙曲線的標準方程.由離心率為可知

12、a=b,c=a,所以F(-a,0),由題意可知kPF=1,所以a=4,解得a=2,所以雙曲線的方程為-=1,故選B.方法總結方法總結求雙曲線的方程的常用方法:(1)待定系數法:設出所求雙曲線的方程,根據題意構造關于參數a,b的方程組,從而解方程組求出參數a和b的值;(2)定義法:根據題意得到動點所滿足的關系式,結合雙曲線的定義求出動點所滿足的軌跡方程.222400(2 )a 42a2228x28y2.(2016天津,6,5分)已知雙曲線-=1(b0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.-=

13、1B.-=1C.-=1D.-=124x22yb24x234y24x243y24x24y24x212y答案答案 D設A(x0,y0),不妨令其在第一象限,由題意得可得=,=,結合2x02y0=2b,可得b2=12.所以雙曲線的方程為-=1.故選D.22200002 ,2xybyx20 x2164b20y24b2164b2244bb24x212y3.(2015天津,6,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線過點(2,),且雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb37221x228y228x221y23x24y

14、24x23y答案答案D由題意知點(2,)在漸近線y=x上,所以=,又因為拋物線的準線為x=-,所以c=,故a2+b2=7,所以a=2,b=.故雙曲線的方程為-=1.選D.3baba3277324x23y1.(2019浙江,2,4分)漸近線方程為xy=0的雙曲線的離心率是()A.B.1C.D.2222考點二雙曲線的幾何性質考點二雙曲線的幾何性質答案答案C本題考查雙曲線的漸近線、離心率;考查學生的運算求解的能力;體現了數學運算的核心素養.漸近線方程為y=x,a=b,c=a,e=,故選C.解題關鍵解題關鍵正確理解雙曲線方程與漸近線方程的關系,從而得出a與c的關系.2ca22.(2019天津,5,5分

15、)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.若l與雙曲線-=1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|=4|OF|(O為原點),則雙曲線的離心率為()A.B.C.2D.22xa22yb235答案答案 D本題主要考查雙曲線的離心率,拋物線焦點坐標與準線方程,通過圓錐曲線的性質考查學生的運算求解能力,滲透了數學運算的核心素養.如圖,由題意可知拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,|AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又點A在直線y=-x上,2=-(-1),=2,雙曲線的離心率e=.故選D.bababa221ba1453.(2016浙江,7,5分)已知橢圓C1:+y2=

16、1(m1)與雙曲線C2:-y2=1(n0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,=1,即e1e21.結合圖形易知mn,故選A.思路分析思路分析根據焦點重合可得m2與n2之間的關系,進而建立關于m的解析式,然后判定范圍即可.評析評析本題考查了橢圓、雙曲線的方程和基本性質.考查了運算求解能力.21m 21mm21n 21nn21e22e2222(1)(1)mnmn2222(1)(2)mmm21e22e221tt 21e22e4.(2019江蘇,7,5分)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線x2-=1(b0)經過點(

17、3,4),則該雙曲線的漸近線方程是.22yb答案答案y=x2解析解析本題主要考查雙曲線漸近線方程,考查了運算求解能力,考查的核心素養是數學運算.由雙曲線x2-=1(b0)經過點(3,4),得9-=1,解得b=,又b0,所以b=,易知雙曲線的焦點在x軸上,故雙曲線的漸近線方程為y=x=x.22yb216b22ba25.(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值是.22xa22yb32答案答案2解析解析本題考查雙曲線的性質.雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為=c,

18、b=c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.22|()bcba 323234ca6.(2017山東,14,5分)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1(a0,b0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.22xa22yb答案答案 y=x22解析解析本題考查雙曲線、拋物線的基礎知識,考查運算求解能力和方程的思想方法.設A(x1,y1),B(x2,y2).因為4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=.由可得

19、=,故雙曲線的漸近線方程為y=x.2p2p2p222222,1xpyxyab222pbaba2222思路分析思路分析由拋物線的定義和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再聯立雙曲線和拋物線的方程,消去x得關于y的一元二次方程,由根與系數的關系得y1+y2.從而得的值,進而得漸近線方程.解題關鍵解題關鍵求漸近線方程的關鍵是求的值,利用題中條件建立等量關系是突破口,注意到|AF|、|BF|為焦半徑,因此應利用焦半徑公式求解.又A、B為兩曲線的交點,因此應聯立它們的方程求解.這樣利用y1+y2這個整體來建立等量關系便可求解.baba7.(2016北京,13,5分)雙曲線-=

