1、第四章 整環里的因式分解§1. 素元、唯一分解    本講中, 總假定 為整環, 為 的商域.1. 整除定義1 設為整環, , 如果存在, 使得則稱 整除 , 記作 ; 并稱 是 的一個因子, 是 的倍元.· 整環中的整除概念是整數環中整除概念的推廣, 因此有許多與整數的整除相類似的性質. · 整除有下列常用的性質:     (1) 如果 , , 則 ;    (2) 如果 , , , 則 .  2.相伴 定義2 整環的一個元叫做的一個

2、單位，假如是一個有逆元的元。元叫做元的相伴元，假如是和一個單位的乘積：定理兩個單位的乘積也是一個單位.單位的逆元也是一個單位.例因為整數環的單位僅有與-，故任一非零元有個相伴元：與.例有四個單位，-，i,-i,所以任一非零元，有四個相伴元：定義3單位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若還有別的因子，則稱為的真因子.素元定義4 設為整環，且既非零也非單位，如果只有平凡因子，則稱為一個素元.定理單位與素元的乘積也是一個素元.定理整環中一個非零元有真因子的充分且必要條件是：，這里，都不是單位.推論設，并且有真因子：.則也是的真因子.定義5我們稱一個整環的元在中有唯一分解，如果以下條件被滿足：(i) (為

3、的素元)(ii) 若同時有（為的素元）則有，并且可以調換的次序，使得（為的單位）整環的零元和單位不能有唯一的分解.所以唯一分解問題研究的對象只能是非零也非單位的元.例給整環.那么有：(1)的單位只有.(2)適合條件的元一定是素元.首先 ，；又由(1),也不是單位.設為的因子：那么但不管，是何整數，或若，則是單位.若，則而為單位.因而是的相伴元.從而只有平凡因子，故是素元.(3)沒有唯一分解：我們有(A) ,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是的相伴元，因而給出了的兩種不同分解從而沒有唯一分解.這說明并不是任意整環中的非零和非單位的元都有唯一分解. $2.

4、唯一分解環定理一個唯一分解環有以下性質：若一個素元能夠整除，則有整除或.定理做定整環有如下性質：(i)的每一個非零非單位的元都有一個分解.（為的素元）(ii)的一個素元若能夠整除，則有整除或，則一定是一個唯一分解環.定義6元叫做的公因子，如果.定理一個唯一分解環的兩個元和在里一定有最大公因子.和的兩個最大公因子和只能差一個單位因子：（是單位).推論一個唯一分解環的個元在里一定有最大公因子.的兩個最大公因子只能差一個單位因子.定義一個唯一分解環的元稱為互素的，如果它們的最大公因子是單位.$3. 主理想環引理設是一個主理想環.若在序列里的每一個元是前一個元的真因子，那么這個序列一定是一個有限序列.

5、引理設是一個主理想環，那么的任一素元生成一個最大理想.定理一個主理想環是一個唯一分解環.證：我們證明是一個唯一分解環.設且不是零也不是單位.若不能寫成有限個元的乘積，則不是一個素元，所以由$.的推論，都是的真因子.的這兩個真因子中至少有一個不能寫成素元的乘積，否則就是素元的乘積而與假設矛盾.于是有這樣的結論；若沒有分解，則一定有一個真因子也沒有分解.這樣，在沒有分解的假設之下，就得到一個無窮序列在此序列中每一個元都是前一個元的真因子.依照引理，這是不可能的，所以一定有分解.即滿足$.定理中的條件(i).又設的素元能整除的元乘積，那么這就是說在剩余類環里，所代表的類與o所代表的類相同：由引理，是

6、最大理想，因而由$.的定理，是一個域.因為域沒有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或從而或，故也滿足$.定理的條件(iii).因而是一個唯一分解環.$4. 歐氏環定義一個整環叫做一個歐氏環，如果(i)有一個從的非零元所作成的集合到全體非負整數作成的集合的映射存在；(ii)任意給定的一個非零元，的任何元都可以寫成的形式，這里有或例整數環是一個歐氏環.因為：定理是一個適合條件(i)的映射并且任意給定整數，則任何整數都可寫成這里或上面定義中的映射稱為歐氏映射. 定理    每一個歐幾里德環都是主理想整環, 因而也是唯一分解環.證明 設 為歐幾里德環

7、 的任一理想, 為歐氏映射.    (1) 如果 , 則 .    (2) 如果 , 令則 非空, 且 . 設 , 使得 為 中的最小數, 下證 .    任給 , 因為 , 所以存在 , 使得 . 于是, .    如果 , 則 , 與 的選取矛盾. 所以, , 則 , 于是 . 由 的任意性可知 . 又 , 所以 , 從而 .    這就證明了, 的任一理想都是主理想, 故 為主理想整環.定理

8、整數環是主理想，因而是唯一分解環.定理一個域上的一元多項式是一個歐氏環.因而是一個唯一分解環. $. 多項式環的因子分解本章討論唯一分解環上的一元多項式環.我們稱的素元即素多項式為不可約多項式，日有真因子的多項式叫做可約多項式.定義 的一個元叫做一個本原多項式，如果的系數的最大公因子是單位.我們有如下結論：(A)的單位是的僅有的單位.(B)一個本原多項式不會等于零.(C)若本原多項式可約，那么且有（表示的次數）引理1 設，那么是本原多項式的充分且必要條件是和都是本原多項式.設是的商域，那么多項式環是唯一分解環.引理2 的每一個非零多項式都可以寫成的形式，這里是的本原多項式.如果也有的性質，那么 ，（為的單位）引理3 的一個本原多項式在里可約的充分必要條件是在里可約.引理4 的次數大于零的本原多項式在里有唯一分解.有了以上的結論，我們就有定理 如果是唯一分解環，則也是唯一分解環. $. 因子分解與多項式的根定義整環的元叫做的多項式的一個根，如果有定理是的一個根的充分且必要條件是整除定理的個不同的元都是的根的充分且必要條件是整除推論若的