1、八年級數學提優練習題參考答案與試題解析一 選擇題（共7小題）1 已知如圖等腰 ABC，AB=AC，/ BAC=120 ° AD丄BC于點D，點P是BA延長線上一點，點 0是線段 AD 上一點，OP=OC，下面的結論： / APO+ / DCO=30 ° OPC是等邊三角形； AC=AO+AP ;SABC=S 四邊形AOCP.其中正確的有（）個.A .B.C.D .考點：等腰三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質. 分析： 利用等邊對等角，即可證得：/APO= / ABO ,Z DCO= / DBO，貝U/ APO+ / DCO= / ABO+ /

2、 DBO= / ABD，據此即可求解； 證明/ POC=60。且OP=OC，即可證得 OPC是等邊三角形； 首先證明 OPABA CPE，貝U AO=CE , AC=AE+CE=AO+AP . 過點C作CH丄AB于H，根據S四邊形aocp=S acp+S aoc，利用三角形的面積公式即可求解. 解答：解：連接0B,/ AB=AC , AD 丄 BC , BD=CD，/ BAD=2 / BAC=2 XI20 °60 °2 2 OB=OC，/ ABC=90 °-Z BAD=30 °/ OP=OC, OB=OC=OP , / APO= / ABO，/ DCO=

3、 / DBO , / APO+ / DCO= / ABO+ / DBO= / ABD=30 ° 故正確；/ APC+ / DCP+ / PBC=180 ° / APC+ / DCP=150 ° / APO+ / DCO=30 ° / OPC+ / OCP=120 ° / POC=180°-(Z OPC+ / OCP) =60° °/ OP=OC , OPC是等邊三角形；故正確；在AC上截取 AE=PA ,/ PAE=180°-Z BAC=60 ° APE是等邊三角形， / PEA= / APE=

4、60 ° PE=PA , / APO+ / OPE=60 °/ OPE+ / CPE=Z CPO=60 ° / APO= / CPE ,/ OP=CP ,在厶OPA和厶CPE中，Pa二 pe-ZAP0=ZCPE，LOP=CP OPAA CPE ( SAS), AO=CE , AC=AE+CE=AO+AP ;故正確；過點C作CH丄AB于H ,/ PAC=Z DAC=60 ° AD 丄 BC , CH=CD,- Saabc=AB?CH,:S 四邊形 AOCP=SAacp+Saaoc=AP?CH+OA?CD=AP?CH+ OA?CH=CH? (AP+OA )

5、=CH?AC ,2 2 2 2 2 2-SAABC =S 四邊形 AOCP；故正確.點評：本題考查了等腰 三角形的判定與性質，關鍵是正確作出輔助線.2.如圖，四邊形 ABCD是直角梯形，AB / CD , AD丄AB，點P是腰AD上的一個動點，要使 PC+PB最小，則點 P應該滿足（）A . PB=PCB . PA=PDC . / BPC=90 °D . / APB= / DPC考點：軸對稱-最短路線問題；直角梯形.專題：壓軸題；動點型.分析：首先根據軸對稱的知識，可知P點的位置是連接點 B和點C關于AD的對稱點E與AD的交點，利用軸對稱和對頂角相等的性質可得.解答： 解：如圖，作點

6、 C關于AD的對稱點E,連接BE交AD于P,連接CP. 根據軸對稱的性質，得/ DPC= / EPD,根據對頂角相等知/ APB= / EPD,所以/ APB= / DPC .故選D.BG - AC=CE Sa bdg -cde=Saabc其中總是成立的是(A .)B.C .D .AB點評： 此題的關鍵是應知點 P是怎樣確定的要找直線上一個點和直線同側的兩個點的距離之和最小，則需要利 用軸對稱的性質進行確定.3.如圖， ABC是等腰直角三角形， DEF是一個含30°角的直角三角形，將 D放在BC的中點上，轉動 DEF ,DE, DF分別交AC , BA的延長線于E, G,則下列結論:

7、AG=CE DG=DE考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質.專題：;開放型.分析：j連DA，由厶ABC是等腰直角三角形，D點為BC的中點，根據等腰直角三角形的性質得 AD丄BC, AD=DC， / ACD= / CAD=45 °,得到/ GAD= / ECD=135 °,由/ EDF=90 °,根據同角的余角相等得到/ 仁/ 2，所以 DAGDCE，AG=EC，DG=DE，由此可分別判斷.解答：/解:連DA，如圖， ABC是等腰直角三角形，D點為BC的中點， AD 丄 BC，AD=DC，/ ACD= / CAD=45 °/ GAD= / ECD=13

8、5 °又DEF是一個含30°角的直角三角形，/ EDF=90 °/ 1 = / 2，DAG DCE， AG=EC，DG=DE，所以 正確；/ AB=AC， BG - AC=BG - AB=AG=EC，所以正確； Sa bdg - Sa CDE=Sa bdg - SaADG=SaADB=£sABC 所以 正確. 故選B .£點評：:丿本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應 點到旋轉中心的距離相等也考查了等腰直三角形的性質，特別是斜邊上的中線垂直斜邊并且等于斜邊的 半.4.如圖： ABC 中，/

9、 ACB=90 ° / CAD=30 ° AC=BC=AD , CE 丄 CD，且 CE=CD，連接 BD , DE, BE,則下 列結論： / ECA=165 ° BE=BC ;AD丄BE; 0=1 .其中正確的是（）BDA . B .C .D . 考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形.分析： 根據：/ CAD=30 ° AC=BC=AD，禾U用等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出/ECA=165 °從而得證結論正確； 根據CE丄CD，/ ECA=165 °利用SAS求證

10、 ACD BCE即可得出結論； 根據/ ACB=90 ° / CAD=30 ° , AC=BC ,利用等腰三角形的性質和 ACD BCE ,求出/ CBE=30 ° ,然后即可得出結論； 過D作DM丄AC于M,過D作DN丄BC于N .由/ CAD=30 °可得CM=丄AC ,求證 CMD CND ,2可得CN=CM= >!aC= 2bc ,從而得出CN=BN .然后即可得出結論. 2 2解答：-解：/ CAD=30 ° ° AC=BC=AD , /-Z ACD= / ADC=三（180°- 30° =75&#

11、176; °2/ CE丄CD, /.Z DCE=90 ° ,Z ECA=165 ° 正確； / CE 丄 CD , Z ECA=165 ° （已證）， Z BAE= Z ECA -Z ACB=165 - 90=75 ° ,ACD BCE （ SAS）, BE=BC , 正確； tZ ACB=90 ° , Z CAD=30 ° , AC=BC , Z CAB= Z ACB=45 ° Z BAD= Z BAC -Z CAD=45 - 30=15 °/ ACD BCE, Z CBE=30 ° , Z

12、ABF=45+30=75 ° , Z AFB=180 - 15 - 75=90 ° AD 丄BE . 證明：如圖，過D作DM丄AC于M，過D作DN丄BC于N ./ CAD=30 ° 且 DM=丄AC ,2/ AC=AD，/ CAD=30 ° ACD=75 °/ NCD=90 °-Z ACD=15 ° / MDC= / DMC -/ ACD=15 ° CMD CND , CN=CM= 4C=BC ,2 2 CN=BN ./ DN 丄 BC , BD=CD . 正確.所以4個結論都正確.故選D.點評：此題主要考查等腰直

13、角三角形，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，含 角形等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題.30度角的直角三A . B .C .D . 5.如圖，BC / AM，/ A=90 ° / BCD=75 °點E在AB上， CDE為等邊三角形， BM交 CD于F,下列結論:/ ADE=45 ° AB=BC ,EF丄CD ,若/ AMB=30 °則CF=DF .其中正確的有（）考點：直角梯形；等邊三角形的性質；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析： 由BC / AM得/ CDA=105 °根據等邊三角形的性質得/CDE