20、1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC的邊長為2,則a=.22xa22yb答案答案2解析解析由OA、OC所在直線為漸近線,且OAOC,知兩條漸近線的夾角為90,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對角線,且點B是雙曲線的焦點,則c=2,根據c2=2a2可得a=2.評析評析本題考查等軸雙曲線及其性質.21.(2015廣東,7,5分)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點為F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb5424x23y29x216y2

21、16x29y23x24yC C組組 教師專用題組教師專用題組考點一雙曲線的定義和標準方程考點一雙曲線的定義和標準方程答案答案 C由已知得解得故b=3,從而所求的雙曲線方程為-=1,故選C.5,45,cac5,4,ca216x29y2.(2014大綱全國,9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1、F2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cosAF2F1=()A.B.C.D.14132423答案答案A由題意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,cosAF2F1=.故選A.1212| 2 ,| 2|,F AF AaF AF Ac

22、a2222121212|2 | |F AFFF AF AFF222416162 24aaaaa141.(2018浙江,2,4分)雙曲線-y2=1的焦點坐標是()A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)23x2222考點二雙曲線的幾何性質考點二雙曲線的幾何性質答案答案 B本小題考查雙曲線的標準方程和幾何性質.a2=3,b2=1,c=2.又焦點在x軸上,雙曲線的焦點坐標為(-2,0),(2,0).易錯警示易錯警示求雙曲線焦點坐標的易錯點(1)焦點在x軸上還是y軸上,容易判斷錯誤;(2)雙曲線與橢圓的標準方程中,a,b,c的關系式容易混

23、淆.22ab2.(2015四川,5,5分)過雙曲線x2-=1的右焦點且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點,則|AB|=()A.B.2C.6D.423y4 3333答案答案D雙曲線x2-=1的右焦點為F(2,0),其漸近線方程為xy=0.不妨設A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故選D.23y33333.(2015湖北,8,5分)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(ab)同時增加m(m0)個單位長度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則()A.對任意的a,b,e1e2B.當ab時,e1e2;當ab時,e1e2C.對任意的a,b,e1b時,e1e2;當ae

24、2答案答案D依題意有e1=,e2=.而-=,a0,b0,m0,當ab時,有e1e2;當a,有e1e2.故選D.22aba21ba22()()ambmam21bmambabmam()()ba ma ambabmambabmam4.(2015重慶,10,5分)設雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于a+,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-,0)(0,)D.(-,-)(,+)22xa22yb22ab2222答案答

25、案A由題知F(c,0),A(a,0),不妨令B點在第一象限,則B,C,kAB=,CDAB,kCD=,直線CD的方程為y+=(x-c).由雙曲線的對稱性,知點D在x軸上,得xD=+c,點D到直線BC的距離為c-xD,a+=a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2,0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為()A.B.3C.mD.3m33答案答案 A由題意知,雙曲線的標準方程為-=1,其中a2=3m,b2=3,故c=,不妨取F(,0),一條漸近線為y=x,化成一般式即為x-y=0,由點到直線的距離公式可得d=,故選A.思路分析思路分析將雙曲線的方程化為標準方程,求出一個焦點坐標

26、和一條漸近線方程,再由點到直線的距離公式計算即可.知識延伸知識延伸任何雙曲線的焦點到其漸近線的距離恒為定值b(其中b為虛半軸長).23xm23y22ab33m33m1mm2|31|1()mm 36.(2013課標,4,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的離心率為,則C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb52141312答案答案C=,C的漸近線方程為y=x.故選C.思路分析思路分析由雙曲線離心率與的關系可得=,由此即可寫出漸近線方程.ba21e 5141212baba127.(2012課標,8,5分)等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y

27、2=16x的準線交于A,B兩點,|AB|=4,則C的實軸長為()A.B.2C.4D.8322答案答案 C如圖,AB為拋物線y2=16x的準線,由題意可得A(-4,2).設雙曲線C的方程為x2-y2=a2(a0),則有16-12=a2,故a=2,雙曲線的實軸長2a=4.故選C.評析評析本題考查了雙曲線和拋物線的基礎知識,考查了方程的數學思想,要注意雙曲線的實軸長為2a.38.(2011課標,7,5分)設直線l過雙曲線C的一個焦點,且與C的一條對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,|AB|為C的實軸長的2倍,則C的離心率為()A.B.C.2D.323答案答案B不妨設雙曲線C為-=1(a0,b0),并設

