1、第四講 數軸一與形的第一次碰撞為了學好有理數的概念，使思維適應數集的擴充，我們把現實生活中大量的有關模型， 如直尺、杠桿、溫度計、儀表上的刻度，所具有的本質屬性抽象化，建立起數軸模型.數軸 的建立，賦予了抽彖的代數概念以直觀表象.數學一開始就是研究“數”和“形”的，從古希臘時期起，人們就己試圖把它們統一起 來.數與形有著密切的聯系，我們常用代數的方法研究圖形問題；另一方面，也利用圖形來 處理代數問題，這種數與形相互作用，是一種重要的數學思想一一數形結合思想.利用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯系，現階段，數軸是聯系數與形的 橋梁，主要體現在：1. 運用數軸直觀地表示有理數；2. 運用

2、數軸形象地解釋相反數；3. 運用數軸準確地比較有理數的大小；4. 運用數軸恰當地解決與絕對值有關聯的問題.例題【例1】數軸上有A、E兩點，如果點A對應的數是一 2,且A、E兩點的距離為3, 那么點D對應的數是 （江蘇省競賽題）在數軸上，點A、E分別表示一丄和丄，則線段AB的中點所表示的數 35是.（江蘇省競賽題）思路點撥（1）確定E點的位置：（2）在數軸上選擇兩個特殊點，探索它們的中點所表示 的數與所選兩點所表示的數的聯系.【例2】如圖，在數軸上有六個點，且AB=EC=CD=DE=EF,則與點C所表示的數最接 近的整數是（）.4 Q go g $-5'* *'1*1 *B. 0

3、C. 1D. 2（第12屆“希望杯”譴請賽試題）思路點撥利用數軸提供的信息，求出AF的長度.【例3】比較q與丄的大小.a思路點撥 因為Q表示的數有任意性，直接比較常會發生遺漏的現彖，若把各個范圍在 數軸上表示出來，借助數軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關鍵是由0 =丄、丄無意 a a 義得出67 = 1,-1,0,據此3個數把數軸分為6個部分.【例4】（1）閱讀下面材料并回答問題.28.（1）閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示實數a、b, A、B兩點之間的距離表示為I AB I .當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1, I AB I = I OB I = I b I

4、二 I ab I 當A、B兩點都不在原點時， 如圖2,點A、B都在原點的右邊丨AB I =丨0B丨一 I 0A丨=I b I |a| = b- a=|a 一1/51/51/5 如圖3,點A、B都在原點的左邊，丨AB I = I OB I - I OA I = I b I -|a| = b- a=|a -b|；如圖4,點A、B在原點的兩邊，I AB丨=丨0B丨一丨0A丨=丨b丨一|a|二一 b-(- a) = | a b|:0(A)B0 ABB0b6 abb圖1(2)回答下列問題：圖2綜上，數軸上A、B兩點之間的距離|ABk|a-b .40-aO-圖3數軸上表示2和5的兩點之間的距離是,數軸上表

5、示一2和一5的兩點之間的距離是,數軸上表示1和一3的兩點之間的距離是； 數軸上表示x和一1的兩點A和B之間的距離是，如果丨AB I =2用么x為; 當代數式丨x+1 I十I x-2 I取最小值時，相應的x的取值范圍是.(2002年南京市中考題) 注：有效地從圖形、圖表獲取信息是信息社會的基本要求.從數軸上獲取有關信息是解有理數問題的常用技巧，主要包括:(1) 數軸上堵塞點所表示的數是正負性；(2) 數軸上的點到原點的距離.(1)字母表示數是代數的特點，但字母具有抽彖性，所以在條件允許的范圍內賦予宇母 以特殊值來計算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說的“賦值法”， 但這種方法不