14、=60 °則/ EDA=105 ° -60°45 °過C作CG 丄 AM，則四邊形 ABCG 為矩形，于是/ DCG=90。-/ BCD=15 ° 而/ BCE=75 ° - 60°=15 ° 易證得 Rt CBE 也 Rt CGD，貝U BC=CG，得到 AB=BC ;由于 AG=BC，而 AG 和D，貝U CF: FD=BC : MD 鬥，不 能得到F點是CD的中點，根據等邊三角形的性質則不能得到EF丄CD ;若/ AMB=30 °則/ CBF=30 °在Rt AMB中根據含30度的直角三角

15、形三邊的關系得到BM=2AB，貝U BM=2BC ,易得/ BFC=75 ° 所以 BF=BC，得 MF=BF，由 CB / AM 得 CF: FD=BF : MF=1，即可有 CF=DF .解答：解：T BC / AM ,/ BCD+ / CDA=180 °/ BCD=75 °/ CDA=105 ° CDE為等邊三角形，/ CDE=60 °/ EDA=105 ° - 60°45 ° 所以 正確;過C作CG丄AM，如圖，/ A=90 °四邊形ABCG為矩形，/ DCG=90 °-Z BCD=15

16、 °而厶CDE為等邊三角形，/ DCE=60 ° CE=CD ,/ BCE=75 ° -60°=15 ° Rt CBE也 Rt CGD , BC=CG, AB=BC，所以正確；/ AG=BC，而 AG 和D , CF: FD=BC : MD 為, F點不是CD的中點， EF不垂直CD，所以錯誤；若/ AMB=30 ° 則/ CBF=30 °在 Rt AMB 中，BM=2AB , BM=2BC ,/ BCD=75 ° / BFC=180 ° - 30° - 75 °75 ° B

17、F=BC , MF=BF ,而 CB / AM , CF: FD=BF : MF=1 , CF=FD，所以正確.點評：本題考查了直角梯形的性質：有一組對邊平行，另一組對邊不平行，且有一個直角也考查了矩形和等邊 三角形的性質、含 30度的直角三角形三邊的關系以及相似三角形的判定與性質.6. 如圖，在 ABC中，AB=AC，/ BAC=90 °直角/ EPF的頂點 P是BC的中點，兩邊 PE、PF分別交 AB、AC 于點E、F,連接EF交AP于G .給出四個結論： AE=CF ;EF=AP ; EPF是等腰直角三角形；/ AEP= / AGF .其中正確的結論有（）AB P CA . 1

18、個B . 2個C . 3個D . 4個考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形.分析： 根據等腰直角三角形的性質得：AP丄BC, AP=BC,AP平分/ BAC .所以可證/ C= / EAP； / FPC= / EPA； AP=PC .即證得 APE與厶CPF全等.根據全等三角形性質判斷結論是否正確.解答： 解：T AB=AC，/ BAC=90 °直角/ EPF的頂點P是BC的中點， AP 丄 BC , AP=?BC=PC,/ BAP= / CAP=45 ° / C.2/ APF+ / FPC=90° / APF+ / APE=90 °/ FPC=

19、Z EPA. APE CPF (ASA ).AE=CF ;EP=PF，即 EPF是等腰直角三角形； ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點， ap=2bc,2 EF不是 ABC的中位線， EF祺P，故錯誤；/ AGF= / EGP=180 °-Z APE -Z PEF=180。-/ APE - 45°,/ AEP=180 °-Z APE -Z EAP=180 °-Z APE - 45°, Z AEP= Z AGF .故正確的有、，共三個.因此選C.點評：此題考查全等三角形的判定和性質，綜合性較強.7. 如圖，AM、BE是厶ABC的角平分線，AM

20、 交BE于N , AL丄BE于F交BC于L,若Z ABC=2 Z C,下列結論:BE=EC ;BF=AE+EF ;AC=BM+BL ;Z MAL=丄Z ABC，其中正確的結論是()4AA .B .C .D .考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質.分析：根據角平分線定義求出Z ABE= Z EBC= Z C,根據等角對等邊求出 BE=CE，即可判斷 ；2 2 2 2 2 2 2證厶ABE ACB ,推出AB =AE >AC ,求出AF =AB - BF =AE - EF ,把AB =AE代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判斷；延長 AB到N，使BN=BM ,連接MN

