1、精選優質文檔-傾情為你奉上§2 初等解析函數及其基本性質一、基本初等函數1.指數函數加法定理 。，即。周期性 是周期為的周期函數。2.對數函數定義2 滿足的函數稱為復變量的對數函數，記為。關于的表達式：令，則，即。從而定義式。注：是多值函數，是多值函數。 當取主值時，為單值函數，稱其為的主值，記為，即 或計算式。注：當時，實對數函數。例2 證明對數運算性質：；。證明 由對數定義表達式，；同理可證式。例3 求及主值。解 ；主值：。由的表達式，容易知道，有分析性質：在除原點及負實軸的平面內連續且解析。，而在原點及負實軸上不連續，即在除原點及負實軸的平面內連續。又在除原點及負實軸的平面內，

2、有定義且互為反函數，有求導法則，.在除原點及負實軸的平面內解析。從而，應用對數函數時，皆指其除原點及負實軸的平面內的某一分支。 3.復數乘冪及其計算 定義3 復數構成的乘冪：，其中。可以分析討論知道，其取值情況有： 當次冪為整數時, 有唯一值；。當次冪為有理數時, 有個不同的值；當時，由正、余弦的周期性，得到的個不同值。當次冪為無理數或虛數時, 有無窮多值.例3 計算下列復數乘冪：；。解 .,；。.二、簡單初等函數1.一般冪函數與指數函數定義4 ；。性質由對數性質決定。 2.三角函數，其中 定義5 正弦函數：；余弦函數： 。例4 求值：.解 .容易證明：具有與實函數相同的周期性是，不具有有界性

3、：時， 。當時，. 定義6 . 相應的一些運算性質見教材.3.反三角、反雙曲函數定義7 滿足的復變量稱為的反正弦函數，記為。依據定義，可以求得： .同理，可以定義并可求得：; 4.雙曲與反雙曲函數函數定義8 雙曲正弦：；雙曲余弦：；雙曲正切：.及其反雙曲函數：;；.注:它們均為多值函數.第三章 復變函數的積分§1 積分的概念及性質一、概念及其存在性1.引言 一元函數定積分，是函數沿一直線段上的積分。因為函數就定義在數軸直線上，而復函數定義在平面上。推廣定積分于復函數，考慮一般性，復積分應為平面上沿一曲線段的積分。 y zn C k zk z0 zk-1O x2.定義 設有向曲線，任意

4、分成段，分點為：任取,作和,記，若總存在，則稱其值為沿曲線的積分，記為。若為封閉曲線，則記為(復變函數主要研究和確定閉曲線的積分)。注:復積分實質上類似于高等數學中的平面為(二型)曲線積分。2.可積性及其參數計算公式定理 若連續，則 存在，且；設。證明（描述性）；。 y (3,1) 1 3O 1 x例1 計算,其中為從點1到點的直線段.解 直線段方程：，從而，原式。 -2 2 例2 設為由點沿的上半圓周到點的曲線段,求.解 ，即，此時，；這里，于是，原式。例3 計算，其中：，方向逆時針。解 圓周的方程：，從而，原式，當時，原式；當時，原式，于是，二、性質1.線性：；2.可加性：若，則；3.反對稱性：；4.若為曲線的長度，且，則。證明 1.2.3.顯然，4.的證明利用積分定義見教材。§2 柯西古薩定理及其應用一、引理與基本定理1.引理 若在單連域內解析,且連續,則對任意簡單閉曲線,有：。證明 解析,且連續，且它們均連續。從而，由格林公式，。推論 若在一條簡單閉曲線的內部及上解析，則。例1 計算，其中曲線為正向圓周：