6、能作為解題的規范過程.(2)純粹的代數的方法比較抽象，如能借助圖形(利用數形結合的思想方法)，則可使許多 抽象的概念和復雜的數量關系直觀化、形象化，甚至簡單化.(2)試求 I x-1 I 十丨 X2 I + I X3 I + I X1997 I 的最小值. (天津市競賽題)思路點撥 對于，閱讀理解從數軸上看，勺的意義；對于由于x的任意性、 無限性，因此，通過逐個求出代數式的值解題明顯困難，不妨從絕對值的幾何意義，利用數 軸入手，借助(1)的結論解題.【例5】(1)工作流水線上順次排列5個工作臺A、E、C、D、E, 一只工具箱應該放在 何處，才能使工作臺上操作機器的人取工具所走的路程最短？(2)

7、 如果工作臺由5個改為6個，那么工具箱應如何放置能使6個操作機器的人取工具 所走的路程之和最短？(3) 當流水線上有n個工作臺時，怎樣放置工具箱最適宜？思路點撥 把流水線看作數軸，工作臺、工具箱看作數軸上的點，這樣，就找到了解決 本例的模型一一數軸，將問題轉化為例4的形式求解.學力訓練1. 在數軸上表示數Q的點到原點的距離為3,則a-3=2. d、b、c在數軸上的位置如圖所示，則丄、厶、丄中最大的是a-b c-b a-c2 / 52 / 52 /5b c 0ba 0 c 1ABC D（第2題）（笫3題）（第4題）3. 有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，若m = a-b-b-a-c-L-c

8、,則,則1000m=.（ “希望杯”邀請賽試題）4. 如圖，工作流程線上A、E、C、D處各有1名工人，且AB=EC=CD=1,現在工作流 程線上安放一個工具箱，使4個人到工具箱的距離之和為最短，則工具箱的安放位置是_.5. 有理數在數軸上的位置如圖，化簡a-b-c-b的結果為（）.A. a+c B. -a-2b+c C. a+2b-c D. -a-c（進 騒）c a 0 pY BC T）6. 如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、E、C、D對應的數分別 是整數a、b、c、d ,且d 加=10,那么數軸的原點應是（）.A. A點 B. B點 C. C點 D. D點（第15后江蘇

9、省競賽題）7. |x+l| + |x-l| 的最小值是（）.A. 2 B. 0 C. 1 D. 1&數d、b、C、所對應的點A、E、C、D在數軸上的位置如圖所示，那么a + c與b + d 的大小關系是（）.A. a+c <b + d B. a+c=b + d C. a+c >b + d D.不確定的（江蘇省競賽題）9. 己知數軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1,點A與原點O的距離為3.求所有滿 足條件的點B與原點O的距離的和.（北京市“迎春杯”競賽題）10. 己知兩數a、b,如果a比b大，試判斷問與問的大小.11. 有理數 a、b 滿足 a>0, b <0

10、, a < b,用將 a、b、-d、一b 連接起來.12. |x +1| + |x2| + |x3| 的最小值是.13. 已知數軸上表示負有理數加的點是點M,那么在數軸上與點M相距護|個單位的點中，與原點距離較遠的點對應的數是.（山東省競賽題）14. 若& >0, Z? <0,則使|x-67| + |x-Z?| = a-b成立的x取值范圍是.（武漢市選拔賽題）15. 如圖，A、B、C、D、E為數軸上的五個點.且AB=BC=CD=DE,則圖中與P點表示 的數比較接近的一個數是（）.A. 一 1 B. 1 C3 D. 5FA B C D E 丄I _ 打 丿a»

11、59（第15題）3/53/53/5（河南省競賽題）16. 設y = |x-l| + |x + l|,則下面四個結論中正確的是（）.A. y沒有最小值B.只有一個x使y取最小值C.有限個x（不止一個）y取最小值D.有無窮多個x使y取最小值17. 不相等的有理數a、b、c在數軸上對應點分別為A、E、C,若0-曲+ ”一4二0-, 那么點E（）.A.在A、C點右邊 B.在A、C點左邊C.在A、C點之間 D.以上均有可能18. 試求 2| + |x 4| + |x 6| + + |x 2000| 的最小值.19. 電子跳蚤落在數軸上的某點K。，第一步從K。向左跳1個單位到Ki，第二步由Ki向右 跳2個