21、,證厶AMC AMN , AFB BLF ,推出AB=BL ,即可判斷； 設Z LAC=x ° , Z LAM=y ° 則Z BAM= Z MAC= (x+y) ° ,證厶 AFB BLF 推出 Z BAF= Z BLF ,Z BAF= Z BAM+ Z MAL=x °+y °+y ° Z BLA= Z C+ Z LAC= Z C+x °得出方程 x°+y °+y ° Z C+x ° 求出 Z C=2y ° , Z ABC=4y ° ,即可判斷.解答：解：T BE是

22、Z ABC的角平分線, Z EBC= Z ABE=丄 Z ABC ,2tZ ABC=2 Z C , Z ABE= Z EBC= Z C , BE=EC , 正確；tZ ABE= Z ACB , Z BAC= Z EAB ABE ACB ,塑=塑 AB 衛，2 AB =AE >AC , 在 Rt AFB 與 Rt AFE 中，由勾股定理得：AF2=AB2- BF2=AE2- EF2,2把AB =AE >AC代入入上式得：2 2 AE >AC - BF =AE - EF ,小222222貝V BF =AC >AE - AE +EF =AE X (AC - AE ) +EF

23、=AE XEC+EF =AE XBE+EF , oo即(BE - EF) =AE XBE+EF ,2 2 2 BE2 - 2BE 疋F+EF2=AE >BE+EF，2 BE - 2BE 疋F=AE >BE , BE - 2EF=AE ,BE - EF=AE+EF ,即BF=AE+EF ,正確；延長AB到N 使BN=BM，連接MN 則 BMN為等腰三角形， / BN M= / BMN : BN M 的一個外角/ ABC= / BN M+ / BM N=2 / BN M ,則/ BN M= / ACB ,在厶AMC與厶AMN '中Zmac=Zman'' Zc=Z

24、n" ，M二馴 AMC AMN ' (AAS ), AN =AC=AB+BN =AB+BM ,又 AL 丄 BE , / AFB= / LFB=90 °在厶AFB與厶LFB中，rZAFB=ZLFB-BF二BF,lZABF=ZLBF AFB BLF (ASA ), AB=BL ,貝U AN =AC=AB+BN =AB+BM=BM+BL ，即 AC=BM+BL ，正確； 設/ LAC=x ° / LAM=y °/ AM 平分/ BAC , / BAM= / MAC= ( x+y) °/ AFB BLF , / BAF= / BLF ,/ B

25、AF= / BAM+ / MAL=x °y °y ° / BLA= / C+Z LAC= / C+x ° x+y +y =Z C+x ,Z C=2y°,vZ ABC=2 Z C, Z ABC=4y °即 Z MAL= Z ABC ,4正確.故選c .點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質和判定，角平分線性質，相似三角形的性質和判定等知識點的綜合運用.二解答題(共8小題)&如圖，在 ABC中，AB=AC , E在線段AC上，D在AB的延長線，連 DE交BC于F,過點E作EG丄BC于G (1) 若/ A=50 ° /

26、 D=30 ° 求/ GEF 的度數；(2) 若 BD=CE，求證：FG=BF+CG 考點：等腰三角形的性質；全等三角形的判定與性質.專題：證明題.分析：(1) 根據等腰三角形兩底角相等求出/C,再根據直角三角形兩銳角互余求出/CEG，然后根據三角形的個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出/CEF，然后計算即可得解；(2) 過點E作EH / AB交BC于H,根據兩直線平行，同位角相等可得/ABC= / EHC，內錯角相等可得Z D= / FEH，然后求出/ EHC= / C,再根據等角對等邊可得 EC=EH，然后求出BD=EH，再利用 角角邊” 證明 BDF和 HEF全等，根據全等三