28、l過F2(c,0)且垂直于x軸,則易求得|AB|=,=22a,b2=2a2,離心率e=,故選B.錯因分析錯因分析將|AB|求錯或者將實軸長視作a是致錯的主要原因.評析評析本題主要考查雙曲線的方程、離心率和實軸等幾何性質,屬中等難度題目.22xa22yb22ba22baca221ba39.(2017北京,9,5分)若雙曲線x2-=1的離心率為,則實數m=.2ym3答案答案2解析解析本題考查雙曲線的性質.由題意知,a2=1,b2=m.e=,m=2.ca221ba11m310.(2016江蘇,3,5分)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1的焦距是.27x23y答案答案210解析解析由-=1,得a2

29、=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2.27x23y101011.(2016山東,13,5分)已知雙曲線E:-=1(a0,b0).若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是.22xa22yb答案答案2解析解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因為2|AB|=3|BC|,所以=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).評析評析本題考查了雙曲線的基本性質,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2構造關于離心率e的方程是求解的關鍵.22ba24ba

30、1212.(2015湖南,13,5分)設F是雙曲線C:-=1的一個焦點.若C上存在點P,使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點,則C的離心率為.22xa22yb答案答案5解析解析不妨設F為左焦點(-c,0),點P在第一象限,因為線段PF的中點恰為雙曲線C虛軸的一個端點,所以由中點坐標公式得P(c,2b),又P在雙曲線C上,-=1,=5,e=.22ca22(2 )bb22caca513.(2015山東,15,5分)平面直角坐標系xOy中,雙曲線C1:-=1(a0,b0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p0)交于點O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為.22xa22yb答案答案

31、 32解析解析設點A在點B左側,拋物線C2的焦點為F,則F.由和分別解得A,B.F為OAB的垂心,AFOB,kAFkOB=-1,即=-14b2=5a24(c2-a2)=5a2=,e=.0,2p22,xpybyxa 22,xpybyxa2222,bpb paa2222,bpb paa22222b ppabpaba22ca94ca3214.(2014江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a0)的右焦點為F,點A,B分別在C的兩條漸近線上,AFx軸,ABOB,BFOA(O為坐標原點).(1)求雙曲線C的方程;(2)過C上一點P(x0,y0)(y00)的直線l:-y0y=1與直線AF相交

32、于點M,與直線x=相交于點N.證明:當點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值.22xa02x xa32|MFNF解析解析(1)設F(c,0),因為b=1,所以c=,直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y=(x-c),解得B.又直線OA的方程為y=x,則A,kAB=.又因為ABOB,所以=-1,解得a2=3,故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y00),即y=.因為直線AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點為M;直線l與直線x=的交點為N21a 1a1a,22cca1a,cca22ccaacc 3a3a1a23x303x x0033x xy

33、00232,3xy32,則=.因為P(x0,y0)是C上一點,則-=1,代入上式得=,所求定值為=.003332,23xy22|MFNF20202020(23)(3)33124(3)xyxy202200(23)99(2)44xyx43202200(23)33(2)xyx203x20y22|MFNF43202200(23)33(2)xxx 4320200(23)4129xxx43|MFNF232 33考點一雙曲線的定義和標準方程考點一雙曲線的定義和標準方程1.(2019河南洛陽尖子生第二次聯考,4)經過點(2,1),且漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切的雙曲線的標準方程為()A.-=1B.-y

34、2=1C.-=1D.-=12113x211y22x2113y211x211y2113x三年模擬A組 20172019年高考模擬考點基礎題組答案答案A設雙曲線的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0,由漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1,由點到直線的距離公式可得=1,解得k=.因為雙曲線經過點(2,1),所以雙曲線的焦點在x軸上,可設雙曲線的方程為-=1(a0,b0),將(2,1)代入可得-=1,由得故所求雙曲線的標準方程為-=1.故選A.一題多解設雙曲線的方程為mx2-ny2=1(mn0),將(2,1)代入方程可得,4m-n=1.雙曲線的漸近線方程為y

