1、2011年考研數(shù)學(xué)三真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。下列媒體給出的四 個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。）（1）已知當(dāng) 時(shí)，&一汨豆；朮刑與 是等價(jià)無(wú)窮小，則（A）孑=：；：二（B）-二，蔦二4（C）k = 3工=4（D） k = 3& =- 4【答案】C。【解析】【方法一】由泰勒公式知3兀3sinz = x - + o(x )V -fe剜鮮+如）I-x(3r)f(x)= 3sinx - sin3x - 3x - y - 3x + - + o(x )3stnx -j?in3x3cosx - 3co53x= S 卞（洛必達(dá)法則）（洛必達(dá)法則）（址=3）-su

2、uc +3sin3x【方法二】=4zJ+ o( J)4J(x-*0)故窪=乞廠二4【方法三】(fc = 3)82c= 1綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一洛必達(dá)(LHospital)法則伽x2f(x) - 2/ (3) _已知.在“處可導(dǎo)，且二i ,則(A)(B)(C)(D)0【答案】B。【解析】3sinx - 3x + 3x - sin3xlim-lim-K ex13(5tHJC -lim+ UmCHT)xk1I%)hmfr+ limCKit)cxk3sm% - sin3x3x - sin3

3、xxk6(3X)192+2【方法一】加項(xiàng)減項(xiàng)湊 M =刑處導(dǎo)數(shù)定義x2fx) - 2f(工3)df(X) 7(0) - 2/(x3) + 2/(0)lim- -二Um- -幫TOxioxJf(x) -/(0)f(&) - f()=lim- - 2-x-fOx=/(0)-20 X x-0 xJ由于，由導(dǎo)數(shù)定義知/(X).f(J)二f (0), lim = f(0)辭TOX尸。*llim心嚴(yán)()=/(o)- 2/(0)=-廠(0)所以u(píng)艾【方法三】排除法：選擇符合條件的具體函數(shù)f貝yXVM- 2f(x3)x3- 2兀3lim- - 二Im- - - -1x-*OXr-*Ox而對(duì)于負(fù)乂： 一

4、二；沁一，顯然選項(xiàng)(A)(C)(D)都是錯(cuò)誤的，故應(yīng)選(B)【方法四】由于I在)處可導(dǎo)，則/W = f (0) + f (0)疋+ oW = fo)x + o(x),f ()兀+ 0(x)1-21/ (0)x3+ o(x3)J=/(0)-2/(0)=一(0)綜上所述，本題正確答案是B。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算【解析】若=:收斂，貝y該級(jí)數(shù)加括號(hào)后得到的級(jí)數(shù)仍收斂綜上所述，本題正確答案是Ao【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一無(wú)窮級(jí)數(shù)一級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條ITJT肝I = flnsinxdxj - JlncotxdxfK - flncosxdx關(guān)系為(A)人

5、(C)|丿KKx fx - 2/(x ) hm- -= hm(D)KJI叫是數(shù)列，則下列命題正確的是OO【答案】A。【答案】BB=0101.O 1 O1 1 O1-O 1 ODo1loo_-【解析】同一區(qū)間上定積分的大小比較最常用的思想就是比較被積函數(shù)大小,n刁時(shí)，OV sinx cosx 1 cotx又因?yàn)榘藶镮上的單調(diào)增函數(shù)，所以nn*IT故丿；金：打 T；- - r I：i -；，：，：:綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一定積分的概念和基本性質(zhì)(5)設(shè)力為3階矩陣， 將川第2列加到第1列得矩陣*,再交換B的第2【解析】本題是常規(guī)的初等變換、初等矩陣的考題矩陣的

6、初等行變換是左乘初等矩陣，矩陣的初等列變換是右乘初 從而B(niǎo), P2B= E,從而PAP = E所以 i/J:學(xué)11 0 011100 0 15ri o oi(A) P心(B)ppr1r2(C)P2P1(D)PP1r2r1行和第3行得單位矩陣，記A【答案】D。由于當(dāng)nsinx Incosx Incotx7T0 DTETAET，DT、 0和孰如=1或者1,而;為分布函數(shù)由于耳(無(wú))與心(無(wú))為兩個(gè)分布函數(shù)，顯然F) Fg(對(duì)也是分布函 數(shù)，而孑1仗)巧(町=/1(X)F2(X) +f2(x) Fr(xJ綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一多隨機(jī)變量及其分布一隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念