27、角形對應邊相等可得BF=FH ,根據等腰三角形三線合一的性質可得CG=HG，即可得證.解答：(1)解：/ A=50 °Z C=2 (180O-Z A)=丄(180。 50° =65° 2 2/ EG 丄 BC , Z CEG=90 °-Z C=90。- 65°25 °Z A=50 ° Z D=30 ° Z CEF= Z A+ Z D=50 °+30 °80 ° ° Z GEF= Z CEF -Z CEG=80。- 25°=55 °(2)證明：過點 E作EH

28、 / AB交BC于H , 則/ ABC= / EHC,/ D= / FEH ,/ AB=AC ,/ ABC= / C,/ EHC= / C, EC=EH,/ BD=CE , BD=EH ,在厶BDF和厶HEF中，Nd 二/FEH' ZEFH=ZDFB ,lbd=eh BDF HEF ( AAS ), BF=FH ,又 EC=EH , EG 丄 BC , CG=HG, FG=FH+HG=BF+CG .點評：本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質，等 角對等邊的性質，(2)作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵.29.如圖，直角坐標系中，點B

29、(a,0),點C(0,b),點A在第一象限.若a, b滿足(a-t)+|b-t|=0(t> 0).(1) 證明：OB=OC ;(2) 如圖1,連接AB，過A作AD丄AB交y軸于D，在射線 AD上截取AE=AB，連接CE , F是CE的中點，連 接AF , OA，當點A在第一象限內運動(AD不過點C)時，證明：/ OAF的大小不變；(3) 如圖2, B 與 B關于y軸對稱，M在線段BC 上, N在CB 的延長線上，且BM=NB 連接MN交x軸于點T, 過T作TQ丄MN交y軸于點考點：全等三角形的判定與性質；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：偶次方；坐標與圖形性質；等腰直角 三角形.分析：

30、 (1)根據a=t, b=t，推出a=b即可；(2) 延長 AF 至 T,使 TF=AF，連接 TC, 丁0,證厶TCF AEF，推出 CT=AE，/ TCF= / AEF，再證 TCO ABO，推出TO=AO，/ TOC= / AOB，求出 TAO為等腰直角三角形即可；(3) 連接 MQ，NQ，BQ，B 'Q,過 M 作 MH / CN 交 x 軸于 H，證 NTB 噬 MTH，推出 TN=MT，證 NQB MQB，推出/ NB 'Q=/CBQ，求出 BQB是等腰直角三角形即可. 解答：(1)解： a, b 滿足(a- t) 2+|b - t|=0 (t> 0). a-

31、 t=0 , b- t=0,a=t, b=t, a=b, B (t, 0),點 C ( 0, t) OB=OC ;(2)證明：延長 AF至T,使TF=AF，連接TC, TO, F為CE中點， CF=EF,在厶TCF和厶AEF中'CF-EF-ZCFT=ZEFAFT二 AF TCF AEF ( SAS), CT=AE，/ TCF= / AEF , TC / AD , / TCD= / CDA ,/ AB=AE , TC=AB ,/ AD 丄 AB , OB 丄 OC , / COB= / BAD=90 ° / ABO+ / ADO=180 ° °/ ADO+

32、/ ADC=180 ° ° / ADC= / ABC ,/ TCD= / CDA , / TCD= / ABO ,在厶TCO和厶ABO中TC 二 AB-ZTCOZABOlOC=OB TCO ABO ( SAS), TO=AO , / TOC= / AOB ,/ AOB+ / AOC=90 ° ° / TOC+ / AOC=90 ° TAO為等腰直角三角形， / OAF=45 °(3)解：連接 MQ , NQ, BQ, B 'Q ,過 M 作 MH / CN 交 x 軸于 H , B和B關于關于y軸對稱，C在y軸上， CB=CB

33、 / CBB = / CBB ,/ MH / CN , / MHB= / CBB ,/ MHB= / CBB :.MH=BM ,/ BM=B 'N, MH=B N,/ MH / CN,/ NB T= / MHT ,在 NTB和 MTH中 2肘 tZmht u ZB; TNZJITHE N=MH NTB '也 MTH , TN=MT，又 TQ丄MN , MQ=NQ ,/ CQ垂直平分BB BQ=B Q,在NQB和厶MQB中® N=BM-B7 Q=BQtNQ=MQ NQB J MQB ( SSS), / NB Q= / CBQ ,而/ NB 'Q+ / CB Q=