35、=x,圓x2+(y-2)2=1的圓心為(0,2),半徑為1,由漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切,可得=1,即=3,由可得m=,n=,所以該雙曲線的標準方程為-=1,故選A.解后反思解后反思用待定系數法求雙曲線的方程時,先確定焦點在x軸還是y軸上,設出標準方程,再由條件確定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦點的位置不好確定,可將雙曲線的方程設為-=(0)或mx2-ny2=1(mn0),再根據條件求解.2|02|1kk 322xa22yb24a21b22411,3abba2211,311,ab2113x211ymn21mnmn3111112113x211y22xm22yn2.(201

36、9河南鄭州一模,7)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,實軸長為6,漸近線方程為y=x,動點M在雙曲線左支上,點N為圓E:x2+(y+)2=1上一點,則|MN|+|MF2|的最小值為()A.8B.9C.10D.1122xa22yb136答案答案 B由題意知2a=6,則a=3,又由=得b=1,所以c=,則F1(-,0).根據雙曲線的定義知|MF2|=2a+|MF1|=|MF1|+6,所以|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+6=|EN|+|MN|+|MF1|+5|F1E|+5=+5=9,當且僅當F1,M,N,E共線時取等號,故選B.ba1322ab101022(

37、 10)(6) 3.(2019河北石家莊二中3月模擬,10)已知雙曲線C:-=1(b0),F1,F2分別為C的左、右焦點,過F2的直線l分別交C的左、右支于點A,B,且|AF1|=|BF1|,則|AB|=()A.4B.8C.16D.32216x22yb答案答案C由雙曲線定義知|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由于|AF1|=|BF1|,所以兩式相加可得|AF2|-|BF2|=4a,而|AB|=|AF2|-|BF2|,|AB|=4a,由雙曲線方程知a=4,|AB|=16,故選C.4.(2019豫東豫北十所名校第五次聯考,15)已知雙曲線E:-=1(a0,b0)的左、右焦

38、點分別為F1,F2,過點F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點.若ABF2的內切圓與邊AB,BF2,AF2分別相切于點M,N,P,且AP的長為4,則a的值為.22xa22yb答案答案2解析解析由題意知|BM|=|BN|,|F2P|=|F2N|,|AM|=|AP|,則|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,又|AF2|-|AF1|=2a,則|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|MA|+|AF1|-|NF2|=|MA|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.5.(2018河北名校名師俱樂部二調,15)已知F1、F2分別是

39、雙曲線x2-=1(b0)的左、右焦點,A是雙曲線上在第一象限內的點,若|AF2|=2且F1AF2=45,延長AF2交雙曲線的右支于點B,則F1AB的面積等于.22yb答案答案4解析解析由題意知a=1,由雙曲線定義知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由題意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,|BA|=|BF1|,BAF1為等腰三角形,F1AF2=45,ABF1=90,BAF1為等腰直角三角形.|BA|=|BF1|=|AF1|=4=2.=|BA|BF1|=22=4.222221F ABS1

40、212221.(2019河南鶴壁高中4月模擬,5)設F1,F2是雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點,P是雙曲線C右支上一點,若|PF1|+|PF2|=4a,且F1PF2=60,則雙曲線C的漸近線方程是()A.xy=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=022xa22yb3733考點二雙曲線的幾何性質考點二雙曲線的幾何性質答案答案 CF1,F2是雙曲線的左、右焦點,點P在雙曲線右支上,由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|=3a,|PF2|=a.在PF1F2中,由余弦定理的推論可得cos60=,即=,3a2=10a2-4c2,即4c

41、2=7a2,又知b2+a2=c2,=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,即x2y=0,故選C.222121212|2| |PFPFFFPFPF12222(3 )42 3aacaa22ba343232.(2019湖南長沙3月統一考試,6)已知F1,F2分別是雙曲線C:y2-x2=1的上、下焦點,P是其一條漸近線上的一點,且以F1F2為直徑的圓經過點P,則PF1F2的面積為()A.B.1C.D.2222答案答案 C設P(x0,y0),不妨設點P在雙曲線C的過一、三象限的漸近線x-y=0上,因此可得x0-y0=0.F1(0,),F2(0,-),所以|F1F2|=2,以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2

42、=2,又以F1F2為直徑的圓經過點P,所以+=2.由得|x0|=1,于是=|F1F2|x0|=21=,故選C.22220 x20y0022000,2xyxy1 2PFFS1212223.(2019湖南長沙雅禮中學第八次模擬,11)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點為F1、F2,在雙曲線上存在點P滿足2|+|,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.1e2B.e2C.1b0)的右焦點,A,B是雙曲線C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點,AFBF,且AF的中點在雙曲線C上,則C的離心率為()A.-1B.C.D.+122xa22yb53125123答案答案AF為雙曲線C:-=1(ab0)的右焦