7、及其性質(zhì)，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度(8)設(shè)總體*的服從參數(shù)為入(入的泊松分布，Xi血廠禮二2)為r= 2yriV來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則對(duì)于統(tǒng)計(jì)量1” f = i和ET、 ETDT. DT,(B)1 2t 12答案】1;r.11 ) .【答案】D【解析】X、P(2),所以,EX = a,DX=盯哉廠相互獨(dú)立均服從P(入)可求得1-心-匚而，苛所以E1V ET衛(wèi)DT 2(12)曲線 廠 直線工=1及軸所圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)所 成的旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)?！敬鸢浮俊窘馕觥坑尚D(zhuǎn)體公式得V = 712r1（X1-l）dx = 7T（-X - X）=綜上所述，本題正確答案是24TTT【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)

8、一一元函數(shù)積分學(xué)一定積分應(yīng)用(13)設(shè)二次型；山貝曠在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為【答案】“的秩為1，的各行元素之和為3，【解析】d的各行元素之和為3，即Fail+fl12+ l13= 3U21+a22 +a23 =口銅+ Q呂 2 +=彳的1a21勺1ai213a22fl23rrA i ib=3ii所以卜二是d的一個(gè)特征值。再由二次型兀舟*的秩為1因此正交變換下標(biāo)準(zhǔn)形為111是的2重特征值綜上所述，本題正確答案是【考點(diǎn)】線性代數(shù)一二次型一二次型的秩，用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(14)設(shè)二維隨機(jī)變量1()服從正態(tài)分布川(卩叢/；0),則E陽(yáng)二。2 i 3【答案】卩”+ M?！窘馕觥?XY)服從

9、正態(tài)分布N(比/加;所以與：相互獨(dú)立，且* * 2EXEY =閃DX = DY = aE(X/)二EXE/二川必 +(EF)1二 “(/?十/)=訴+ 八23綜上所述，本題正確答案是x :o【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一隨機(jī)變量的數(shù)字特征一隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)三、解答題：-小題，共94分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧?15)求極限Um尤T0+ 2sinx _ x1 + Zslnx - (x + 1)hm2x-yO2xb21.2sinx- x * 2x 1sinx -=農(nóng)皿-2- + limp【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一無(wú)窮小量的性質(zhì)

10、及無(wú)窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算（16）已知函數(shù)i具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的極d2zlimx-+0Jl +-x- 1二Um2JC-*OxlimT)row fl2sttu2x1coax -vl + 2vtnjr二吧 -岸TD因子極限先求）（等價(jià)無(wú)窮小代【方法二】Um1 + 251 MX - x - 1xfn(l +工)J1 +2ainx-x- 1二limXTO（等價(jià)無(wú)窮小代（分子有理化）值，E = /（x + y/（2）1.求駕=1.【解析】弓藝 *由鏈導(dǎo)法則，液二區(qū)；+ 其中u = x + y,u = f（扎y）.所以dxdy對(duì)觀+礦腫;+ 9 遜+ 2腫 y由于11匚是m的極值，則=f的.2)

11、+幾(22)fuu(14)【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微積分學(xué)一多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，多元函數(shù)的極值（17）求不定積分rjl心【解析】【方法一】令屮;二二，貝yr arcsinJx +InxCdx = 2J (arcsint + llntjdt=2t(arcsint + 2lnt) - 2j丨v/i4)= r/M)= ovy(M)= ry(u)= od2zdxdy乙觀（2,x tA,dx - 2tdt=2tarcsint + 2 bit) +十2)dt=2t(arcsint十2lnt) + 2-1 - t2- 4t 4- C=2xarcsin + /nx) + 21 - 4尤 +C【方法二

