1、 F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)圖21 平面匯交力系合成的幾何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F4平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法 多邊形多邊形abcde稱為此平面匯交力系的稱為此平面匯交力系的力多邊形力多邊形 求合力矢的幾何作圖法稱為求合力矢的幾何作圖法稱為力多邊形法則力多邊形法則 矢量矢量 稱為此力多邊形的稱為此力多邊形的封閉邊封閉邊 a e F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)圖21 平面匯交力系合成的幾何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF

2、4FRF4F4F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)圖21 平面匯交力系合成的幾何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F4F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)圖21 平面匯交力系合成的幾何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F42.12.1平面匯交力系合成與平衡平面匯交力系合成與平衡 必須注意必須注意: 2.若改變各分力矢的合成次序，則繪出的若改變各分力矢的合成次序，則繪出的力多邊形的形狀亦會隨之改變，但不會影響力多邊形的形狀亦會隨之改變，但不會影響合力合力FR的大

3、小和方向。的大小和方向。 1.力多邊形中各分力矢量首尾相接沿著同力多邊形中各分力矢量首尾相接沿著同一方向環(huán)繞力多邊形。由此組成的力多邊形一方向環(huán)繞力多邊形。由此組成的力多邊形abcde有一缺口，故為不封閉的力多邊形，而有一缺口，故為不封閉的力多邊形，而合力矢則沿相反方向連接此缺口，構(gòu)成力多合力矢則沿相反方向連接此缺口，構(gòu)成力多邊形的封閉邊。邊形的封閉邊。結(jié)論結(jié)論： 平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大平面匯交力系可簡化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和（幾何和），合小與方向等于各分力的矢量和（幾何和），合力的作用線通過力系的匯交點力的作用線通過力系的匯交點。 R121nniiFF

4、FFF可簡寫為可簡寫為 1niiFF2.1.2平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的幾何條件 平面匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件平面匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件是：力系的力多邊形自行封閉。是：力系的力多邊形自行封閉。 平面匯交力系平衡的充分和必要條件是力平面匯交力系平衡的充分和必要條件是力系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量系的合力矢等于零?；蛄ο抵懈髁κ傅氖噶亢偷扔诹悖春偷扔诹?，即0F例例 支架的橫梁支架的橫梁AB與斜桿與斜桿DC彼此以鉸鏈彼此以鉸鏈C相聯(lián)接，并相聯(lián)接，并各以鉸鏈各以鉸鏈A、D連接于鉛直墻上。如圖所示。已知連接于鉛直墻上。如圖所示。已知ACCB；桿桿DC與

5、水平線夾與水平線夾4545角；角；荷載荷載Fp=10kN，作作用于用于B處。梁和桿的重量忽略不計，求鉸鏈處。梁和桿的重量忽略不計，求鉸鏈A的約束反的約束反力和桿力和桿DC所受的力。所受的力。 ACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP量得：量得：FC=28.3 kN FA=22.4 kNACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP解：選取橫梁解：選取橫梁AB為研究對象為研究對象 ACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)

6、abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法 2.2.12.2.1力在直角坐標(biāo)軸上的投影與力的解析表達式力在直角坐標(biāo)軸上

7、的投影與力的解析表達式FxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBjicoscosxyFFFF 力在軸上的投影為代數(shù)量力在軸上的投影為代數(shù)量, ,當(dāng)力與投影軸當(dāng)力與投影軸正正向向間夾角為銳角時，其值為正；夾角為鈍角間夾角為銳角時，其值為正；夾角為鈍角時，其值為負。時，其值為負。FxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBjicosxFF 9例例 試用解析法求作用在圖示支架上點試用解析法求作用在圖示支架上點O的三個力的三個力的合力的大小和方向。的合力的大小和方向。 OF1=600NF2=700NF3=500N6011yxFR解解：建立直角坐標(biāo)系：建立直角坐標(biāo)系Oxy求合力求合力FR在坐標(biāo)

8、軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影 R12R123c o s 4 5c o s 3 06 0 0c o s 4 57 0 0c o s 3 0N1 0 3 0 Ns i n 4 5s i n 3 06 0 0s i n 4 57 0 0s i n 3 05 0 0N4 2 6 Nxi xyi yFFFFFFFFF 2.2.2 平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法R12R123c o s 4 5c o s 3 06 0 0c o s 4 57 0 0c o s 3 0N1 0 3 0 Ns i n 4 5s i n 3 06 0 0s i n 4 57 0 0s i n 3 05 0 0N4