34、180 ° / CBQ+ / CB Q=180 ° / B 'CB+ / B QB=180 °, 又/ B CB=90 ° / B QB=90 ° BQB是等腰直角三角形， OQ=OB=t , Q (0, t).點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質和判 定，相等垂直平分線，偶次方，絕對值等知識點的綜合運用.10. 如圖1,在平面直角坐標系中，點A (4, 4),點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形obac=16 .(1) Z COA 的值為 45°(2) 求/

35、CAB的度數；(3) 如圖2,點M、N分別是x軸正半軸及射線 OA上一點，且 OH丄MN的延長線于 H，滿足/ HON= / NMO , 請探究兩條線段MN、OH之間的數量關系，并給出證明.考點：全等三角形的判定與性質；坐標與圖形性質.分木析：一'(1) 過A作AN丄OC于N , AM丄OB于M，得出正方形 NOMA，根據正方形性質求出/ COA= / COB ,代入求出即可；(2) 求出 CN=BM，證 ANC AMB，推出/ NAC= / MAB，求出/ CAB= / NAM，即可求出答案;(3) 求出/ HON= / NMO=22.5 °,延長 OH至點P使PH=OH，

36、連接 MP交OA于L,求出/ HON= / NMO= / LMN，求出 OL=ML，證 OLP MLN，推出 MN=OP，即可得出答案. 解答： 解：(1 )過A作AN丄OC于N , AM丄OB于M ,則/ ANO= / AMO= / COB=90 °A (4, 4),/ AN=AM=4 ,四邊形NOMA是正方形，/ COA=2/ COB=2 >90°=45°.2 2故答案為：45°(2)v四邊形 NOMA是正方形， AM=AN=4 , OM=ON=4 , 2°c >an+ 2°b >AM=16 , OC+OB=8=

37、ON+OM , 即 ON OC=OB - OM , CN=BM ,在厶ANC和 AMB中，AN二 All' ZANC-ZAMB ,L NC=MB ANC AMB (SAS),/ NAC= / MAB ,/ CAB= / CAM+ / MAB= / NAM=360 ° - 90° - 90°- 90°90 ° 即/ CAB=90 °(3) MN=20H ,證明：在 Rt OMH 中，/ HON+ / NMO+ / NOM=90 °又/ NOM=45 ° / HON= / NMO ,/ HON= / NMO=2

38、2.5 °延長OH至點P使PH=OH，連接 MP交OA于L , OM=MP，/ OMP=2 / OMN=45 °/ HON= / NMO= / LMN ,/ OLM=90 ° / PLO, OL=ML ,在厶OLP和厶MLN中，'Zplo-Zwlm' OL 二 UIlZPOL=ZLMW=22. 5& OLP MLN (ASA ), MN=OP ,/ OP=2HO , MN=2HO .點評:本題考查了坐標與圖形性質，等腰三角形的性質和判定，正方形的性質和判定，全等三角形的性質和判定 等知識點的應用，題目綜合性比較強，有一定的難度.211. 如

39、圖，已知 A (a, b), AB丄y軸于B，且滿足需刁+ ( b- 2) =0,(2) 分別以AB , AO為邊作等邊三角形 ABC和厶AOD，如圖1試判定線段AC和DC的數量關系和位置關系.FG 值是否發生變化？如果不變，請說明理由并求其值；如果變化，請說明理由.(3) 如圖2過A作AE丄x軸于E, F, G分別為線段 OE, AE上的兩個動點，滿足/ FBG=45 °試探究°時帕 的考點：全等三角形的判定與性質；非負數的性質：偶次方；非負數的性質：算術平方根；坐標與圖形性質；等邊 三角形的性質.專題：扌探究型.分析：L(1) 根據二次根式以及偶次方都是非負數，兩個非負