43、點,F的坐標為(c,0).設A,B是雙曲線C的一條漸近線y=x上關于原點對稱的兩點,A(x00),B,=,=,AFBF,(x0-c)(-x0-c)+x0=0,-c2+=0,又a2+b2=c2,=c2,即=a2,x00,x0=a,點A的坐標為(a,b),AF的中點坐標為,又AF的中點在雙曲線C上,-=1,即-=1,(e+1)2=5,已知e1,e=-1,故選A.22xa22ybba00,bxxa00,bxxaFA00,bxcxaFB00,bxcxaba0bxa20 x22ba20 x22ca20 x20 x,22ac b222aca222bb2(1)4e1455.(2019福建福州3月聯考,10)

44、如圖,雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2作直線與C的漸近線交于P點,若等腰PF1F2的底邊PF2的長等于C的半焦距,則C的離心率為()A.B.C.D.22xa22yb2 33232 6332答案答案C依題意得,kOP=,在等腰PF1F2中,cosPF2F1=,所以|OP|2=c2+c2-2c2cosPF2F1=c2,所以|OP|=c,所以cosF2OP=,所以tanF2OP=,所以=,解得e=,故選C.ba222caa21e 212|2|PFF F22cc1432622|2|OPOF6415321e 1532 636.(2018河南4月適應性測試,9)已知F1、

45、F2分別是雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點,P是雙曲線上一點,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小內角為,則雙曲線的漸近線方程為()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb612222答案答案D不妨設P為雙曲線右支上一點,則|PF1|PF2|,由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因為所以PF1F2為最小內角,故PF1F2=.由余弦定理的推論,可得=,即(a-c)2=0,所以c=a,則b=a,所以雙曲線的漸近線方程為y=x,故選D.22 ,42 ,caaa6222(4 )(2

46、 )(2 )2 42acaac323322一、選擇題一、選擇題( (每題每題5 5分分, ,共共4040分分) )B組 20172019年高考模擬專題綜合題組(時間：45分鐘 分值：50分)1.(2019河南洛陽二模,8)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P(2,)在雙曲線上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數列,則該雙曲線的方程為()A.x2-y2=1B.-=1C.x2-=1D.-=122xa22yb322x23y23y216x24y答案答案A|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數列,|PF1|+|PF2|=4c.點P位于第一象限,|PF1|-|

47、PF2|=2a,|PF1|=2c+a,|PF2|=2c-a,cosPF2F1=,又點P(2,)在雙曲線上,sinPF2F1=,+=1,化簡得(c-2a)2+3=(2c-a)2,即c2-a2=b2=1,又-=1,a2=1,雙曲線的方程為x2-y2=1,故選A.2224(2)(2)4 (2)ccacacca22caca332ca222caca23(2)ca24a23b2.(2019安徽五校聯盟第二次質檢,4)-=4表示的曲線方程為()A.-=1(x-2)B.-=1(x2)C.-=1(y-2)D.-=1(y2)22(3)xy22(3)xy24x25y24x25y24y25x24y25x答案答案C的幾

48、何意義為點M(x,y)到點F1(0,3)的距離,的幾何意義為點M(x,y)到點F2(0,-3)的距離,則-=4表示點M(x,y)到點F1(0,3)的距離與到點F2(0,-3)的距離的差為4,且40,b0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上任一點,若的最小值為8a,則該雙曲線離心率e的取值范圍是()A.(0,2)B.(1,3C.2,3)D.3,+)22xa22yb212|PFPF答案答案B由雙曲線定義可知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|,=+|PF2|+4a2+4a=8a,當且僅當|PF2|=,即|PF2|=2a時,等號成立.的最小值為8a,|PF2|=2a,|PF1|=4

49、a.點P在雙曲線右支上,|PF1|+|PF2|F1F2|,當且僅當P1、F1、F2三點共線且點P為右頂點時等號成立,即6a2c,e3,又e1,e(1,3,故選B.知識拓展知識拓展點P是雙曲線-=1(a0,b0)右支上一點,F1,F2是左、右焦點,則有|PF2|min=c-a,|PF1|min=c+a.212|PFPF222(2|)|aPFPF222224|4 |aPFa PFPF224|aPF2224|aPFPF224|aPF212|PFPF22xa22yb4.(2019湖南衡陽二模,9)已知雙曲線E:-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,以坐標原點O為圓心,OF1的長為半徑作圓,