9、 2 6 Nxi xyi yFFFFFFFFF OF1=600NF2=700NF3=500N6011yxFR合力的大小為合力的大小為: 2222RRR1030426N1115NxyFFF 合力方向合力方向:RR426tan0.4136103022.5yxFF2.2.3 2.2.3 平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力矢合力矢FR等于零。等于零。 合力合力FR等于零，必須有等于零，必須有FRx0、FRy0，即即00ixiyFF 用解析式表示的平面匯交力系平衡的必要和充用解析式表示的平面匯交力系平衡的

10、必要和充分條件是：各力在力系作用面內(nèi)兩個坐標(biāo)軸上投分條件是：各力在力系作用面內(nèi)兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。影的代數(shù)和分別等于零。 平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程注意注意：利用平衡方程求解平衡問題時，受力圖中：利用平衡方程求解平衡問題時，受力圖中的未知力的指向可以任意假設(shè)。若計算結(jié)果為正的未知力的指向可以任意假設(shè)。若計算結(jié)果為正值，表示假設(shè)的指向就是實際的指向；若計算結(jié)值，表示假設(shè)的指向就是實際的指向；若計算結(jié)果為負值，表示假設(shè)的指向與實際指向相反。果為負值，表示假設(shè)的指向與實際指向相反。 解題的步驟解題的步驟： ( (1) )選取研究對象選取研究對象 ( (2) )畫研究

11、對象受力圖畫研究對象受力圖( (3) )選投影軸，建立平衡方程選投影軸，建立平衡方程( (4) )求解未知量求解未知量 例例 圖為井架起重裝置。重物通過卷揚機圖為井架起重裝置。重物通過卷揚機D由繞過滑輪由繞過滑輪B的的鋼索起吊。設(shè)重物鋼索起吊。設(shè)重物E重重FP=20kN，起重臂的重量、滑輪的起重臂的重量、滑輪的大小和重量以及鋼索的重量均不計。試求當(dāng)重物大小和重量以及鋼索的重量均不計。試求當(dāng)重物E勻速上勻速上升時起重臂升時起重臂AB和桿件和桿件BC所受的力。所受的力。 AEBCD601530ExyBFBAFTBDFBC30301515FP解解：取滑輪：取滑輪B連同重物連同重物E一起為研究對象一起

12、為研究對象AEBCD601530ExyBFBAFTBDFBC30301515FP取投影軸取投影軸x沿沿CB方向，方向，y軸垂直于軸垂直于FBCP=0 cos60cos75 cos30 =0yBATBDFFFFP0 cos15 + sin60sin30 =0 xBCTBDBAFFFFF = 45.0 kNBAF =9.65 kNBCF算出算出FBA和和FBC均為正值，說明圖中所均為正值，說明圖中所畫力畫力FBA、FBC的方向正確。由作用與的方向正確。由作用與反作用定律知，起重臂受壓力為反作用定律知，起重臂受壓力為45.0 kN，BC桿受拉力為桿受拉力為9.65 kN。 4530OABCDF1F2

13、F3F4F2F4F3Oxy3045F1例例 桁架接頭，由四根角鋼材料鉚接在連接板上而成。桁架接頭，由四根角鋼材料鉚接在連接板上而成。這四根桿件的軸線匯交于這四根桿件的軸線匯交于O點，作用在桿件點，作用在桿件2和和4上的上的力分別為力分別為F24kN，F(xiàn)42kN，求在平衡狀態(tài)下，作用求在平衡狀態(tài)下，作用在桿件在桿件1和和3上的力上的力F1、F3的值。的值。解解：以接頭為研究對象：以接頭為研究對象, ,設(shè)設(shè)1 1、3 3桿受拉。桿受拉。 4530OABCDF1F2F3F4F2F4F3Oxy3045F1230 sin30 + sin45 =0yFFF3=2.84 kNF12340 +cos30 co

14、s45=0 xFFFFF1=3.46 kNFF1和和F3均為負值，說明實際力均為負值，說明實際力F1和和F3的指向與的指向與所假設(shè)的方向相反，所假設(shè)的方向相反，1、3兩桿均受壓力作用。兩桿均受壓力作用。 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 2.3.1 2.3.1 力對點力對點的的矩的概念與計算矩的概念與計算 OFh力對點的矩可以用來度量力使物體繞點轉(zhuǎn)動的效應(yīng)。力對點的矩可以用來度量力使物體繞點轉(zhuǎn)動的效應(yīng)。 力對點的矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力力對點的矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小的大小F 與力臂與力臂h的乘積，力使物體繞矩心逆時的乘積，力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動時取為正

15、值，反之取為負值針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動時取為正值，反之取為負值。 MO (F)Fh力矩的單位常用力矩的單位常用Nm或或kNm 記為：記為：力矩性質(zhì)力矩性質(zhì) （1）力）力F對點對點O的矩，不僅決定于力的大小，同時與的矩，不僅決定于力的大小，同時與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之而異。矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之而異。 （3）力的大小等于零，或力的作用線通過矩心（即力力的大小等于零，或力的作用線通過矩心（即力臂臂h=0），），則力矩等于零。則力矩等于零。（4）相互平衡的兩個力對同一點的矩的代數(shù)和等于零。）相互平衡的兩個力對同一點的矩的代數(shù)和等于零。 （2）力力F沿其作用線移動，不改變它對點