40、數的和是0 ,則每個數一定冋時等于 0 ,即可求解；(2) 連接OC,只要證明OC是Z AOD的角平分線即可判斷 AC=CD ,求出Z ACD的度數即可判斷位置關 系;(3) 延長GA至點M ,使AM=OF ,連接BM ,由全等三角形的判定定理得出 BAM BOF , FBG MBG ,故可得出 FG=GM=AG+OF ,由此即可得出結論.解答：解：(1)根據題意得：a- 2=0且b - 2=0, 解得：a=2, b=2 ,則A的坐標是(2, 2);(2) AC=CD，且 AC 丄 CD . 如圖1，連接OC, CD , A的坐標是(2, 2), AB=OB=2 , ABC是等邊三角形，/ O

41、BC=30 ° OB=BC ,/ BOC= / BCO=75 °在直角 ABO 中，/ BOA=45 °/ AOC= / BOC -Z BOA=75 ° - 45°=30 ° OAD是等邊三角形， Z DOC= Z AOC=30 ° °即OC是Z AOD的角平分線， OCX AD，且 OC 平分 AD , AC=DC , Z ACO= Z DCO=60 °+75°=135 ° Z ACD=360。- 135°- 135°=90° , AC 丄 CD,故 A

42、C=CD ,且 AC 丄 CD .(3)不變.延長GA至點M，使AM=OF，連接BM ,在 BAM與厶BOF中，rAB=OB' ZBAM=ZBOF ,剛二OF BAM BOF (SAS),/ ABM= / OBF , BF=BM ,/ OBF+ / ABG=90。-/ FBG=45 ° °/ MBG=45 °,在 FBG與厶MBG中，rBH=BF-ZMBG=ZFBG ,L BG 二 BG FBG MBG ( SAS), FG=GM=AG+OF ,FG點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質，涉及到非負數的性質及等邊三角形的性質等知識，難度適中.12. （2

43、013?日照）問題背景:如圖（a）,點A、B在直線I的同側，要在直線I上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于I的對稱點B連接A B與直線l交于點C,則點C即為所求.DC(b)BCc)（1）實踐運用：如圖（b）,已知，O O的直徑CD為4，點A在O O上，/ ACD=30 ° B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點， 則BP+AP的最小值為（2）知識拓展：如圖（c）,在Rt ABC中，AB=10 ,Z BAC=45 ° / BAC的平分線交 BC于點D , E、F分別是線段 AD和AB上 的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.考點：軸對稱-最短路

44、線問題.分析：（1）找點A或點B關于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置根據題意先求出/ C'AE，再根據勾股定理求出 AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊 AC上截取AB丄AB，連結BB '，再過點B作B'F丄AB，垂足為F,交AD于E,連結BE, 貝熾段B F的長即為所求.解答： 解：（1）作點B關于CD的對稱點E,連接AE交CD于點P此時PA+PB最小，且等于 AE .作直徑AC',連接C E.根據垂徑定理得弧 BD=弧DE ./ ACD=30 °/ AOD=60 ° / DOE=3

45、0 °/ AOE=90 °/ C'AE=45 °又AC'為圓的直徑，/ AEC =90°,/ C'=Z CAE=45 ° C E=AE=即AP+BP的最小值是 2匚.故答案為：2匚；（2）如圖，在斜邊 AC上截取AB =AB，連結BB/ AD 平分/ BAC ,點B與點B '關于直線AD對稱.過點B作B 'F丄AB，垂足為F,交AD于E,連結BE , 則線段B 'F的長即為所求.（點到直線的距離最短）在 Rt AFB '中，/ BAC=45 ° AB '=AB=10 ,

46、B 'F=AB ' Sin45 °AB ?sin45°=10 BE+EF的最小值為.T.p BP位置是點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數關系等知識，根據已知得出對應點 解題關鍵.13. （2013?六盤水）（1 ）觀察發現如圖（1）:若點A、B在直線m同側，在直線 m上找一點P,使AP+BP的值最小，做法如下:作點B關于直線m的對稱點B',連接AB與直線m的交點就是所求的點 P,線段AB的長度即為AP+BP的 最小值.如圖(2):在等邊三角形 ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在 AD上找一點 P,使BP+PE