50、O與E在第一象限交于點P,若直線PF1的傾斜角為且sin2=,則雙曲線E的離心率為()A.B.C.2D.422xa22yb34243答案答案 C由題意知F1PF2=,即PF1F2為直角三角形,sin=,cos=,|PF2|=2csin,|PF1|=2ccos,由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a,即2ccos-2csin=2a,cos-sin=,兩邊平方得1-sin2=,e2=4,又知e1,e=2,故選C.22|2PFc1|2PFcac22ac21e5.(2019安徽宣城二模,10)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦分別為F1、F2,O為坐標原點,P是雙曲線在第一象限內的點,直

51、線PO交雙曲線C左支于點M,直線PF2交雙曲線C右支于點N,若|PF1|=2|PF2|,且MF2N=60,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=2x22xa22yb2222答案答案A連接F1M.點P是雙曲線C在第一象限內的點,|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,|PF1|=4a,|PF2|=2a,直線PO交雙曲線C左支于點M,由對稱性可知,|PO|=|OM|,又|OF1|=|OF2|,四邊形PF1MF2為平行四邊形,|MF2|=|PF1|=4a.在POF2中,由余弦定理得4a2=|PO|2+c2-2c|PO|cosBACPOF2,在POF1

52、中,由余弦定理得16a2=|PO|2+c2+2c|PO|cosPOF2,由+得20a2=2|PO|2+2c2,|PO|2=10a2-c2,即|PO|=,|PM|=2,又直線PF2交雙曲線C右支于點N,且MF2N=60,MF2P=120.在PMF2中,由余弦定理得4(10a2-c2)=4a2+16a2-22a4acos120,即c2=3a2,又知c2=a2+b2,a2+b2=3a2,=2,=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,故選A.2210ac2210ac22baba226.(2019湖南岳陽二模,11)設雙曲線C:-=1(a0,b0)的右焦點為F,O為坐標原點,若雙曲線及其漸近線上各存在一點Q,

53、P,使得四邊形OPFQ為矩形,則其離心率為()A.B.2C.D.22xa22yb356答案答案A如圖,作PHx軸于點H,設點P(xP,yP),易知OH=xP,PH=yP,OPHOFP,所以=,則xPOF=OP2xP=又由于點P在漸近線y=x上,因此有yP=xP=,即P.設點Q(xQ,yQ),由PQ的中點坐標為可知,xQ=c-=,yQ=-yP=-,即Q.將點Q的坐標代入雙曲線方程結合a2+b2=c2可得c2=3a2,即e=.思路分析思路分析根據題意,借助平面幾何知識求出點P的坐標,利用矩形對角線的性質及中點坐標公式求得點Q的坐標,將點Q的坐標代入雙曲線方程得a2與c2的關系式,從而求得離心率.O

54、HOPOPOF2OPOF2,acbabaabc2,aabcc,02c2ac2bcabc2,babcc37.(2018山西太原五中4月月考,11)已知F1、F2是雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點,過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A,與右支交于點B,若|AF1|=2a,F1AF2=,則=()A.1B.C.D.22xa22yb231 22AFFABFSS121323答案答案B如圖所示,由雙曲線定義可知|AF2|-|AF1|=2a.又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a,因為F1AF2=,所以=|AF1|AF2|sinF1AF2=2a4a=2a2.設|BF2|=m,由雙曲線定義可知|BF1|

55、-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又知|BF1|=2a+|BA|,所以|BA|=|BF2|.又知BAF2=,所以BAF2為等邊三角形,邊長為4a,所以=|AB|2=(4a)2=4a2,所以=,故選B.231 2AFFS121232332ABFS343431 22AFFABFSS222 34 3aa12思路分析思路分析利用雙曲線定義及|AF1|=2a求得|AF2|,從而利用三角形面積公式求出;在BF1F2中,利用雙曲線定義得|BA|=|BF2|,從而得ABF2為等邊三角形,進一步可求得,最后得面1 2AFFS2ABFS積的比值.解題關鍵解題關鍵利用雙曲線定義得|BF1|-|BF2|=2a,進而結合|BF1|=2a+|BA|得出|BA|=|BF2|是求解本題的關鍵.8.(2017福建福州3月質檢,11)已知雙曲線E:-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1、F2,|F1F2|=6,P是E右支上的一點,PF1與y軸交于點A,PAF2的內切