16、的矩。沿其作用線移動，不改變它對點的矩。2.3.2 2.3.2 合力矩定理合力矩定理 合力矩定理合力矩定理：平面匯交力系的合力對于平面：平面匯交力系的合力對于平面內(nèi)任一點的矩等于其分力對于同一點之矩的內(nèi)任一點的矩等于其分力對于同一點之矩的代數(shù)和代數(shù)和。R121nOOOOnOiiMMMMMFFFFFROOMMFF即：即：簡寫為：簡寫為：例例 圖示擋土墻每圖示擋土墻每1m長所長所受土壓力的合力為受土壓力的合力為FR，它它的大小為的大小為FR=150kN，方方向如圖示。求土壓力向如圖示。求土壓力FR使使墻傾覆的力矩。墻傾覆的力矩。30AF1F2FRda=2mb=1.5m解：土壓力解：土壓力FR可使擋

17、土墻繞墻趾可使擋土墻繞墻趾A點傾覆，故求點傾覆，故求FR使墻傾覆的力矩，就是求使墻傾覆的力矩，就是求FR對對A點的力矩。點的力矩。 30AF1F2FRda=2mb=1.5mR1212AAAMMMFaF bFFF150cos302 150sin301.5 kN m 147.3kN m例例 重力壩受力情況如圖。已知重力壩受力情況如圖。已知F1400kN，F(xiàn)280kN，F(xiàn)3450kN，F(xiàn)4200kN。試驗算在此情況試驗算在此情況下重力壩會不會繞下重力壩會不會繞A點傾覆。點傾覆。1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F4解解：F1是使重力壩繞是使重力壩繞A點傾覆的力，它對點傾覆

18、的力，它對A點產(chǎn)生的力點產(chǎn)生的力矩是傾覆力矩；而阻止重力壩傾覆的力是矩是傾覆力矩；而阻止重力壩傾覆的力是F2、F3、F4，它們對它們對A點產(chǎn)生的力矩是抗傾覆力矩。點產(chǎn)生的力矩是抗傾覆力矩。 1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F45.73tan0.3916.7傾覆力矩為傾覆力矩為 112.81120kN mAMF F1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F4抗傾覆力矩為抗傾覆力矩為 234 2340 .6,5 .71 .5 1 .82 3 0 0 k N mc o sAMF FF F F F 抗傾覆力矩大于傾覆力矩的絕對值，重力壩不會傾覆?？箖A

19、覆力矩大于傾覆力矩的絕對值，重力壩不會傾覆。 傾覆力矩傾覆力矩11120kN mAM F2342340 .6, ,5 .7 1 .51 .8 2 3 0 0 k Nmco sAMFFF FFF 234 2340 .6,5 .7 1 .5 1 .82 3 0 0 k N mc o sAMF FF F F F力偶力偶: :大小相等、方向相反、作用線平行的一對力大小相等、方向相反、作用線平行的一對力力偶與力偶矩力偶與力偶矩記作：記作：(F、F) FF圖213 力偶轉(zhuǎn)動方向盤FF 圖214 絲錐攻螺紋FFdAB圖215 力偶 由于力偶中的兩個力的矢量和等于零，因而力由于力偶中的兩個力的矢量和等于零，因

20、而力偶不可能使物體產(chǎn)生移動效應(yīng)，又因為力偶中的兩偶不可能使物體產(chǎn)生移動效應(yīng)，又因為力偶中的兩力不共線，所以也不能相互平衡。這樣的兩個力可力不共線，所以也不能相互平衡。這樣的兩個力可以使物體產(chǎn)生純轉(zhuǎn)動效應(yīng)。以使物體產(chǎn)生純轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 FFdAB圖215 力偶力偶作用面：力偶作用面：力偶臂：力偶臂：力偶中兩個力作用線所決定的平面力偶中兩個力作用線所決定的平面力偶中兩個力作用線之間的距離力偶中兩個力作用線之間的距離 力偶使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，取決于力偶的兩個反向力偶使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，取決于力偶的兩個反向平行力和力偶臂的大小以及力偶的轉(zhuǎn)向。平行力和力偶臂的大小以及力偶的轉(zhuǎn)向。 在平面力系問題中，力偶在力系作