47、的值 最小，做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點 C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點 P,故BP+PE的最小值 為_(2 )實踐運用如圖(3):已知O O的直徑CD為2, AC的度數為60°點B是的中點，在直徑CD上作出點P,使BP+AP的值最小，則 BP+AP的值最小，則 BP+AP的最小值為 _ 匚圖(3)拓展延伸如圖(4):點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊 AB、BC上作出點M,點N，使PM+PN+MN的值最小，保留 作圖痕跡，不寫作法.圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題.壓軸題.(1) 觀察發現：利用作法得到 CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點

48、E是AB的中點，根據等邊三角 形的性質得到 CE丄AB，/ BCE= / BCA=30 ° BE=1，再根據含30度的直角三角形三邊的關系得 CE=;2(2) 實踐運用：過 B點作弦BE丄CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB,根據垂徑定理 得到CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值；由于奩的度數為60°點B是疋的中點得到/ BOC=30 ° / AOC=60 °所以/ AOE=60 °+30 °90 °于是可判斷 OAE為等腰直角三角形，貝U AE=*：OA="：

49、-(3) 拓展延伸：分別作出點P關于AB和BC的對稱點E和F ,然后連結EF, EF交AB于M、交BC于N .解答:解：(1 )觀察發現如圖(2) , CE的長為BP+PE的最小值,在等邊三角形 ABC中，AB=2，點E是AB的中點 CE丄 AB，/ BCE=/ BCA=30 ° BE=1 ,2 CE= _BE= >故答案為二；(2)實踐運用如圖(3),過B點作弦BE丄CD，連結AE交CD于P點，連結 OB、OE、OA、PB,/ BE 丄 CD , CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱,-AC的度數為60°點B是AC的中點,/ BOC=30 ° / AOC

50、=60 °/ EOC=30 °/ AOE=60 °30 °90 °/ OA=OE=1 , AE=匚 0A=匚， AE的長就是BP+AP的最小值.故答案為匚；(3) 拓展延伸 如圖(4).點評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關系以及圓周角定理在有關圓的幾何證明中經常用到，同 時熟練掌握等邊三角形的性質以及軸對稱-最短路徑問題.14. (2013?撫順)在 Rt ABC中，/ ACB=90 ° / A=30 °點D是AB的中點，DE丄BC ,垂足為點 E，連接CD .(1) 如圖1, DE與BC的數量關系是DE= B

51、C ;2(2) 如圖2,若P是線段CB上一動點(點P不與點B、C重合)，連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉60° 得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數量關系，并證明你的結論；(3) 若點P是線段CB延長線上一動點，按照(2)中的作法，請在圖 3中補全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三 者之間的數量關系.§2E 3考點：1全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形.分析：(1) 由/ ACB=90 ° / A=30。得到/ B=60 °根據直角三角形斜邊上中線性質得到DB=DC，則可判斷 DCB 為等邊三

52、角形，由于 DE丄BC，DE=BC;(2) 根據旋轉的性質得到/ PDF=60 ° DP=DF，易得/ CDP= / BDF，則可根據 SAS”可判斷 DCPDBF，貝U CP=BF，禾U用 CP=BC - BP, DE=yi?BC 可得至U BF+BP=Z1dE ;23(3)與(2)的證明方法一樣得到 DCP DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，貝U BF - BP=BC ,所以BF -bp=Z!de .3解答： 解：(1 )./ ACB=90 ° / A=30 °/ B=60 °點D是AB的中點， DB=DC , DCB為等邊三角形，/ DE 丄 BC , DE=BC ;2故答案為de=M!bc .2(2) BF+BP=DE .理由如下：3線段DP繞點D逆時針旋轉60°得到線段DF , / PDF=60 ° DP=DF ,而/ CDB=60 ° / CDB -Z PDB= / PDF -/ PDB, / CDP= Z BDF ,在厶DCP和厶DBF中rDC=DB' ZCDP=ZBDF ,