12、單位到第三步由&向左跳3個單位到，第四步由K,向右跳4個單位到心 ， 按以上規律跳了 100步時，電子跳蚤落在數軸上的點Kg所表示的數恰是19.94,試水電子 跳蚤的初始位置Ko點所表示的數.20. 如圖，在數軸上（未標出原點及單位長度）點A為線段EC的中點，己知點A、E、C 對應的三個數4、b、C之積為負數，這三個數之和與其中一數相等，設p為d、b、C三數 中兩數的比值，求p的最大值和最小值.21. 某城鎮沿環形路上依次排列有五所小學：A】、2、A3、亠、A5,它們順次有電腦15臺、 7臺、11臺、3臺、14臺，為使各校的電腦數相同，允許一些小學向相鄰小學調出電腦，問 怎樣調配才能使

13、調出的電腦總臺數最少?并求出電腦的最少總臺數.（湖北省荊州市競賽題）.4 / 54 / 54 /5參考答案a數軸一數與形的第一次碰摘【例題求解】-±+±M 1 (!)-5jfi提示,AB中點所表示的敷足 彳廠2W 2 &C 握示:AF=ll-<-5) = l$,AB=BC=*CD-DE-EF-y-3.2.C點坐標為一5+3.2+12=1.4.W 3提示如田當。<一1時,a<£當"一 1時"召當-IVYO時Q右當XXI時.a<I當 au時.a= |當 a>l 時，a>丄.aaa例 4 (1)(D3.3,

14、4 lx+11,1 或一3 一l<x<2.(2>ft示:從數恤上看，求|jl| + |x-2| + |x-3| + - + |x-19!)7| 的最小丨二值即在數越上找出我示z的點，快它到表示ft 1,2,3-.1997的點的距髙之和丨2 3 999 1995 19961997量小.如圖所示當x-999時.原式的(ft鍛小，從數軸上看這個量小值為，(1997-1) +(1996-2)+-(1995-3)+ - + (1000-998) + <999-999>= 1996+1994 +1992 + “+2"997002也可橋x=999代入上式子求值.例5提

15、示>(1>1,具箱放在C臺上，工具箱放在C.D«臺之間(含CQ網點任一處；分”為奇數、偶數兩種情況討論. 【學力訓練】I. 0 或一6 2.占 3. -20004.放 B、C(含 B.G之間任一處. 5. A 6. B 7. A 8. A9. 12提示：點A表示的數為3我一3,満足條件的點B共有4個.1«.當點B在原點的右邊時,0<6<«,JI|a|>|6|l當點A在原點的左邊時,b<a<0,則|a|V2h當點A、B分別在族點的 右、左兩側時.b<0<a,這時無法比較lai與I6t的大小關系；當點A正好在原點位

16、IM ,6<a-0,« |5|> |a|,當點B正好 在(點位* 時.0»*<a.則 lai A 21.II. b<a<a<b.12. 413. 2m 14. gzWa 15. C 16. D 17. C18. 500000 提示：當 1000<x<1002 時，原式有最小值，這個最小值為,< 1002-2) + (1004-4) + + (2000- 1000) = 500000.19. 30.06提示:設Aa點衷示的有理數為x,RJ ki、嚴、»»點所裘示的有理數分別為Xl,xl + 2,x1 + 2 3,x1 + 2-34-499+100，由題意得1 + 2-3+4-99+100=19. 94.*1* x=-30.06.20. 由圖知aftc V0.知X0<a<c或b<a<c<Q,即驚點柱點B、A之閭或莊點C右邊.又由a、&、c之和與其中之一相等.可知勿網數的和為0.即這兩數互為相反數.故原點只徒在點B、A之同且是線&AB的中點.其中a-a<=3«亡=3.于21.性示：如圖.用A、B、C、D、E順時針排列依次表示一至五所小學H順次向鄰校調給勸七工,，斗5 臺電他.依題意得7+xi=11 + 去工,=3+工3