21、用面內(nèi)的在平面力系問題中，力偶在力系作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向不是逆時針方向就是順時針方向，因而可轉(zhuǎn)向不是逆時針方向就是順時針方向，因而可以把力偶中的力的大小以把力偶中的力的大小F與力偶臂與力偶臂d的乘積加上的乘積加上適當(dāng)?shù)恼撎栕鳛槎攘苛ε紝ξ矬w轉(zhuǎn)動效應(yīng)的適當(dāng)?shù)恼撎栕鳛槎攘苛ε紝ξ矬w轉(zhuǎn)動效應(yīng)的物理量，稱為物理量，稱為力偶矩。力偶矩。記為記為: : 或或 M 表示，即表示，即 、M F F9、MMFd FF9通常規(guī)定，力偶逆時針旋轉(zhuǎn)時，力偶矩為正；通常規(guī)定，力偶逆時針旋轉(zhuǎn)時，力偶矩為正；反之為負。反之為負。 力偶的簡明表示力偶的簡明表示: : FFdMFdFMFFdMFdFM力偶矩的單位和力矩的單位相同

22、力偶矩的單位和力矩的單位相同: : Nm或或kNm。 在平面力系問題中，力偶矩是一個代數(shù)量。在平面力系問題中，力偶矩是一個代數(shù)量。 FFdMFdFMFFdMFdFM2.4.2 2.4.2 力偶的基本性質(zhì)力偶的基本性質(zhì) 1. 1.力偶沒有合力，既不能與一個力等效也力偶沒有合力，既不能與一個力等效也不能與一個力相平衡。不能與一個力相平衡。 2. 2.力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩恒等于力力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩恒等于力偶矩，而與矩心位置無關(guān)。偶矩，而與矩心位置無關(guān)。 3. 3.在同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果它們的在同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等，力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶矩大小相等，

23、力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶是等效的。稱為力偶的等效性。力偶是等效的。稱為力偶的等效性。 dFABFOx證明：證明： 設(shè)有一力偶作用在物體上，其力偶矩為設(shè)有一力偶作用在物體上，其力偶矩為MFd 在力偶的作用面內(nèi)任取一點在力偶的作用面內(nèi)任取一點O為矩心，則力偶的兩為矩心，則力偶的兩個力對個力對O點之矩的代數(shù)和為點之矩的代數(shù)和為 ,OMF dxF xFdMF F99此值即等于力偶矩此值即等于力偶矩根據(jù)力偶的等效性，可得出兩個推論根據(jù)力偶的等效性，可得出兩個推論 :推論推論1 1：力偶可在其作用面內(nèi)任意移動，而不：力偶可在其作用面內(nèi)任意移動，而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。即力偶對剛體的改變它對剛體的轉(zhuǎn)

24、動效應(yīng)。即力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)與其在作用面內(nèi)的具體位置無關(guān)。轉(zhuǎn)動效應(yīng)與其在作用面內(nèi)的具體位置無關(guān)。 推論推論2 2：在保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的情況：在保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的情況下，可任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長下，可任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，不會改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。短，不會改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。 平面力偶系的合成和平衡條件平面力偶系的合成和平衡條件 平面力偶系平面力偶系: : 作用在物體上同一平面內(nèi)的一作用在物體上同一平面內(nèi)的一群力偶群力偶1平面力偶系的合成平面力偶系的合成 設(shè)有三個力偶設(shè)有三個力偶(Fl，F(xiàn)1)、(F2，F(xiàn)2)、(F3，F(xiàn)3)作用在剛體的同一平面

25、內(nèi)，其力偶矩分別為作用在剛體的同一平面內(nèi)，其力偶矩分別為MlFldl、M2F2d2、M3F3d3 F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2 在力偶作用面內(nèi)任意取一線段在力偶作用面內(nèi)任意取一線段AB,并且令并且令A(yù)Bd，將將各力偶在作用面內(nèi)移轉(zhuǎn)，使它們的力偶臂都與各力偶在作用面內(nèi)移轉(zhuǎn)，使它們的力偶臂都與AB重合，重合，于是得到與原力偶系等效的三個新力偶于是得到與原力偶系等效的三個新力偶( (F F，F(xiàn) F)、( (F F，F(xiàn) F)和和( (F F，F(xiàn) F)。而力而力F F、F F、F F的大小為的大小為 MMMFFFddd123 = = =F1d1F1d2F2d3F3F3

26、FFFFFdBAFABdFFF2F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2設(shè)設(shè)FFF FFFFFFFF9999F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2 F與與F大小相等，方向相反，作用線平行而不重合，大小相等，方向相反，作用線平行而不重合，所以構(gòu)成了與原力偶系等效的合力偶所以構(gòu)成了與原力偶系等效的合力偶 F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2合力偶的矩為合力偶的矩為 MFdFFFdFdF dF d即即 123MMMM結(jié)論結(jié)論：平面力偶系可以合成為一個合力偶，合：平面力偶系可以合成為一個合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。