12、】arcsinx十饑xf-7=- dx 2 I (arcsiriyjx + lnx)dlx=2 x(arcsin +餉工)-2f乍電 +2X(arcsinix + Inx) + 2l -丈 一 疋 +C【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，不定積分和定積分的換兀積分法與分部積分法4JT石4arctanx - x -F y -= 【解析】t/Cr令2-，本題也就是要證明 r 恰有兩個(gè)零點(diǎn)43 -,f(X)=2 _ =21 +X1 + X令：得.-，貝y當(dāng)-向時(shí)，叮(Q 單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，f 0(尤)|單調(diào)增；當(dāng)+ 8)時(shí)，f(x) 0八力單調(diào)減；4 /Tjlim f(町

13、=Um 4arctanx- x + - 3 =:+ oo又工 T -COf( - 0斗議 |lim f(尤)=lim Aarctanx一 無(wú) + 盲 一3 T + COHT +(則，-為：的一個(gè)零點(diǎn)，在卜八內(nèi)還有一個(gè)零點(diǎn)4 ITfarctanx - x + v v3 = 0【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判別（19）設(shè)函數(shù)mo在訂上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，=1且+ ydxdy = Dft)dxdy其中必no yt-ot(oti).的表達(dá)式?！窘馕觥炕阎仁阶筮叺亩胤e分為二次積分計(jì)算=Xf(x + y)d(x + y)dx=必心 +y)l；= /Jl/CO - f(x)

14、dx等式右邊的二重積分化為二次積分f(悶yldxdyJT，. ldxdy n恰有兩個(gè)實(shí)根。(工4- y)dy)dx =(ff O + y)力好二久 為區(qū)域（的面積，區(qū)域易得為三角形，面積為所以NDf(t)dxdy At)護(hù)所以紅-方00必-護(hù)/V)兩邊對(duì)4求導(dǎo)得(2- 0/(0二2/(t)_ c解得d(S由(0)=1得 = 44所以_(2-o |(0Jf013；12斗T115134014 022001-102【考點(diǎn)】線性代數(shù)一向量一向量的線性組合與線性表示，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)(21)設(shè)八為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣， 囚的秩為2，求1的所有特征值與特征向量；A(II)求矩陣 11_ 11A00二0

15、0-1111【解析】因 7 知4，所以I是J的特征值A(chǔ)1 0- r0-1 0,Arli0_rli)一i一111 V4 *所以按定義，特征向量；又1是力的特征值，6量。T旳=仗宀江3)是A屬于久0的特征向量，作為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征 值不同特征向量相互正交，因此解出汀H故矩陣N的特征值為卩廠、工為；特征向量依次為 陣【考點(diǎn)】線性代數(shù)一矩陣的特征值與特征向量一矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量及相似對(duì)角矩陣(22)設(shè)隨機(jī)變量卜的概率分布分別為X01P123i10 1pill333堤的特征值,a2(10-1)是人屬于R的特征向tr1二工十工j二0丁叫(13二jq -丸？二01

16、譏k3(ot1,0)，其均是不為o的任意常數(shù)。= (av_ a2,0)(II)由A = (a1#-勺0叫盤(pán)2叫1=rl-101 1101-1000 00111oh-10i,有且P* = Y2 = I求二維隨機(jī)變量！企芒的概率分布；(II)求二=；江的概率分布；(III)求：的相關(guān)系數(shù)。【解析】(I)由嗆2=旳=得p打2而px2工Y2 = PX = QtY =- 1 + PX = oy = 1 + PX = IX = 0即戸V匚丁 書(shū)W己：:,-廠 ：； 的概率分布的邊緣分布為-1010131pi111鳳3已知PX：二07 =-1PX二0,Y二1 PX - lrY - 00最后可得-101001013311301323Pj131313(II)討冇的可能取值 一，由八)|的概率分布可得的概率分布z1 01P111333(III)由及：的概率分布得2 2 2=GEY = O, Dr = JtEXY = E(Z) = 0CfW(XY) = EXY) - EXEY = 0,所以P胛0。【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一隨機(jī)變量的數(shù)字特征一隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)(23)設(shè)二維隨機(jī)變量服從區(qū)域上的均勻分布，其中是由x-y = Otx